Матричный элемент (физика)

Не путать ни с элементами или элементами матрицы , ни с коэффициентом матрицы .

В физике, особенно в квантовой теории возмущений , матричный элемент относится к линейному оператору модифицированного гамильтониана с использованием нотации Дирака . Фактически речь идет о матричных элементах гамильтонового оператора, который служит для расчета вероятностей перехода между различными квантовыми состояниями.

Матричный элемент учитывает влияние недавно модифицированного гамильтониана (т.е. линейной суперпозиции невозмущенного гамильтониана плюс потенциал взаимодействия) на квантовое состояние .

Матричные элементы играют важную роль в атомной , ядерной физике и физике элементарных частиц .

Проще говоря, мы говорим, что гамильтониан или какой-либо другой оператор/наблюдаемая вызовет переход из начального квантового состояния. $|i\rangle$ в конечное квантовое состояние $|f\rangle$ если верно следующее: $${\begin{aligned}\langle f|{\hat {H}}|i\rangle =M^{i,f}\neq 0\\|\langle f|{\hat {H}}|i\rangle |^{2}=|M^{i,f}|^{2},\end{aligned}}$$где последняя строка — амплитуда вероятности перехода, вызванного каким-либо оператором ${\hat {H}}$ и матричный элемент $M^{i,f}$ инкапсулируя эту информацию. По сути, расчет включает в себя поиск матричных элементов H-оператора, который дает информацию о переходе между двумя состояниями. Примеры этого можно увидеть в ядерной физике, например, в переходе бета-распада , безнейтринном двойном бета-распаде и двойном бета-распаде .

Теория возмущений

Рассмотрим невозмущенную исходную систему, которую можно представить следующим гамильтоновым оператором: $${\hat {H}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V,$$где V — потенциальная энергия системы, а m — масса частицы. Решение уравнения Шредингера для волновой функции $|\Psi \rangle$ для множества разделимых решений мы получаем следующее собственное уравнение для нестационарного уравнения Шредингера: $${\hat {H}}_{\psi }^{(0)}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{n}^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle .$$ Здесь верхние индексы обозначают уровень коррекции возмущения, где 0 представляет невозмущенную систему, а любые целые числа n > 0 представляют уровни коррекции системы (например, $E_{n}^{1}$ представляет собой поправку первого порядка к собственным энергиям, вызванную возмущением). Нижний индекс у оператора Гамильтона указывает на базис, на котором представлена ​​матрица Гамильтона. В данном случае он представлен $\{|\psi _{n}^{0}\rangle |n\in \mathbb {N} \}$ базовый набор. Это позволяет нам представить гамильтониан в диагональной матричной форме, где диагональные элементы являются единственными ненулевыми матричными элементами этого оператора.

Ввиду ортонормированности собственных состояний , где $\langle \psi _{m}^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =\delta _{nm}$, мы можем легко заметить, что недиагональные матричные элементы равны нулю: $$\langle \psi _{m}^{0}|{\hat {H}}_{\psi }^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{m}\delta _{nm}.$$Физически элементы матрицы здесь представляют собой амплитуду вероятности перехода частицы из собственного состояния n в собственное состояние m вследствие взаимодействия, определяемого невозмущенным гамильтонианом. Поскольку в невозмущенной гамильтоновой системе эти собственные состояния несвязаны, ${\hat {H}}_{\psi }^{(0)}$ не приведет к возникновению подобных переходов. Математически, поскольку все недиагональные элементы равны 0, элементы матрицы, рассчитанные по указанному выше математическому значению, всегда будут возвращать 0.

Предположим, мы возмущаем систему линейным добавлением нового взаимодействия или гамильтониана возмущения ${\hat {H}}^{int}$, поэтому наш новый гамильтониан примет следующий вид: $${\hat {H}}={\hat {H}}_{\psi }^{(0)}+\lambda {\hat {H}}^{int},$$где $\lambda$ представляет силу возмущения и принимает значения от 0 до 1. Этот новый гамильтониан взаимодействия может иметь недиагональные элементы V', которые не равны нулю, и, таким образом, выполнение тех же вычислений, что и выше, для матричных элементов дает: $$\langle \psi _{m}^{0}|{\hat {H}}^{int}|\psi _{n}^{0}\rangle =V'.$$Этот результат утверждает, что при добавлении возмущения к невозмущенному гамильтониану существует ненулевая вероятность перехода собственных состояний между собой. Примером этого может быть волновая функция электрона в атоме водорода и электроны в гелии . Если собственные состояния волновой функции электрона могут быть представлены невозмущенным гамильтонианом, где $V$-потенциальная энергия представляет собой протон-электронное взаимодействие; Гамильтониан атома гелия будет похож на гамильтониан водорода с дополнительным членом, который теперь представляет новые электрон-электронные взаимодействия, поскольку у гелия на один электрон больше, чем у водорода. Фактически, это электрон-электронное взаимодействие можно кратко представить как ${\hat {H}}^{int}=V'$ новый термин взаимодействия. Это дополнительное возмущение энергии исходной водородной системы (добавление нового электрона) приведет к переходу собственных состояний, поскольку электромагнитное взаимодействие вызовет связь между электронами.

Это делает расчет матричных элементов гамильтониана взаимодействия очень важным для определения энергетических уровней и волновых функций частиц в различных атомных элементах и ​​нуклидах. Эта гамильтонианская проблема многих тел становится очень сложной из-за добавления большего количества электронов, протонов и нейтронов по мере того, как мы переходим к другим элементам таблицы Менделеева.

См. также

• Золотое правило Ферми