Нормальный заказ

В квантовой теории поля произведение квантовых полей или, что эквивалентно, их операторов рождения и уничтожения , обычно называется нормально упорядоченным (также называемым порядком Вика ), когда все операторы рождения находятся слева от всех операторов уничтожения в произведении. Процесс приведения продукта в нормальный порядок называется нормальным заказом (также называемым Wick-заказом ). Аналогично определяются термины «антинормальный порядок» и «антинормальный порядок» , где операторы уничтожения располагаются слева от операторов создания.

Нормальный порядок произведения квантовых полей или операторов рождения и уничтожения можно определить и многими другими способами . Какое определение является наиболее подходящим, зависит от ожидаемых значений, необходимых для данного расчета. В большей части этой статьи используется наиболее распространенное определение нормального порядка, данное выше, которое подходит при получении значений ожидания с использованием вакуумного состояния операторов создания и уничтожения .

Процесс нормального упорядочения особенно важен для квантовомеханического гамильтониана . При квантовании классического гамильтониана существует некоторая свобода при выборе порядка оператора, и этот выбор приводит к различиям в энергии основного состояния . Вот почему этот процесс также можно использовать для устранения бесконечной вакуумной энергии квантового поля.

Обозначения

Если ${\hat {O}}$ обозначает произвольное произведение операторов рождения и/или уничтожения (или, что то же самое, квантовых полей), тогда нормальная упорядоченная форма ${\hat {O}}$ обозначается ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ .

Альтернативное обозначение ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ .

Обратите внимание, что нормальный порядок — это концепция, которая имеет смысл только для произведений операторов. Попытка применить нормальный порядок к сумме операторов бесполезна, поскольку нормальный порядок не является линейной операцией.

Бозоны

Бозоны — это частицы, удовлетворяющие статистике Бозе-Эйнштейна . Теперь мы рассмотрим нормальный порядок продуктов операторов рождения и уничтожения бозонов.

Одиночные бозоны

Если мы начнем только с одного типа бозона, нас будут интересовать два оператора:

${\hat {b}}^{\dagger }$ : оператор создания бозона.
${\hat {b}}$ : оператор уничтожения бозона.

Они удовлетворяют коммутаторному соотношению

\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1

где $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ обозначает коммутатор . Мы можем переписать последний так: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$

Примеры

1. Сначала рассмотрим самый простой случай. Это нормальный заказ ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ :

{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.

Выражение ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ не был изменен, потому что он уже в нормальном порядке - оператор создания $({\hat {b}}^{\dagger })$ уже находится слева от оператора уничтожения $({\hat {b}})$ .

2. Более интересный пример — обычное упорядочение ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$ :

{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.

Здесь обычная операция заказа изменила порядок условий, поместив ${\hat {b}}^{\dagger }$ слева от ${\hat {b}}$ .

Эти два результата можно объединить с коммутационным соотношением, которому подчиняется уравнение ${\hat {b}}$ и ${\hat {b}}^{\dagger }$ получить

{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.

или

{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.

Это уравнение используется для определения сокращений, используемых в теореме Вика .

3. Пример с несколькими операторами:

{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.

4. Простой пример показывает, что нормальный порядок не может быть самосогласованным образом распространен с мономов на все операторы по линейности. Предположим, что мы можем применить коммутационные соотношения, чтобы получить:

{:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}.

Тогда по линейности

{:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:},

противоречие.

Подразумевается, что нормальный порядок является линейной функцией не операторов, а свободной алгебры, порожденной операторами, т. е. операторы не удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, находясь внутри нормального порядка (или любого другого оператора упорядочения, такого как временной порядок , и т. д).

Множественные бозоны

Если мы теперь рассмотрим $N$ существуют разные бозоны $2N$ операторы:

${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$ : $i^{th}$ оператор рождения бозона.
${\hat {b}}_{i}$ : $i^{th}$ оператор уничтожения бозона.

Здесь $i=1,\ldots ,N$ .

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям:

\left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0

\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}

где $i,j=1,\ldots ,N$ и $\delta _{ij}$ обозначает дельту Кронекера .

Их можно переписать как:

{\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }

{\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}

{\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.

Примеры

1. Для двух разных бозонов ( $N=2$ ) у нас есть

:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}

:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}

2. Для трех разных бозонов ( $N=3$ ) у нас есть

:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}

Заметим, что поскольку (по коммутационным соотношениям) ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ порядок записи операторов уничтожения не имеет значения.

:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}

:{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}

Бозонные операторные функции

Нормальный порядок бозонных операторных функций $f({\hat {n}})$ , с оператором номера профессии ${\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}$ , может быть достигнуто с использованием (падающих) факториалов ${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)$ и ряд Ньютона вместо ряда Тейлора : Это легко показать ^[1] что факториальные степени ${\hat {n}}^{\underline {k}}$ равны нормально упорядоченным (необработанным) степеням ${\hat {n}}^{k}$ и поэтому обычно упорядочены по конструкции,

{\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},

такая, что разложение в ряд Ньютона

{\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}

операторной функции ${\tilde {f}}({\hat {n}})$ , с $k$ -я разница вперед $\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)$ в $n=0$ , всегда нормально заказывается. Здесь уравнение собственных значений ${\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle$ относится ${\hat {n}}$ и $n$ .

Как следствие, нормально упорядоченный ряд Тейлора произвольной функции $f({\hat {n}})$ равен ряду Ньютона ассоциированной функции ${\tilde {f}}({\hat {n}})$ , выполнение

{\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:},

если коэффициенты ряда Тейлора $f(x)$ , с непрерывным $x$ , соответствуют коэффициентам ряда Ньютона ${\tilde {f}}(n)$ , с целым числом $n$ ,

{\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}

с $k$ -я частная производная $\partial _{x}^{k}f(0)$ в $x=0$ .Функции $f$ и ${\tilde {f}}$ связаны через так называемое преобразование нормального порядка ${\mathcal {N}}[f]$ в соответствии с

{\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}

которое можно выразить через преобразование Меллина ${\mathcal {M}}$ , видеть ^[1] для подробностей.

Фермионы

Фермионы — это частицы, которые удовлетворяют статистике Ферми–Дирака . Теперь мы рассмотрим нормальный порядок продуктов фермионных операторов рождения и уничтожения.

Одиночные фермионы

Для одного фермиона представляют интерес два оператора:

${\hat {f}}^{\dagger }$ : оператор создания фермиона.
${\hat {f}}$ : оператор уничтожения фермиона.

Они удовлетворяют антикоммутаторным соотношениям

\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1

где $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ обозначает антикоммутатор . Их можно переписать как

{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0

{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0

{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}.

Чтобы определить нормальный порядок произведения фермионных операторов рождения и уничтожения, мы должны принять во внимание количество обменов между соседними операторами. За каждую такую развязку мы получаем знак минус.

Примеры

1. Опять начнем с самых простых случаев:

:{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}

Это выражение уже находится в нормальном порядке, поэтому ничего не меняется. В обратном случае мы вводим знак минус, потому что нам нужно изменить порядок двух операторов:

:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}

Их можно объединить вместе с антикоммутационными соотношениями, чтобы показать

{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:

или

{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.

Это уравнение, которое имеет ту же форму, что и бозонный случай, описанный выше, используется для определения сокращений, используемых в теореме Вика .

2. Обычный порядок любых более сложных случаев дает ноль, потому что хотя бы один оператор создания или уничтожения будет появляться дважды. Например:

:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0

Множественные фермионы

Для $N$ существуют разные фермионы $2N$ операторы:

${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$ : $i^{th}$ оператор рождения фермиона.
${\hat {f}}_{i}$ : $i^{th}$ оператор уничтожения фермиона.

Здесь $i=1,\ldots ,N$ .

Они удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

\left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0

\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}

где $i,j=1,\ldots ,N$ и $\delta _{ij}$ обозначает дельту Кронекера .

Их можно переписать как:

{\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }

{\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}

{\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.

При вычислении нормального порядка произведений фермионных операторов необходимо учитывать количество перестановок соседних операторов, необходимых для перестановки выражения. Это как если бы мы притворились, что операторы создания и уничтожения являются антикоммутативными, а затем переупорядочили выражение так, чтобы операторы создания были слева, а операторы уничтожения — справа — все время принимая во внимание антикоммутационные отношения.

Примеры

1. Для двух разных фермионов ( $N=2$ ) у нас есть

:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}

Здесь выражение уже нормально упорядочено, поэтому ничего не меняется.

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}

Здесь мы вводим знак минус, поскольку мы поменяли порядок двух операторов местами.

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}

Обратите внимание, что порядок, в котором мы пишем здесь операторы, в отличие от бозонного случая, имеет значение .

2. Для трех разных фермионов ( $N=3$ ) у нас есть

:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}

Заметим, что поскольку (по антикоммутационным соотношениям) ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ порядок, в котором мы пишем операторы, в данном случае имеет значение .

Аналогично у нас есть

:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}

:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}

Использование в квантовой теории поля

Вакуумное математическое ожидание нормального упорядоченного произведения операторов рождения и уничтожения равно нулю. Это связано с тем, что, обозначая вакуумное состояние через $|0\rangle$ , операторы создания и уничтожения удовлетворяют

\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0

(здесь ${\hat {a}}^{\dagger }$ и ${\hat {a}}$ являются операторами рождения и уничтожения (бозонными или фермионными)).

Позволять ${\hat {O}}$ обозначают непустое произведение операторов рождения и уничтожения. Хотя это может удовлетворить

\langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,

у нас есть

\langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.

Нормальные упорядоченные операторы особенно полезны при определении квантовомеханического гамильтониана . Если гамильтониан теории находится в нормальном порядке, то энергия основного состояния будет равна нулю: $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$ .

Свободные поля

С двумя свободными полями φ и χ

:\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle

где $|0\rangle$ снова состояние вакуума. Каждый из двух членов в правой части обычно расширяется в пределе, когда y приближается к x, но разница между ними имеет четко определенный предел. Это позволяет нам определить :φ(x)χ(x):.

Теорема Вика

Теорема Вика утверждает связь между упорядоченным по времени произведением $n$ поля и сумма нормальный заказанный товар. Это может быть выражено для $n$ даже как

{\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}

где суммирование ведется по всем различным способам объединения полей в пары. Результат для $n$ странно, выглядит одинаковоза исключением последней строки, которая гласит

\sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).

Эта теорема обеспечивает простой метод вычисления вакуумных математических ожиданий упорядоченных по времени произведений операторов и послужила мотивацией введения нормального порядка.

Альтернативные определения

Наиболее общее определение нормального порядка предполагает разделение всех квантовых полей на две части (например, см. Evans and Steer 1996). $\phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)$ . В продукте полей поля делятся на две части и $\phi ^{+}(x)$ части перемещаются так, чтобы всегда находиться слева от всех $\phi ^{-}(x)$ части. В обычном случае, рассмотренном в остальной части статьи, $\phi ^{+}(x)$ содержит только операторы создания, а $\phi ^{-}(x)$ содержит только операторы уничтожения. Поскольку это математическое тождество, поля можно разбивать как угодно. Однако для того, чтобы эта процедура была полезной, необходимо, чтобы нормальный упорядоченный продукт любой комбинации полей имел нулевое математическое ожидание.

\langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0

Для практических расчетов важно также, что все коммутаторы (антикоммутаторы фермионных полей) всех $\phi _{i}^{+}$ и $\phi _{j}^{-}$ все являются c-числами. Эти два свойства означают, что мы можем применять теорему Вика обычным способом, превращая средние значения упорядоченных по времени произведений полей в произведения пар чисел c, сокращения. В этой обобщенной ситуации сокращение определяется как разница между упорядоченным по времени продуктом и нормальным упорядоченным продуктом пары полей.

Самый простой пример можно найти в контексте тепловой квантовой теории поля (Эванс и Стир, 1996). В этом случае интересующие средние значения представляют собой статистические ансамбли, трассы по всем состояниям, взвешенные по $\exp(-\beta {\hat {H}})$ . Например, для одного бозонного квантово-гармонического осциллятора мы имеем, что тепловое математическое ожидание числового оператора представляет собой просто распределение Бозе-Эйнштейна.

\langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}

Итак, здесь числовой оператор ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ является нормально упорядоченным в обычном смысле, используемом в остальной части статьи, но его значения теплового ожидания не равны нулю. Применение теоремы Вика и выполнение расчетов с обычным нормальным порядком в этом тепловом контексте возможно, но вычислительно непрактично. Решение состоит в том, чтобы определить другой порядок, такой, что $\phi _{i}^{+}$ и $\phi _{j}^{-}$ представляют собой линейные комбинации исходных операторов уничтожения и создания. Комбинации выбираются таким образом, чтобы гарантировать, что ожидаемые тепловые значения обычных заказанных продуктов всегда равны нулю, поэтому выбранное разделение будет зависеть от температуры.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кениг, Юрген; Хухт, Альфред (13 января 2021 г.). «Разложение бозонных операторных функций в ряд Ньютона» . SciPost Физика . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Бибкод : 2021ScPP...10....7K . дои : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN 2542-4653 . S2CID 221293056 .

Ф. Мандл, Г. Шоу, Квантовая теория поля, John Wiley & Sons, 1984.
С. Вайнберг, Квантовая теория полей (Том I) Издательство Кембриджского университета (1995)
Т. С. Эванс, Д. А. Стир, Теорема Вика при конечной температуре , Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268

[Hucht-1] Jump up to: ^а ^б Кениг, Юрген; Хухт, Альфред (13 января 2021 г.). «Разложение бозонных операторных функций в ряд Ньютона» . SciPost Физика . 10 (1). Stichting SciPost: 007. arXiv : 2008.11139 . Бибкод : 2021ScPP...10....7K . дои : 10.21468/scipostphys.10.1.007 . ISSN 2542-4653 . S2CID 221293056 .

[1]