Линейная фаза

В сигналов обработке линейная фаза — это свойство фильтра , при котором фазовая характеристика фильтра является функцией частоты линейной . В результате все частотные компоненты входного сигнала смещаются во времени (обычно с задержкой) на одну и ту же постоянную величину (наклон линейной функции), которая называется групповой задержкой . отсутствуют Следовательно, фазовые искажения из-за временной задержки частот относительно друг друга .

Для сигналов с дискретным временем идеальная линейная фаза легко достигается с помощью фильтра с конечной импульсной характеристикой (FIR) за счет наличия симметричных или антисимметричных коэффициентов. ^[1] Аппроксимации могут быть достигнуты с помощью конструкций с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), которые более эффективны в вычислительном отношении. Несколько техник:

передаточная функция Бесселя , которая имеет максимально плоскую функцию аппроксимации групповой задержки
фазовый эквалайзер

Определение

Фильтр называется линейным фазовым фильтром, если фазовая составляющая частотной характеристики является линейной функцией частоты. Для приложения с непрерывным временем частотная характеристика фильтра представляет собой преобразование Фурье фильтра импульсной характеристики , а версия с линейной фазой имеет форму:

H(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega \tau },

где:

A(ω) — вещественная функция.
$\tau$ это групповая задержка.

Для приложения с дискретным временем дискретное время преобразование Фурье линейной фазовой импульсной характеристики в имеет форму:

H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2},

где:

A(ω) — вещественная функция с периодичностью 2π.
k — целое число, а k/2 — групповая задержка в единицах выборок.

$H_{2\pi }(\omega )$ представляет собой ряд Фурье , который также можно выразить через Z-преобразование импульсной характеристики фильтра. Т.е.:

H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }),

где ${\widehat {H}}$ Обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье.

Примеры

Когда синусоида $,\ \sin(\omega t+\theta ),$ проходит через фильтр с постоянной (независимой от частоты) групповой задержкой $\tau ,$ результат :

A(\omega )\cdot \sin(\omega (t-\tau )+\theta )=A(\omega )\cdot \sin(\omega t+\theta -\omega \tau ),

где :

$A(\omega )$ – частотно-зависимый множитель амплитуды.
Фазовый сдвиг $\omega \tau$ является линейной функцией угловой частоты $\omega$ , и $-\tau$ это наклон.

Отсюда следует, что сложная показательная функция:

e^{i(\omega t+\theta )}=\cos(\omega t+\theta )+i\cdot \sin(\omega t+\theta ),

преобразуется в:

A(\omega )\cdot e^{i(\omega (t-\tau )+\theta )}=e^{i(\omega t+\theta )}\cdot A(\omega )e^{-i\omega \tau }

^{[примечание 1]}

Для приблизительно линейной фазы достаточно иметь это свойство только в полосе пропускания фильтра, где |A(ω)| имеет относительно большие значения. Поэтому графики амплитуды и фазы ( графики Боде для проверки линейности фильтра обычно используются ). «Линейный» фазовый график может содержать разрывы в π и/или 2π радиан. Меньшие случаются там, где A(ω) меняет знак. Поскольку |A(ω)| не может быть отрицательным, изменения отражаются на фазовом графике. Разрывы 2π происходят из-за построения графика главного значения $\omega \tau ,$ вместо фактической стоимости.

В приложениях с дискретным временем изучается только область частот между 0 и частотой Найквиста из-за периодичности и симметрии. В зависимости от единиц измерения частоты частота Найквиста может составлять 0,5, 1,0, π или ½ фактической частоты дискретизации. Некоторые примеры линейной и нелинейной фазы показаны ниже.

Графики Боде . Разрывы фаз составляют π радиан, что указывает на смену знака.

Фазовые разрывы устраняются путем разрешения отрицательной амплитуды.

Два изображения частотной характеристики простого КИХ-фильтра

Фильтр дискретного времени с линейной фазой может быть реализован с помощью КИХ-фильтра, который является либо симметричным, либо антисимметричным. ^[2] Необходимым, но не достаточным условием является :

\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \sin(\omega \cdot (n-\alpha )+\beta )=0

для некоторых $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ . ^[3]

Обобщенная линейная фаза

Системы с обобщенной линейной фазой имеют дополнительную, не зависящую от частоты константу $\beta$ добавлен в фазу. Например, в случае дискретного времени частотная характеристика имеет вид:

H_{2\pi }(\omega )=A(\omega )\ e^{-j\omega k/2+j\beta },

\arg \left[H_{2\pi }(\omega )\right]=\beta -\omega k/2

для

-\pi <\omega <\pi

Из-за этой константы фаза системы не является строго линейной функцией частоты, но сохраняет многие полезные свойства линейных фазовых систем. ^[4]

См. также

Минимальная фаза

Примечания

^ Множитель $A(\omega )e^{-i\omega \tau }$ фильтра , как функция ω, известна как частотная характеристика .

Цитаты

^ Селесник, Иван. «Четыре типа линейно-фазовых КИХ-фильтров» . Опенстакс CNX . Университет Райса . Проверено 27 апреля 2014 г.
^ Селесник, Иван. «Четыре типа линейно-фазовых КИХ-фильтров» . Опенстакс CNX . Университет Райса . Проверено 27 апреля 2014 г.
^ Оппенгейм, Алан В.; Рональд В. Шафер (1975). Цифровая обработка сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-214635-5 .
^ Оппенгейм, Алан В.; Рональд В. Шафер (1975). Цифровая обработка сигналов (1-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-214635-5 .

[2] Множитель $A(\omega )e^{-i\omega \tau }$ фильтра , как функция ω, известна как частотная характеристика .

[1] Селесник, Иван. «Четыре типа линейно-фазовых КИХ-фильтров» . Опенстакс CNX . Университет Райса . Проверено 27 апреля 2014 г.

[3] Селесник, Иван. «Четыре типа линейно-фазовых КИХ-фильтров» . Опенстакс CNX . Университет Райса . Проверено 27 апреля 2014 г.

[4] Оппенгейм, Алан В.; Рональд В. Шафер (1975). Цифровая обработка сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-214635-5 .

[5] Оппенгейм, Алан В.; Рональд В. Шафер (1975). Цифровая обработка сигналов (1-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-214635-5 .

[1]

[примечание 1]

[2]

[3]

[4]