Двумерный фильтр

Двумерные фильтры потребовали значительных усилий по разработке из-за их важности и высокой применимости в нескольких областях. В двумерном случае ситуация сильно отличается от одномерного случая, поскольку многомерные полиномы вообще не могут быть факторизованы. Это означает, что произвольную передаточную функцию обычно нельзя преобразовать в форму, необходимую для конкретной реализации. Отношения ввода-вывода двумерного БИХ-фильтра подчиняются линейному уравнению частных разностей с постоянным коэффициентом , из которого значение выходной выборки может быть вычислено с использованием входных выборок и ранее вычисленных выходных выборок. Поскольку значения выходных выборок передаются обратно, двумерный фильтр, как и его одномерный аналог, может быть нестабильным.

Мотивация и приложения

Благодаря бурному развитию информатики и вычислительной техники теория проектирования и применения цифровых фильтров получила скачок вперед. В реальной жизни мы сталкиваемся с различными сигналами, такими как сигналы радиовещания , телевизионные сигналы, радиолокационные сигналы, сигналы мобильных телефонов , навигационные сигналы, радиоастрономические сигналы, биомедицинские сигналы, сигналы управления, сигналы погоды, сейсмические сигналы, сигналы механической вибрации, сигналы дистанционного управления. сигналы зондирования и телеметрии и т. д. Большинство этих сигналов являются аналоговыми сигналами и лишь небольшая часть из них являются цифровыми сигналами. Аналоговые сигналы представляют собой непрерывную функцию независимых переменных , которые могут быть одномерными, двумерными или многомерными. В большинстве случаев переменной одномерных аналоговых сигналов является время. После временной выборки и дискретизации величины такой аналоговый сигнал станет одномерным цифровым сигналом. Результирующий цифровой сигнал может быть представлен дискретной последовательностью. Например, одним из распространенных сигналов является речевой сигнал. Примером двумерного сигнала является изображение. Фильтр — это система, которая может преобразовывать один сигнал в другой сигнал. Примеры такого преобразования включают сглаживание сигнала для удаления шума, удаление частотных составляющих из сигнала и усиление частотных составляющих для улучшения сигнала. Проектирование и реализация фильтров — важная отрасль технологии анализа и обработки сигналов. Фильтры также играют важную роль в получении, передаче, обработке и обмене сигналов.

Постановка задачи и основные понятия

Цифровые фильтры

Цифровая фильтрация сигнала реализует цифровой фильтр. — Цифровой фильтр это система, которая выполняет математические операции над дискретным сигналом с дискретным временем, чтобы уменьшить или улучшить определенные аспекты этого сигнала. Все входные и выходные сигналы являются цифровыми сигналами. В этом отличие от другого основного типа электронного фильтра, аналогового фильтра, который представляет собой электронную схему, работающую на непрерывном аналоговом сигнале . На самом деле основная концепция цифровых фильтров и аналоговых фильтров одинакова. Единственная разница заключается в типах сигналов и методах фильтрации. Цифровые фильтры могут быть реализованы численно в программном обеспечении и обладают преимуществами высокой точности обработки, устойчивой системы, небольшого объема и легкого веса. В цифровых фильтрах нет согласования импеданса, и цифровые фильтры могут выполнять некоторые специальные функции фильтрации, которые не могут быть выполнены аналоговыми фильтрами. Аналоговые сигналы также могут обрабатываться цифровыми фильтрами с помощью аналого-цифровых преобразователей. .

Двумерные цифровые фильтры

Двумерные фильтры используются для обработки двумерных цифровых сигналов. Существует важное различие между разработкой задач одномерного и двумерного цифрового фильтра. В одномерном случае проектирование и реализацию фильтров легче рассматривать отдельно. Сначала можно спроектировать фильтр, а затем посредством соответствующих манипуляций с передаточной функцией можно определить коэффициенты, необходимые для конкретной сетевой структуры. В случае с 2D проектирование и реализация более тесно связаны. Поскольку многомерные полиномы вообще не могут быть факторизованы. Это означает, что произвольную многомерную передаточную функцию обычно нельзя преобразовать в форму, необходимую для конкретной реализации. Если наша реализация может реализовать только факторизуемые передаточные функции, наш алгоритм проектирования должен быть адаптирован для разработки только фильтров этого класса. Это усложняет задачу проектирования, а также ограничивает количество практических реализаций. Цифровые фильтры можно разделить на два основных типа: конечная импульсная характеристика ( FIR ) и бесконечная импульсная характеристика ( IIR ). 2-D КИХ-цифровой фильтр достигается за счет нерекурсивной структуры алгоритма, тогда как 2-D БИХ-цифровой фильтр достигается за счет структуры рекурсивного алгоритма обратной связи. ^{[ 1 ]}

Существующие подходы

Прямые реализации двумерных БИХ-фильтров

БИХ-фильтр может быть реализован в прямой форме путем перестановки его разностного уравнения для выражения одной выходной выборки через входные выборки и ранее вычисленные выходные выборки. ^{[ 2 ]} Для фильтра первого квадранта входной сигнал $x\left(n_{1},n_{2}\right)$ и выходной сигнал $y\left(n_{1},n_{2}\right)$ связаны

$y\left(n_{1},n_{2}\right)=\sum _{l_{1}=0}^{L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})x(n_{1}-l_{1},n_{2}-l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})y(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})$

Поскольку реакция фильтра на импульс $\delta (n_{1},n_{2})$ по определению это импульсная характеристика $h\left(n_{1},n_{2}\right)$ , мы можем вывести соотношение

$h\left(n_{1},n_{2}\right)=a(l_{1},l_{2})-\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})h(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2})$

Приняв двумерное z-преобразование обеих сторон, мы можем найти системную функцию $H\left(z_{1},z_{2}\right)$ , который определяется

$H_{z}(z_{1},z_{2})={\frac {\sum _{l_{1}=0}^{L_{1}-1}\sum _{l_{2}=0}^{L_{2}-1}a(l_{1},l_{2})z_{1}^{-l_{1}}z_{2}^{-l_{2}}}{\sum _{k_{1}=0}^{K_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{K_{2}-1}b(k_{1},k_{2})z_{1}^{-k_{1}}z_{2}^{-k_{2}}}}={\frac {A_{z}(z_{1},z_{2})}{B_{z}(z_{1},z_{2})}}$

Это соотношение можно рассматривать как результат каскада двух фильтров: КИХ-фильтра с системной функцией, равной $A(z_{1},z_{2})$ и БИХ-фильтр с системной функцией, равной $1/B(z_{1},z_{2})$ , как показано на рисунке ниже. ^{[ 3 ]}

Представление для фильтра с системной функцией $H(z_{1},z_{2})$ . Адаптировано из [3].

Параллельные реализации двумерных БИХ-фильтров

Другой метод создания сложных двумерных БИХ-фильтров — параллельное соединение подфильтров. В этом случае общая передаточная функция принимает вид

$H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})=\sum _{i=1}^{N}H_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})$

Используя уравнение

$H_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}}$

и приведя сумму к передаточной функции к общему знаменателю, получим развернутый вид

$H_{z}^{p}(z_{1},z_{2})={\frac {A_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}{B_{z}^{p}(z_{1},z_{2})}}={\frac {\sum _{j=1}^{N}\prod _{i\neq j}A_{z}^{(j)}(z_{1},z_{2})B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}{\prod _{i=1}^{N}B_{z}^{(i)}(z_{1},z_{2})}}$

Параллельная форма не может использоваться для реализации произвольной двумерной рациональной системной функции. ^{[ 4 ]} Тем не менее, мы можем синтезировать интересные двумерные БИХ-фильтры, которые можно реализовать с помощью параллельной архитектуры. Например, параллельная форма может быть выгодна при разработке фильтра с несколькими полосами пропускания . Параллельная реализация также может быть полезна для реализации двумерного БИХ- фильтра, импульсная характеристика которого не ограничена одним квадрантом, например, симметричного фильтра.

Параллельное соединение N простых 2D БИХ-фильтров для формирования нового 2D БИХ-фильтра. Адаптировано из [3].

Разработка двумерных БИХ-фильтров с генетическим алгоритмом

В литературе описано множество методов проектирования двумерных БИХ-фильтров. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} В 2013 году генетический алгоритм уже около десяти лет успешно использовался для проектирования цифровых фильтров. ^{[ нужна ссылка ]} Здесь мы представляем метод проектирования двумерных БИХ-фильтров, называемый методом проектирования на основе GA.

Инициализация

На рисунке ниже показан предлагаемый процесс проектирования на основе GA. Коэффициенты фильтра кодируются в виде числа CSD. При инициализации популяции хромосомы генерируются случайным образом. Каждый коэффициент имеет заранее заданную длину слова и максимальное количество ненулевых цифр, которым можно присвоить любые желаемые значения. ^{[ 5 ]}

Блок-схема проектирования на основе GA. Адаптировано из [5].

Генетические операторы

В качестве оператора воспроизведения используется выбор колеса рулетки. После каждой операции кроссовера коэффициент, в котором находится точка кроссовера, будет проверяться в формате CSD. Операция мутации представляет собой простое переворот одного бита. После мутации каждый коэффициент потомка проверяется в формате CSD.

Оценка пригодности и стратегия замены

Оценка пригодности представляет собой двухэтапный процесс. Первым шагом является проверка устойчивости каждой секции второго порядка с помощью треугольника устойчивости. Хромосомам, не прошедшим проверку, присваивается значение пригодности 0. Для замены старых поколений применяется элитарная стратегия. После размножения выясняют лучшую хромосому и худшую хромосому у потомства. с неразделимым числителем и разделяемым знаменателем Разработанный фильтр имеет передаточную функцию . ^{[ 6 ]} Метод восстановления числа используется для обеспечения представления коэффициентов фильтра в заранее заданном формате CSD.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Т. С. Хуанг, «Стабильность двумерных рекурсивных фильтров», IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics , vol. 20, нет. 2, стр. 158–163, 1972.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дж. С. Лим, Обработка двумерных сигналов и изображений, Prentice-Hall International, 1990.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дэн Э. Даджен, Рассел М. Мерсеро, «Многомерная цифровая обработка сигналов», Серия Prentice-Hall Signal Processing, ISBN 0136049591 , 1983.
^ Перейти обратно: ^а ^б М. Ахмади, «Проектирование двумерных рекурсивных цифровых фильтров», Система управления и динамики, том. 78, стр. 131–181, 1996.
^ Ли Лян, Маджид Ахмади, Махер Сид-Ахмед, «Проектирование двумерных БИХ-фильтров с каноническими знаково-цифровыми коэффициентами с использованием генетического алгоритма», Департамент электротехники и вычислительной техники, Виндзорский университет, Канада.
^ А. Мазинани, М. Ахмади, М. Шридхар и Р. С. Лашкари, «Новый подход к разработке двумерных рекурсивных цифровых фильтров», Журнал Института Франклина, Pergamon Press Ltd, том. 329, нет. 1, стр. 127–133, 1992.

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Т. С. Хуанг, «Стабильность двумерных рекурсивных фильтров», IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics , vol. 20, нет. 2, стр. 158–163, 1972.

[:1-2] Перейти обратно: ^а ^б Дж. С. Лим, Обработка двумерных сигналов и изображений, Prentice-Hall International, 1990.

[:2-3] Перейти обратно: ^а ^б Дэн Э. Даджен, Рассел М. Мерсеро, «Многомерная цифровая обработка сигналов», Серия Prentice-Hall Signal Processing, ISBN 0136049591 , 1983.

[:3-4] Перейти обратно: ^а ^б М. Ахмади, «Проектирование двумерных рекурсивных цифровых фильтров», Система управления и динамики, том. 78, стр. 131–181, 1996.

[5] Ли Лян, Маджид Ахмади, Махер Сид-Ахмед, «Проектирование двумерных БИХ-фильтров с каноническими знаково-цифровыми коэффициентами с использованием генетического алгоритма», Департамент электротехники и вычислительной техники, Виндзорский университет, Канада.

[6] А. Мазинани, М. Ахмади, М. Шридхар и Р. С. Лашкари, «Новый подход к разработке двумерных рекурсивных цифровых фильтров», Журнал Института Франклина, Pergamon Press Ltd, том. 329, нет. 1, стр. 127–133, 1992.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]