Зак трансформирует
В математике Зака преобразование [1] [2] (также известное как Гельфанда отображение ) — это определенная операция, которая принимает на вход функцию одной переменной и выдает на выходе функцию двух переменных. Выходная функция называется преобразованием Зака входной функции. Преобразование определяется как бесконечная серия в которой каждый член является продуктом расширения перевода , на целое число функции и экспоненциальную функцию . В приложениях преобразования Зака для обработки сигналов входная функция представляет сигнал , а преобразование будет представлять собой смешанное частотно - временное представление сигнала. Сигнал может быть вещественным или комплексным , определенным на непрерывном наборе (например, действительных числах) или дискретном наборе (например, целых числах или конечном подмножестве целых чисел). Преобразование Зака является обобщением дискретного преобразования Фурье . [1] [2]
Преобразование Зака было открыто несколькими людьми в разных областях и получило разные имена. Оно было названо «отображением Гельфанда», потому что Израиль Гельфанд ввёл его в своей работе по разложению по собственным функциям . Преобразование было независимо открыто заново Джошуа Заком в 1967 году, который назвал его «представлением kq». Судя по всему, среди экспертов в этой области существует общее согласие называть это преобразованием Зака, поскольку Зак был первым, кто систематически изучал это преобразование в более общей обстановке и признал его полезность. [1] [2]
Преобразование Зака в непрерывном определение времени :
При определении преобразования Зака с непрерывным временем входная функция является функцией действительной переменной. Итак, пусть f ( t ) — функция действительной переменной t . ) с непрерывным временем Преобразование Зака функции f ( t является функцией двух действительных переменных, одной из которых является t . Другая переменная может быть обозначена w . Преобразование Зака с непрерывным временем определялось по-разному.
Определение 1 [ править ]
Пусть а — положительная константа. Преобразование Зака функции f ( t ), обозначаемое Z a [ f ], является функцией от t и w, определяемой формулой [1]
- .
={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\ пи кви}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2716c01afca29abf8e2713e17ad6ebf387863084)
Определение 2 [ править ]
Частный случай определения 1, полученный путем принятия a = 1, иногда принимается за определение преобразования Зака. [2] В этом специальном случае преобразование Зака функции f ( t ) обозначается Z [ f ].
- .
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c43d62184c3a075028d9c18b74292496c651fe)
Определение 3 [ править ]
Обозначение Z [ f ] используется для обозначения другой формы преобразования Зака. В этой форме преобразование Зака функции f ( t ) определяется следующим образом:
- .
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e958a39d25befa4a6fd445276fc4bb970f7c44)
Определение 4 [ править ]
Пусть T — положительная константа. Преобразование Зака функции f ( t ), обозначаемое Z T [ f ], является функцией от t и w, определяемой формулой [2]
- .
={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\ пи квТи}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bff80c299271e777c4b8722027a04f18faade)
Здесь предполагается, что t и w удовлетворяют условиям 0 ⩽ t ⩽ T и 0 ⩽ w ⩽ 1/ T .
Пример [ править ]
Преобразование Зака функции
дается
=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab11bd42c3ec35805b4eec37bc3b4dcef991701)
где обозначает наименьшее целое число не меньше ( функция ячейки ).
Свойства преобразования Зака [ править ]
В дальнейшем предполагается, что преобразование Зака соответствует определению 2.
1. Линейность
Пусть a и b — любые действительные или комплексные числа. Затем
=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ac7575e6eeca9669b6834f6797e916830a55e4)
2. Периодичность
=Z[f](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364571182e34ac8149fdc4f9694713001cb373c0)
3. Квазипериодичность.
=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa701c5ded113f55a854751c5404319e66ded1d7)
4. Конъюгация
 = {\overline {Z[f]}}(t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c119a4a1d4013401b61f7081987514013f66d7c)
5. Симметрия
- Если f ( t ) четно, то
=Z[f](-t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9340d5d01aceebbb56b1b6a8371bc9c295eb9a7)
- Если f ( t ) нечетно, то
=-Z[f](-t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e675761f9de84fa1d3d6eb74a3e21c7b1517d0)
6. Свертка
Позволять обозначаем свертку по переменной t .
=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea544b7c8197316779bb619506a5cb1f409b92c)
Формула инверсии [ править ]
Учитывая преобразование Зака функции, функцию можно восстановить по следующей формуле:
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4052cca8190c1fb5fcc884030a68b685dd68f008)
: определение преобразование Зака Дискретное
Позволять быть функцией целочисленной переменной ( последовательность ). Дискретное преобразование Зака является функцией двух действительных переменных, одна из которых является целочисленной переменной . Другая переменная — это действительная переменная, которую можно обозначить как . Дискретное преобразование Зака также определялось по-разному. Однако ниже приведено только одно из определений.
Определение [ править ]
Дискретное преобразование Зака функции где целочисленная переменная, обозначаемая , определяется
![{\displaystyle Z[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e901e66f65cb937c058578ef158093ef853b3b5)
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi апр}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b8e17b2749a8f92d67b64212b5f07d98c3e7f1)
Формула инверсии [ править ]
Учитывая дискретное преобразование функции , функцию можно восстановить по следующей формуле:
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88f2f755b0afd39e0a95f0c142fddff20caa30d)
Приложения [ править ]
Преобразование Зака успешно применяется в физике в квантовой теории поля. [3] в электротехнике при частотно-временном представлении сигналов и передаче цифровых данных. Преобразование Зака также имеет приложения в математике. Например, он использовался в задаче представления Габора.
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д «Трансформация Зака» . Энциклопедия математики . Проверено 15 декабря 2014 г.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и Александр Д. Пуларикас, изд. (2010). Справочник по преобразованиям и приложениям (3-е изд.). ЦРК Пресс. С. 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4 .
- ^ Дж. Клаудер, Б. С. Скагерстам (1985). Когерентные государства . Всемирная научная.