Импульсная инвариантность

Импульсная инвариантность - это метод разработки фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) дискретного времени на основе фильтров с непрерывным временем, в котором импульсная характеристика системы с непрерывным временем дискретизируется для получения импульсной характеристики системы с дискретным временем. Частотная характеристика системы с дискретным временем будет суммой сдвинутых копий частотной характеристики системы с непрерывным временем; если система с непрерывным временем примерно ограничена полосой частот до частоты, меньшей частоты дискретизации Найквиста , то частотная характеристика системы с дискретным временем будет примерно равна ей для частот ниже частоты Найквиста.

Обсуждение

Импульсная характеристика системы непрерывного времени, $h_{c}(t)$, отбирается с периодом выборки $T$ для создания импульсного отклика системы дискретного времени, $h[n]$.

$h[n]=Th_{c}(nT)\,$

Таким образом, частотные характеристики двух систем связаны соотношением

$H(e^{j\omega })={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{TH_{c}\left(j{\frac {\omega }{T}}+j{\frac {2{\pi }}{T}}k\right)}\,$

Если непрерывный временной фильтр приблизительно ограничен полосой пропускания (т.е. $H_{c}(j\Omega )<\delta$ когда $|\Omega |\geq \pi /T$), то частотная характеристика системы с дискретным временем будет приблизительно равна частотной характеристике системы с непрерывным временем для частот ниже π радиан на выборку (ниже частоты Найквиста 1/(2 T ) Гц):

$H(e^{j\omega })=H_{c}(j\omega /T)\,$ для $|\omega |\leq \pi \,$

Сравнение с билинейным преобразованием

Обратите внимание, что будет происходить наложение спектров, в том числе наложение ниже частоты Найквиста до такой степени, что отклик фильтра непрерывного времени будет отличен от нуля выше этой частоты. Билинейное преобразование является альтернативой импульсной инвариантности, которая использует другое отображение, которое отображает частотную характеристику системы с непрерывным временем до бесконечной частоты в диапазон частот до частоты Найквиста в случае дискретного времени, в отличие от отображения частоты линейно с круговым перекрытием, как это делает импульсная инвариантность.

Влияние на полюсы функции системы

Если сплошные полюса в $s=s_{k}$, системную функцию можно записать в виде частичной дроби как

$H_{c}(s)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{s-s_{k}}}\,$

Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, импульсная характеристика равна

$h_{c}(t)={\begin{cases}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}t}},&t\geq 0\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

Импульсная характеристика соответствующей системы дискретного времени тогда определяется как следующая

$h[n]=Th_{c}(nT)\,$

$h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}u[n]}\,$

Выполнение z-преобразования импульсной характеристики дискретного времени дает следующую системную функцию дискретного времени:

$H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}\,$

Таким образом, полюсы системной функции с непрерывным временем переводятся в полюсы в точке z = e. ^{с _к Т} . Нули, если они есть, не так просто отображаются.

Полюсы и нули

Если системная функция имеет не только полюса, но и нули, их можно отобразить таким же образом, но результат больше не является результатом импульсной инвариантности: импульсная характеристика в дискретном времени не равна просто выборкам импульсной характеристики в непрерывном времени. Этот метод известен как метод согласованного Z-преобразования или отображение полюса-ноля.

Стабильность и причинность

Поскольку полюсы в системе с непрерывным временем в точке s = sk _{), полюсы в} преобразуются в полюсы в системе с дискретным временем в точке z = exp( s _k T левой половине s -плоскости переходят внутрь единичного круга в z - плоскость; поэтому, если фильтр с непрерывным временем является причинным и стабильным, то фильтр с дискретным временем также будет причинным и стабильным.

Исправленная формула

Когда причинная непрерывная импульсная реакция имеет разрыв в точке $t=0$, приведенные выше выражения несовместимы. Это потому, что $h_{c}(0)$ имеет разные правые и левые пределы и на самом деле должен вносить только их среднее значение, половину правильного значения $h_{c}(0_{+})$, к $h[0]$.

Внесение этой поправки дает

$h[n]=T\left(h_{c}(nT)-{\frac {1}{2}}h_{c}(0_{+})\delta [n]\right)\,$

$h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}}\left(u[n]-{\frac {1}{2}}\delta [n]\right)\,$

Выполнение z-преобразования импульсной характеристики дискретного времени дает следующую системную функцию дискретного времени:

$H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}}}-{\frac {T}{2}}\sum _{k=1}^{N}A_{k}}.$

Вторая сумма равна нулю для фильтров без разрыва, поэтому игнорировать ее часто безопасно.

См. также

• Билинейное преобразование
• Метод согласованного Z-преобразования

Ссылки

Другие источники

• Оппенгейм, Алан В. и Шафер, Рональд В. с Баком, Джоном Р. Обработка сигналов в дискретном времени. Второе издание. Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1999.
• Сахай, Анант. Курсовая лекция. Электротехника 123: Цифровая обработка сигналов. Калифорнийский университет, Беркли. 5 апреля 2007 г.
• Эйтельберг, Эд. «Инвариантность свертки и исправленная импульсная инвариантность». Обработка сигналов, Vol. 86, выпуск 5, стр. 1116–1120. 2006 г.

Внешние ссылки

• Импульсно-инвариантное преобразование на CircuitDesign.info Краткое объяснение, пример и применение к непрерывного времени . сигма-дельта- АЦП