Билинейное преобразование

Билинейное преобразование (также известное как метод Тастина , в честь Арнольда Тастина ) используется в цифровой обработке сигналов с дискретным временем и теории управления для преобразования представлений систем с непрерывным временем в представления с дискретным временем и наоборот.

Билинейное преобразование — это частный случай конформного отображения (а именно преобразования Мёбиуса ), часто используемого для преобразования передаточной функции $H_{a}(s)$ линейного временной области ( часто , инвариантного ко времени ( LTI ) фильтра в непрерывной называемого аналоговым фильтром ) к передаточной функции $H_{d}(z)$ линейного, инвариантного к сдвигу фильтра в дискретной временной области (часто называемого цифровым фильтром, хотя существуют аналоговые фильтры, построенные с переключаемыми конденсаторами , которые являются фильтрами дискретного времени). Он отображает позиции на $j\omega$ ось, $\mathrm {Re} [s]=0$, в s-плоскости до единичного круга , $|z|=1$, в плоскости z . Другие билинейные преобразования могут использоваться для искажения частотной характеристики любой линейной системы с дискретным временем (например, для аппроксимации нелинейного частотного разрешения слуховой системы человека) и реализуются в дискретной области путем замены единичных задержек системы. $\left(z^{-1}\right)$ с всепропускающими фильтрами первого порядка .

Преобразование сохраняет стабильность и отображает каждую точку частотной характеристики фильтра непрерывного времени. $H_{a}(j\omega _{a})$ соответствующей точке частотной характеристики фильтра дискретного времени, $H_{d}(e^{j\omega _{d}T})$ хотя и на несколько другой частоте, как показано в разделе «Искажение частоты» ниже. Это означает, что для каждой особенности, которую можно увидеть в частотной характеристике аналогового фильтра, существует соответствующая особенность с идентичным коэффициентом усиления и фазовым сдвигом в частотной характеристике цифрового фильтра, но, возможно, на несколько другой частоте. Изменение частоты едва заметно на низких частотах, но вполне заметно на частотах, близких к частоте Найквиста .

Приближение дискретного времени

Билинейное преобразование представляет собой аппроксимацию Паде первого порядка функции натурального логарифма, которая является точным отображением z -плоскости в s -плоскость. Когда преобразование Лапласа выполняется над сигналом дискретного времени (при этом каждый элемент последовательности дискретного времени прикреплен к соответственно задержанному единичному импульсу ), результатом является в точности Z-преобразование последовательности дискретного времени с заменой

${\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}$

где $T$ – численного интегрирования размер шага правила трапеций, используемого при выводе билинейного преобразования; или, другими словами, период выборки. Вышеупомянутое билинейное приближение можно решить для $s$ или аналогичное приближение для $s=(1/T)\ln(z)$ можно выполнить.

Обратное к этому отображению (и его билинейное приближение первого порядка ) равно

${\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}$

Билинейное преобразование по существу использует это приближение первого порядка и заменяет его передаточной функцией с непрерывным временем: $H_{a}(s)$

$s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.$

То есть

$H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\$

Стабильность и свойство минимальной фазы сохранены.

Причинный фильтр с непрерывным временем стабилен , если полюса его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s -плоскости . Причинный фильтр с дискретным временем стабилен, если полюса его передаточной функции попадают внутрь единичного круга на комплексной z-плоскости . Билинейное преобразование отображает левую половину комплексной s-плоскости во внутреннюю часть единичного круга в z-плоскости. Таким образом, фильтры, разработанные в области непрерывного времени и стабильные, преобразуются в фильтры в области дискретного времени, которые сохраняют эту стабильность.

Аналогично, фильтр с непрерывным временем является минимально-фазовым , если нули его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s-плоскости. Фильтр с дискретным временем является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают внутри единичного круга на комплексной плоскости z. Тогда то же самое свойство отображения гарантирует, что фильтры непрерывного времени с минимальной фазой преобразуются в фильтры дискретного времени, которые сохраняют свойство минимальной фазы.

Трансформация общей системы LTI

Общая система LTI имеет передаточную функцию $$H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}$$Порядок передаточной функции N — больший из P и Q (на практике это, скорее всего, P, поскольку передаточная функция должна быть правильной , чтобы система была устойчивой). Применение билинейного преобразования $$s=K{\frac {z-1}{z+1}}$$где K определяется как 2/ T или иначе, если используется искажение частоты , дает $$H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}$$Умножение числителя и знаменателя на наибольшую степень ( z + 1) ⁻¹ настоящее время, ( z + 1) ^-Н , дает $$H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}$$Здесь видно, что после преобразования степень числителя и знаменателя N. равна

Рассмотрим тогда полюсно-нулевую форму передаточной функции с непрерывным временем $$H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}$$Корни полиномов числителя и знаменателя, i _и pi , _ξ являются нулями и полюсами системы. Билинейное преобразование представляет собой взаимно-однозначное отображение , поэтому их можно преобразовать в z-домен с помощью $$z={\frac {K+s}{K-s}}$$что дает некоторые нули и полюса дискретизированной передаточной функции ξ' _i и p' _i $${\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}$$Как описано выше, степень числителя и знаменателя теперь равна N , другими словами, теперь имеется равное количество нулей и полюсов. Умножение на ( z + 1) ^-Н означает, что дополнительные нули или полюса $${\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}$$Учитывая полный набор нулей и полюсов, передаточная функция z-области будет равна $$H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}$$

Пример

В качестве примера возьмем простой нижних частот RC-фильтр . Этот фильтр непрерывного времени имеет передаточную функцию

${\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}$

Если мы хотим реализовать этот фильтр как цифровой фильтр, мы можем применить билинейное преобразование, заменив $s$ формула выше; после некоторой доработки получаем следующее представление фильтра:

$H_{d}(z)\$	$=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\$
	$={\frac {1}{1+RC\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}}\$
	$={\frac {1+z}{(1-2RC/T)+(1+2RC/T)z}}\$
	$={\frac {1+z^{-1}}{(1+2RC/T)+(1-2RC/T)z^{-1}}}.\$

Коэффициенты знаменателя — это коэффициенты «обратной связи», а коэффициенты числителя — это коэффициенты «прямой связи», используемые для реализации цифрового фильтра реального времени .

Преобразование для общего непрерывного фильтра первого порядка

Можно связать коэффициенты аналогового фильтра непрерывного времени с коэффициентами аналогичного цифрового фильтра дискретного времени, созданного в процессе билинейного преобразования. Преобразование общего фильтра непрерывного времени первого порядка с заданной передаточной функцией

$H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}$

использование билинейного преобразования (без предварительного искажения какой-либо спецификации частоты) требует замены

$s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$

где

$K\triangleq {\frac {2}{T}}$.

Однако, если в билинейном преобразовании используется компенсация искажения частоты, как описано ниже, так что усиление и фаза аналогового и цифрового фильтра совпадают на частоте. $\omega _{0}$, затем

$K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}$.

В результате получается цифровой фильтр с дискретным временем, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходного фильтра с непрерывным временем:

$H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}$

Обычно постоянный член в знаменателе должен быть нормализован к 1, прежде чем вывести соответствующее разностное уравнение . Это приводит к

$H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.$

Разностное уравнение (с использованием прямой формы I ) имеет вид

$y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .$

Общее биквадратное преобразование второго порядка

Аналогичный процесс можно использовать для общего фильтра второго порядка с заданной передаточной функцией.

$H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .$

с дискретным временем В результате получается цифровой биквадратный фильтр , коэффициенты которого выражаются через коэффициенты исходного фильтра с непрерывным временем:

$H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}$

Опять же, постоянный член в знаменателе обычно нормализуется до 1 перед выводом соответствующего разностного уравнения . Это приводит к

$H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.$

Разностное уравнение (с использованием прямой формы I ) имеет вид

$y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .$

Искажение частоты

Чтобы определить частотную характеристику фильтра непрерывного времени, передаточная функция $H_{a}(s)$ оценивается в $s=j\omega _{a}$ который находится на $j\omega$ ось. Аналогично, чтобы определить частотную характеристику фильтра дискретного времени, передаточная функция $H_{d}(z)$ оценивается в $z=e^{j\omega _{d}T}$ который находится на единичной окружности, $|z|=1$. Билинейное преобразование отображает $j\omega$ ось s -плоскости (которая является областью $H_{a}(s)$) к единичной окружности z -плоскости, $|z|=1$ (это домен $H_{d}(z)$), но это не то же самое отображение $z=e^{sT}$ который также отображает $j\omega$ ось единичной окружности. Когда фактическая частота $\omega _{d}$ является входом в фильтр дискретного времени, разработанный с использованием билинейного преобразования, тогда желательно знать, на какой частоте $\omega _{a}$, для фильтра непрерывного времени это $\omega _{d}$ отображается на.

$H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)$

$H_{d}(e^{j\omega _{d}T})$	$=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega _{d}T}-1}{e^{j\omega _{d}T}+1}}\right)$
	$=H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{e^{j\omega _{d}T/2}\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)$
	$=H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}{\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)}}\right)$
	$=H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega _{d}T/2}-e^{-j\omega _{d}T/2}\right)/(2j)}{\left(e^{j\omega _{d}T/2}+e^{-j\omega _{d}T/2}\right)/2}}\right)$
	$=H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\sin(\omega _{d}T/2)}{\cos(\omega _{d}T/2)}}\right)$
	$=H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega _{d}T/2\right)\right)$

Это показывает, что каждая точка единичного круга на z-плоскости фильтра дискретного времени $z=e^{j\omega _{d}T}$ отображается в точку на $j\omega$ ось на s-плоскости фильтра непрерывного времени, $s=j\omega _{a}$. То есть преобразование частоты билинейного преобразования из дискретного времени в непрерывное время имеет вид

$\omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)$

и обратное отображение

$\omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).$

Фильтр дискретного времени ведет себя на частоте $\omega _{d}$ так же, как непрерывный фильтр ведет себя на частоте $(2/T)\tan(\omega _{d}T/2)$. В частности, коэффициент усиления и фазовый сдвиг, который имеет фильтр дискретного времени на частоте $\omega _{d}$ - это тот же коэффициент усиления и фазовый сдвиг, который имеет фильтр непрерывного времени на частоте $(2/T)\tan(\omega _{d}T/2)$. Это означает, что каждая особенность, каждый «выступ», видимый в частотной характеристике фильтра с непрерывным временем, также виден и в фильтре с дискретным временем, но на другой частоте. Для низких частот (т.е. когда $\omega _{d}\ll 2/T$ или $\omega _{a}\ll 2/T$), тогда функции отображаются на немного другую частоту; $\omega _{d}\approx \omega _{a}$.

Видно, что весь непрерывный диапазон частот

$-\infty <\omega _{a}<+\infty$

отображается на основной частотный интервал

$-{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.$

Частота фильтра непрерывного времени $\omega _{a}=0$ соответствует частоте фильтра дискретного времени $\omega _{d}=0$ и частота фильтра непрерывного времени $\omega _{a}=\pm \infty$ соответствуют частоте фильтра дискретного времени $\omega _{d}=\pm \pi /T.$

Также можно видеть, что существует нелинейная связь между $\omega _{a}$ и $\omega _{d}.$ Этот эффект билинейного преобразования называется искажением частоты . Фильтр непрерывного времени может быть спроектирован так, чтобы компенсировать это искажение частоты, установив $\omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)$ для каждой характеристики частоты, которую контролирует разработчик (например, угловая частота или центральная частота). Это называется предварительным изменением конструкции фильтра.

Однако можно компенсировать искажение частоты путем предварительного изменения характеристики частоты. $\omega _{0}$ (обычно резонансная частота или частота наиболее значимой характеристики частотной характеристики) системы с непрерывным временем. Эти предварительно преобразованные спецификации могут затем использоваться в билинейном преобразовании для получения желаемой системы дискретного времени. При разработке цифрового фильтра как аппроксимации непрерывного фильтра частотная характеристика (как амплитудная, так и фазовая) цифрового фильтра может быть сделана так, чтобы соответствовать частотной характеристике непрерывного фильтра на заданной частоте. $\omega _{0}$, а также сопоставление в DC, если следующее преобразование подставляется в передаточную функцию непрерывного фильтра. Это модифицированная версия преобразования Тастина, показанного выше.

$s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.$

Однако обратите внимание, что это преобразование становится исходным преобразованием.

$s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

как $\omega _{0}\to 0$.

Основным преимуществом явления деформации является отсутствие искажений частотной характеристики из-за наложения спектров, например, наблюдаемых при импульсной инвариантности .

См. также

• Импульсная инвариантность
• Метод согласованного Z-преобразования

Внешние ссылки

• Обработка сигналов MIT OpenCourseWare: разработка фильтра от непрерывного к дискретному
• Конспект лекций по дискретным эквивалентам
• Искусство проектирования фильтров VA