Минимальная фаза

В теории управления и обработке сигналов линейная , неизменяемая во времени система называется минимально-фазовой, если система и ее инверсия являются причинными и стабильными .

Наиболее общую причинную передаточную функцию LTI можно однозначно разложить на серии всепроходной и минимально-фазовой системы. Тогда системная функция является продуктом двух частей, а во временной области ответ системы представляет собой свертку ответов двух частей. Разница между минимально-фазовой и общей передаточной функцией состоит в том, что минимально-фазовая система имеет все полюсы и нули своей передаточной функции в левой половине представления s -плоскости (в дискретном времени, соответственно, внутри единицы окружность плоскости z ). Поскольку инвертирование системной функции приводит к полюсов обращению в нули и наоборот, а полюсы, находящиеся с правой стороны ( s -плоскости воображаемая линия ) или снаружи ( z -плоскости единичный круг ) комплексной плоскости , приводят к неустойчивым системам , то к неустойчивым системам приводит только класс минимальных -фазные системы замкнуты при инверсии. Интуитивно понятно, что минимально-фазовая часть общей причинной системы реализует свою амплитудную характеристику с минимальной групповой задержкой , в то время как ее всепроходная часть корректирует свою фазовую характеристику. только для того, чтобы соответствовать исходной функции системы.

Анализ в терминах полюсов и нулей является точным только в случае передаточных функций, которые можно выразить как отношения многочленов. В случае непрерывного времени такие системы преобразуются в сети обычных идеализированных сетей LCR . В дискретное время их удобно переводить в аппроксимации, используя сложение, умножение и единичную задержку. Можно показать, что в обоих случаях системные функции рационального вида с возрастающим порядком могут использоваться для эффективной аппроксимации любой другой системной функции; таким образом, даже системные функции, не имеющие рациональной формы и, следовательно, обладающие бесконечным числом полюсов и/или нулей, на практике могут быть реализованы так же эффективно, как и любые другие.

В контексте причинных, стабильных систем мы теоретически могли бы свободно выбирать, находятся ли нули системной функции за пределами стабильного диапазона (справа или снаружи), если бы условие замыкания не было проблемой. Однако инверсия имеет большое практическое значение, как и теоретически совершенные факторизации сами по себе. (См. спектрально-симметричное/антисимметричное разложение как еще один важный пример, ведущий, например, к методам преобразования Гильберта .) Многие физические системы также естественным образом стремятся к минимально-фазовому отклику, и иногда их приходится инвертировать с использованием других физических систем, подчиняющихся тому же ограничению.

Ниже дается понимание того, почему эта система называется минимально-фазовой и почему основная идея применима даже тогда, когда функцию системы невозможно привести к рациональной форме, которую можно было бы реализовать.

Обратная система

Система $\mathbb {H}$ является обратимым, если мы можем однозначно определить его вход по его выходу. Т.е. мы можем найти систему $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ так что если мы применим $\mathbb {H}$ с последующим $\mathbb {H} _{\text{inv}}$, мы получаем систему тождеств $\mathbb {I}$. ( см. в разделе Обратная матрица Конечномерный аналог ). То есть, $$\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .$$

Предположим, что ${\tilde {x}}$ является входом в систему $\mathbb {H}$ и дает результат ${\tilde {y}}$: $$\mathbb {H} {\tilde {x}}={\tilde {y}}.$$

Применение обратной системы $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ к ${\tilde {y}}$ дает $$\mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.$$

Итак, мы видим, что обратная система $\mathbb {H} _{inv}$ позволяет нам однозначно определить входные данные ${\tilde {x}}$ из вывода ${\tilde {y}}$.

Пример дискретного времени

Предположим, что система $\mathbb {H}$ (LTI) систему с дискретным временем представляет собой линейную, инвариантную во времени , описываемую импульсной характеристикой $h(n)$ для n в Z. ​Кроме того, предположим $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ имеет импульсную реакцию $h_{\text{inv}}(n)$. Каскад двух систем LTI представляет собой свертку . В этом случае приведенное выше соотношение выглядит следующим образом: $$(h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(n-k)=\delta (n),$$где $\delta (n)$ — это дельта Кронекера , или система тождеств в случае дискретного времени. (Изменение порядка $h_{\text{inv}}$ и $h$ разрешено из-за коммутативности операции свертки.) Обратите внимание, что эта обратная система $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ не обязательно должен быть уникальным.

Минимально-фазовая система

Когда мы налагаем ограничения причинности и стабильности , обратная система уникальна; и система $\mathbb {H}$ и его инверсия $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ называются минимально-фазовыми . Ограничения причинности и устойчивости в случае дискретного времени следующие (для стационарных систем, где h — импульсный отклик системы, а $\|{\cdot }\|_{1}$ это ℓ ¹ норма ):

Причинность

$$h(n)=0\ \forall n<0$$и $$h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.$$

Стабильность

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty$$и $$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .$$

См. статью об устойчивости аналогичных условий для случая непрерывного времени.

Частотный анализ

Частотный анализ с дискретным временем

Выполнение частотного анализа для случая дискретного времени даст некоторое представление. Уравнение во временной области: $$(h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).$$

Применение Z-преобразования дает следующее соотношение в области z : $$H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.$$

Из этого соотношения мы понимаем, что $$H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.$$

Для простоты мы рассматриваем только случай рациональной передаточной функции H ( z ) . Причинность и стабильность подразумевают, что все ( z полюса H ) должны находиться строго внутри единичного круга (см. стабильность ). Предполагать $$H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},$$где A ( z ) и D ( z ) полиномиальны ​ по z . устойчивость подразумевают, что полюса – корни D Причинность и ( z ) – должны находиться строго внутри единичного круга . Мы также знаем, что $$H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},$$поэтому причинность и стабильность для $H_{\text{inv}}(z)$ подразумевают, что его полюса – корни A ( z ) – должны находиться внутри единичного круга . Эти два ограничения подразумевают, что и нули, и полюса системы с минимальной фазой должны находиться строго внутри единичного круга.

Непрерывный частотный анализ

Анализ для случая непрерывного времени проводится аналогичным образом, за исключением того, что мы используем преобразование Лапласа для частотного анализа. Уравнение во временной области: $$(h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),$$где $\delta (t)$ — это дельта-функция Дирака — тождественный оператор в случае непрерывного времени из-за свойства просеивания любого сигнала x ( t ) : $$(\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).$$

Применение преобразования Лапласа дает следующее соотношение в s-плоскости : $$H(s),H_{\text{inv}}(s)=1,$$откуда мы понимаем, что $$H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.$$

Опять же, для простоты, мы рассматриваем только случай рациональной передаточной функции H ( s ) . Причинность и устойчивость подразумевают, что все полюса H стабильность ( s ) должны находиться строго внутри левой полуплоскости s (см. ) . Предполагать $$H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},$$где A ( s ) и D ( s ) полиномиальны ​ по s . устойчивость подразумевают, что полюса – корни D Причинность и ( s ) – должны находиться внутри левой половины s-плоскости . Мы также знаем, что $$H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},$$поэтому причинность и стабильность для $H_{\text{inv}}(s)$ подразумевают, что его полюсы – корни A ( s ) – должны находиться строго внутри левой полуплоскости s . Эти два ограничения подразумевают, что и нули, и полюса системы с минимальной фазой должны находиться строго внутри левой половины s-плоскости .

Связь амплитудной характеристики с фазовой характеристикой

См. Также: Отношения Крамерса – Кронига § Отношение величины (усиления) – фазы

Система с минимальной фазой, независимо от того, работает ли она в дискретном или непрерывном времени, имеет дополнительное полезное свойство: натуральный логарифм величины частотной характеристики («усиление», измеряемое в неперсах , которое пропорционально дБ ) связано с фазовый угол частотной характеристики (измеряется в радианах ) с помощью преобразования Гильберта . То есть в случае непрерывного времени пусть $$H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }$$быть комплексной частотной характеристикой системы H ( s ) . Тогда только для системы с минимальной фазой фазовая характеристика H ( s ) связана с усилением соотношением $$\arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},$$где ${\mathcal {H}}$ обозначает преобразование Гильберта и, наоборот, $$\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.$$

Говоря более компактно, пусть $$H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},$$где $\alpha (\omega )$ и $\phi (\omega )$ являются действительными функциями действительной переменной. Затем $$\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}$$и $$\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.$$

Оператор преобразования Гильберта определяется как $${\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .$$

Эквивалентное соответствующее соотношение справедливо и для систем с минимальной фазой с дискретным временем.

Минимальная фаза во временной области

Для всех причинных и стабильных систем, которые имеют одинаковую амплитудную реакцию , энергия минимально-фазовой системы концентрируется вблизи начала импульсной реакции . т. е. он минимизирует следующую функцию, которую мы можем рассматривать как задержку энергии в импульсной характеристике : $$\sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.$$

Минимальная фаза как минимальная групповая задержка

Для всех причинных и стабильных систем, которые имеют одинаковую величину отклика , система минимальной фазы имеет минимальную групповую задержку . Следующее доказательство иллюстрирует идею минимальной групповой задержки .

Предположим, мы рассмотрим один ноль $a$ функции передаточной $H(z)$. Давайте поместим этот ноль $a$ внутри единичного круга ( $\left|a\right|<1$) и посмотрите, как это групповую задержку повлияет на . $$a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)$$

С нуля $a$ способствует фактору $1-az^{-1}$ в передаточную функцию фаза, вносимая этим членом, следующая. $${\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}$$

$\phi _{a}(\omega )$ способствует следующему групповой задержке .

$${\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}$$

Знаменатель и $\theta _{a}$ инвариантны к отражению нуля $a$ вне единичного круга , т.е. заменяя $a$ с $(a^{-1})^{*}$. Однако, отражая $a$ за пределами единичного круга мы увеличиваем величину $\left|a\right|$ в числителе. Таким образом, имея $a$ внутри единичного круга минимизирует групповую задержку, вносимую коэффициентом $1-az^{-1}$. Мы можем распространить этот результат на общий случай более чем одного нуля , поскольку фаза мультипликативных множителей вида $1-a_{i}z^{-1}$ является аддитивным. Т.е. для передаточной функции с $N$ нули , $$\operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)$$

Таким образом, система минимальной фазы со всеми нулями внутри единичного круга минимизирует групповую задержку, поскольку групповая задержка каждого отдельного нуля минимизируется .

Иллюстрация расчета выше. Вверху и внизу — фильтры с одинаковой характеристикой усиления (слева: диаграммы Найквиста , справа: фазовые характеристики), но фильтр сверху с $a=0.8<1$ имеет наименьшую амплитуду фазовой характеристики.

Неминимальная фаза

Причинные и стабильные системы, инверсии которых являются причинными и нестабильными, известны как с неминимальной фазой системы . Данная система с неминимальной фазой будет иметь больший фазовый вклад, чем система с минимальной фазой с эквивалентной амплитудной характеристикой.

Максимальная фаза

Система максимальной фазы является противоположностью системы минимальной фазы. Каузальная и стабильная система LTI является системой с максимальной фазой, если ее инверсия является причинной и нестабильной. То есть,

• Нули системы дискретного времени находятся вне единичного круга .
• Нули системы с непрерывным временем находятся в правой части комплексной плоскости .

Такая система называется системой с максимальной фазой , поскольку она имеет максимальную групповую задержку среди множества систем, имеющих одинаковую амплитудную характеристику. В этом наборе систем с одинаковой амплитудой отклика система с максимальной фазой будет иметь максимальную энергетическую задержку.

Например, две системы LTI с непрерывным временем, описываемые передаточными функциями $${\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}$$

иметь ответы эквивалентной величины; однако вторая система имеет гораздо больший вклад в фазовый сдвиг. Следовательно, в этом наборе вторая система является системой максимальной фазы, а первая система является системой минимальной фазы. Эти системы также известны как системы с неминимальной фазой, которые вызывают множество проблем со стабильностью управления. Одним из недавних решений для этих систем является перемещение нулей RHP в LHP с использованием метода PFCD.

Смешанная фаза

В смешанной фазовой системе некоторые нули находятся внутри единичного круга , а другие — вне единичного круга . Таким образом, ее групповая задержка не является ни минимальной, ни максимальной, а находится где-то между групповой задержкой минимальной и максимальной фазовой эквивалентной системы.

Например, система LTI с непрерывным временем, описываемая передаточной функцией $${\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}$$является стабильным и причинным; однако он имеет нули как в левой, так и в правой частях комплексной плоскости . Следовательно, это смешанная фазовая система. Для управления передаточными функциями, которые включают в себя эти системы, используются некоторые методы, такие как внутренний контроллер модели (IMC), обобщенный предиктор Смита (GSP) и параллельное упреждающее управление с производной (PFCD) предлагаются.

Линейная фаза

Система с линейной фазой имеет постоянную групповую задержку . Нетривиальные линейно-фазовые или почти линейно-фазовые системы также являются смешанно-фазовыми.

См. также

• Всепропускающий фильтр . Особый случай без минимальной фазы.
• Соотношение Крамерса – Кронига - Минимальная фазовая система в физике.

Дальнейшее чтение

• Димитрис Г. Манолакис, Винай К. Ингл, Стивен М. Когон: Статистическая и адаптивная обработка сигналов , стр. 54–56, McGraw-Hill, ISBN   0-07-040051-2
• Боаз Порат: Курс цифровой обработки сигналов , стр. 261–263, Джон Вили и сыновья, ISBN   0-471-14961-6