Причинная система

В теории управления ( причинная система также известная как физическая или непредвиденная система ) — это система , результат которой зависит от прошлых итекущие входы, но не будущие входы, т. е. выход $y(t_{0})$ зависит только от входа $x(t)$ для значений $t\leq t_{0}$.

Идея о том, что результат функции в любой момент времени зависит только от прошлых и настоящих значений входных данных, определяется свойством, обычно называемым причинностью . Система, которая имеет некоторую зависимость от входных значений из будущего (помимо возможной зависимости от прошлых или текущих входных значений), называется некаузальной или акаузальной системой , а система, которая зависит исключительно от будущих входных значений, является антикаузальной системой . Обратите внимание, что некоторые авторы определяют антикаузальную систему как систему, которая зависит исключительно от будущих и настоящих входных значений или, проще говоря, как систему, которая не зависит от прошлых входных значений.

Классически природа или физическая реальность считалась причинной системой. Физика, включающая специальную теорию относительности или общую теорию относительности, требует более тщательного определения причинности, как подробно описано в книге «Причинность (физика)» .

Причинность систем также играет важную роль в цифровой обработке сигналов , где фильтры конструируются так, чтобы они были причинными, иногда путем изменения непричинной формулировки, чтобы устранить отсутствие причинности, чтобы ее можно было реализовать. Дополнительные сведения см. в разделе причинный фильтр .

Для причинной системы импульсная реакция системы должна использовать только настоящие и прошлые значения входных данных для определения выходных данных. Это требование является необходимым и достаточным условием причинности системы независимо от ее линейности. Обратите внимание, что аналогичные правила применяются как к дискретным, так и к непрерывным случаям. Согласно этому определению, не требующему будущих входных значений, системы должны быть каузальными для обработки сигналов в реальном времени.

Математические определения

Определение 1: отображение системы $x$ к $y$ является причинным тогда и только тогда, когда для любой пары входных сигналов $x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$ и любой выбор $t_{0}$, такой, что

$x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},$

соответствующие выходные данные удовлетворяют

$y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.$

Определение 2: Предположим, $h(t)$ импульсный отклик любой системы $H$ описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Система $H$ причинно тогда и только тогда, когда

$h(t)=0,\quad \forall \ t<0$

в противном случае оно не является причинным.

Примеры

Следующие примеры относятся к системам с входом $x$ и вывод $y$.

Примеры причинных систем

• Система без памяти

$y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)$

• Система с поддержкой памяти

$y\left(t\right)=1+x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)$

• Авторегрессионный фильтр

$y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau$

Примеры непричинных (акаузальных) систем

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau$

• Центральная скользящая средняя

$y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}$

Примеры антипричинных систем

$y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau$

• смотреть вперед

$y_{n}=x_{n+1}$

См. также

• Причинная модель

Ссылки

• Оппенгейм, Алан В.; Уиллски, Алан С.; Наваб, Хамид; с С. Хамидом (1998). Сигналы и системы . Пирсон Образование. ISBN  0-13-814757-4 .