Преобразование с постоянной Q

В математике и обработке сигналов преобразование с постоянной добротностью и преобразование с переменной добротностью , просто известные как CQT и VQT , преобразуют ряд данных в частотную область . Это связано с преобразованием Фурье и очень тесно связан со сложным вейвлет-преобразованием Морле . Его дизайн подходит для музыкального представления.

Преобразование Constant-Q, к форме волны аккорда до мажор фортепианного примененное . Ось X — это частота , сопоставленная со стандартными музыкальными тонами , от низкой (слева) до высокой (справа). Ось Y — это время, начиная с момента нажатия фортепианного аккорда внизу и отпускания фортепианного аккорда вверху, через 8 секунд. Более темные пиксели соответствуют более высоким значениям преобразования Constant-Q. Пики точно соответствуют точным частотам вибрирующих струн фортепиано. Таким образом, пики можно использовать для обнаружения нот, сыгранных на фортепиано. Три самых низких пика — это основные частоты аккорда до мажор (C, E, G). Каждая струна также вибрирует с частотой, кратной основной ноте, известной как обертоны , которые соответствуют оставшимся меньшим пикам справа от основной высоты. Обертоны имеют меньшую интенсивность, чем основной тон.

Duration: 9 seconds.0:09

Звук фортепианного аккорда до мажор, использованный для создания преобразования Constant-Q выше.

Его форма сигнала не передает визуально информацию о высоте, как это может сделать преобразование Constant-Q.

Преобразование можно рассматривать как серию фильтров f _k , логарифмически разнесенных по частоте, причем k -й фильтр имеет спектральную ширину δf _{k ,} кратную ширине предыдущего фильтра:

$\delta f_{k}=2^{1/n}\cdot \delta f_{k-1}=\left(2^{1/n}\right)^{k}\cdot \delta f_{\text{min}},$

где δf _k — полоса пропускания k -го фильтра, f _min — центральная частота самого нижнего фильтра, а n — количество фильтров на октаву .

Расчет

Кратковременное преобразование Фурье x [ n ] для кадра, сдвинутого на выборку m, вычисляется следующим образом:

$X[k,m]=\sum _{n=0}^{N-1}W[n-m]x[n]e^{-j2\pi kn/N}.$

Учитывая ряд данных с частотой дискретизации f _s = 1/ T , где T — период выборки наших данных, для каждого интервала частоты мы можем определить следующее:

• Ширина фильтра, δf _k .
• Q , «добротность»:

$Q={\frac {f_{k}}{\delta f_{k}}}.$

Ниже показано, что это целое число циклов, обработанных на центральной частоте f _k . Таким образом, это в некоторой степени определяет временную сложность преобразования.

• Длина окна для k -го интервала:

$N[k]={\frac {f_{\text{s}}}{\delta f_{k}}}={\frac {f_{\text{s}}}{f_{k}}}Q.$

Поскольку f _s / f _k — это количество выборок, обрабатываемых за цикл на частоте f _k , Q — это количество целочисленных циклов, обработанных на этой центральной частоте.

Эквивалентное ядро ​​преобразования можно найти с помощью следующих подстановок:

• Длина окна каждого интервала теперь является функцией номера интервала:

$N=N[k]=Q{\frac {f_{\text{s}}}{f_{k}}}.$

• Относительная мощность каждого элемента будет уменьшаться на более высоких частотах, поскольку они суммируются за меньшее количество членов. Чтобы компенсировать это, мы нормализуем на N [ k ].
• Любая оконная функция будет функцией длины окна, а также функцией номера окна. Например, эквивалентным окном Хэмминга будет

$W[k,n]=\alpha -(1-\alpha )\cos {\frac {2\pi n}{N[k]-1}},\quad \alpha =25/46,\quad 0\leqslant n\leqslant N[k]-1.$

• Наша цифровая частота, ${\frac {2\pi k}{N}}$, становится ${\frac {2\pi Q}{N[k]}}$.

После этих изменений у нас осталось

$X[k]={\frac {1}{N[k]}}\sum _{n=0}^{N[k]-1}W[k,n]x[n]e^{\frac {-j2\pi Qn}{N[k]}}.$

Расчет полосы пропускания с переменной добротностью

Преобразование переменной Q такое же, как преобразование постоянной Q, но с той лишь разницей, что фильтр Q является переменным, отсюда и название преобразования переменной Q. Преобразование переменной добротности полезно там, где важно временное разрешение на низких частотах. . Существуют способы расчета пропускной способности VQT, один из них использует эквивалентную прямоугольную полосу пропускания в качестве значения пропускной способности бина VQT.

Самый простой способ реализовать преобразование переменной Q — добавить смещение полосы пропускания, называемое γ, например:

$\delta f_{k}=\left({\frac {2}{f_{k}+\gamma }}\right)Q.$

Эту формулу можно изменить, добавив дополнительные параметры для регулировки резкости перехода между постоянной добротностью и постоянной полосой пропускания следующим образом:

$\delta f_{k}=\left({\frac {2}{\sqrt[{\alpha }]{f_{k}^{\alpha }+\gamma ^{\alpha }}}}\right)Q.$

с α в качестве параметра резкости перехода и где α , равное 2, соответствует гиперболическому синусоидальному масштабу частот с точки зрения частотного разрешения.

Быстрый расчет

Прямое вычисление преобразования с постоянной Q (либо с использованием простого ДПФ , либо немного более быстрого алгоритма Герцеля ) происходит медленно по сравнению с быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Однако БПФ само по себе может использоваться в сочетании с использованием ядра для выполнения эквивалентных вычислений, но гораздо быстрее. Приблизительная обратная такая реализация была предложена в 2006 году; он работает, возвращаясь к DFT, и подходит только для инструментов высоты тона.

Развитие этого метода с улучшенной обратимостью включает выполнение CQT (через БПФ) октава за октавой, используя результаты фильтрации нижних частот и пониженной дискретизации для последовательно более низких тонов. Реализации этого метода включают реализацию MATLAB и реализацию Python от LibROSA. LibROSA сочетает метод субдискретизации с методом прямого БПФ (который она называет «псевдо-CQT»), заставляя последний обрабатывать более высокие частоты в целом.

Скользящее ДПФ можно использовать для более быстрого расчета преобразования с постоянной добротностью, поскольку скользящее ДПФ не обязательно должно иметь линейный интервал частот и одинаковый размер окна на элемент.

Альтернативно, преобразование с постоянной добротностью можно аппроксимировать, используя несколько БПФ с разными размерами окон и/или частотой дискретизации в разных частотных диапазонах, а затем сшивая их вместе. Это называется STFT с несколькими разрешениями , однако размеры окон для БПФ с несколькими разрешениями различаются для каждой октавы, а не для каждого элемента.

Сравнение с преобразованием Фурье

В целом преобразование хорошо подходит для музыкальных данных, и в этом можно увидеть некоторые его преимущества по сравнению с быстрым преобразованием Фурье. Поскольку выходные данные преобразования фактически представляют собой амплитуду/фазу в зависимости от логарифмической частоты, для эффективного покрытия заданного диапазона требуется меньшее количество элементов разрешения по частоте, и это оказывается полезным, когда частоты охватывают несколько октав. Поскольку диапазон человеческого слуха охватывает примерно десять октав от 20 Гц до примерно 20 кГц, это сокращение выходных данных является значительным.

Преобразование демонстрирует снижение разрешения по частоте при более высоких элементах разрешения по частоте, что желательно для слуховых приложений. Преобразование отражает слуховую систему человека, при этом на более низких частотах спектральное разрешение лучше, тогда как временное разрешение улучшается на более высоких частотах. В нижней части фортепианной гаммы (около 30 Гц) разница в 1 полутон — это разница примерно в 1,5 Гц, тогда как в верхней части музыкальной гаммы (около 5 кГц) разница в 1 полутон — это разница примерно в 1,5 Гц. 200 Гц. Таким образом, для музыкальных данных идеально подходит экспоненциальное частотное разрешение преобразования с постоянной добротностью.

Кроме того, гармоники музыкальных нот при этом преобразовании образуют закономерность, характерную для тембра инструмента. Если предположить, что относительная сила каждой гармоники одинакова, то при изменении основной частоты относительное положение этих гармоник остается постоянным. Это может значительно облегчить идентификацию инструментов. Постоянное преобразование Q также можно использовать для автоматического распознавания музыкальных тональностей на основе накопленного содержания цветности.

По сравнению с преобразованием Фурье реализация этого преобразования более сложна. Это связано с различным количеством выборок, используемых при вычислении каждого элемента разрешения по частоте, что также влияет на длину любой реализованной оконной функции.

Также обратите внимание, что, поскольку шкала частот является логарифмической, в ней отсутствует истинная составляющая нулевой частоты/постоянного тока, что может быть недостатком в приложениях, которым интересен член постоянного тока. Хотя для приложений, которым не интересен ДК типа аудио, это не является недостатком.