Функции пола и потолка

Функции пола и потолка

Функция пола

Функция потолка

В математике функция пола — это функция , которая принимает на вход действительное число x и выдает на выходе наибольшее целое число, меньшее или равное x , обозначаемое ⌊ x ⌋ или Floor( x ) . Аналогично, функция потолка отображает x наименьшее целое число, большее или равное x , обозначаемое ⌈ x ⌉ или ceil( x ) .

Например, для пола: ⌊2.4⌋ = 2 , ⌊−2.4⌋ = −3 и для потолка: ⌈2.4⌉ = 3 и ⌈−2.4⌉ = −2 .

Пол x также называется целой частью , целой частью , наибольшим целым числом или целым числом x и исторически обозначался [ x ] (среди других обозначений). Однако тот же термин, целая часть , также используется для усечения до нуля, что отличается от функции пола для отрицательных чисел.

Для n целого числа ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n .

Хотя Floor( x+1 ) и ceil( x ) создают совершенно одинаковые графики, они не совпадают, если значение x является точным целым числом. Например, когда х =2,0001; ⌊2,0001+1⌋ = ⌈2,0001⌉ = 3 . Однако если x =2, то ⌊2+1⌋ = 3 , а ⌈2⌉ = 2 .

Примеры

х	Этаж ⌊ х ⌋	Потолок ⌈ х ⌉	Дробная часть { x }
2	2	2	0
2.0001	2	3	0.0001
2.4	2	3	0.4
2.9	2	3	0.9
2.999	2	3	0.999
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0

Обозначения

Целая часть или целая часть числа ( partie entière в оригинале) была впервые определена в 1798 году Адриеном -Мари Лежандром в его доказательстве формулы Лежандра .

Карл Фридрих Гаусс ввел обозначение квадратных скобок [ x ] в своем третьем доказательстве квадратичной взаимности (1808 г.). Это осталось стандартом в математике до тех пор, пока Кеннет Э. Айверсон не ввел в своей книге «Язык программирования » 1962 года названия «пол» и «потолок» и соответствующие обозначения ⌊ x ⌋ и ⌈ x ⌉ . (Айверсон использовал квадратные скобки для другой цели - обозначения скобок Айверсона .) Оба обозначения теперь используются в математике, хотя в этой статье будут использоваться обозначения Айверсона.

В некоторых источниках жирный шрифт или двойные скобки ⟦ x ⟧ используются для пола, а обратные скобки ⟧ x ⟦ или ] x [ ​​для потолка.

Дробная часть — это пилообразная функция , обозначаемая { x } для действительного x и определяемая формулой

{ Икс } = Икс - ⌊ Икс ⌋

Для всех х ,

0 ≤ { Икс } < 1 .

Эти символы представлены в Юникоде:

• U + 2308 ⌈ ЛЕВЫЙ ПОТОЛОК ( &lceil;, &LeftCeiling; )
• U+2309 ⌉ ПРАВЫЙ ПОТОЛОК ( &rceil;, &RightCeiling; )
• U+230A ⌊ ЛЕВЫЙ ЭТАЖ ( &LeftFloor;, &lfloor; )
• U+230B ⌋ ПРАВЫЙ ЭТАЖ ( &rfloor;, &RightFloor; )

В системе набора текста LaTeX эти символы можно указать с помощью \lceil, \rceil, \lfloor, и \rfloor команды в математическом режиме. LaTeX поддерживает UTF-8 с 2018 года, поэтому символы Юникода теперь можно использовать напрямую. Более крупные версии \left\lceil, \right\rceil, \left\lfloor, и \right\rfloor.

Определение и свойства

Даны действительные числа x и y , целые числа m и n и набор целых чисел. $\mathbb {Z}$, пол и потолок могут быть определены уравнениями

$\lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},$

$\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.$

есть ровно одно целое число Поскольку в полуинтервале длины один , для любого действительного числа x существуют уникальные целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению

$x-1<m\leq x\leq n<x+1.$

где $\lfloor x\rfloor =m$ и $\lceil x\rceil =n$ также можно принять за определение пола и потолка.

Эквиваленты

Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, касающихся полов и потолков.

${\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ if and only if }}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ if and only if }}&\ \ n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor &=m&&{\mbox{ if and only if }}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ if and only if }}&x&\leq n<x+1.\end{alignedat}}$

На языке теории порядка функция пола — это резидуированное отображение , то есть часть связи Галуа : это верхний сопряженный элемент функции, которая встраивает целые числа в действительные числа.

${\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ if and only if }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ if and only if }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}$

Эти формулы показывают, как добавление целого числа n к аргументам влияет на функции:

${\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}$

Вышеупомянутое никогда не будет верным, если n не является целым числом; однако для любых x и y выполняются следующие неравенства:

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}$

Монотонность

Функции пола и потолка являются монотонно неубывающими функциями :

${\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}$

Отношения между функциями

Из определений ясно, что

$\lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,$ с равенством тогда и только тогда, когда x является целым числом, т.е.

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}$

Фактически, для целых чисел n функции пола и потолка тождественны :

$\lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.$

Отрицание аргумента меняет местами пол и потолок и меняет знак:

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}$

и:

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

Отрицание аргумента дополняет дробную часть:

$\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

Функции пола, потолка и дробной части идемпотентны :

${\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}$

Результатом вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:

${\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}$

из-за свойства идентичности целых чисел.

Коэффициенты

Если m и n целые числа и n ≠ 0,

$0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.$

Если n — положительное целое число

$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,$

$\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .$

Если m положительное

$n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,$

$n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .$

Для m = 2 это означает

$n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .$

В более общем смысле, для положительного m (см. тождество Эрмита )

$\lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,$

$\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .$

Следующее можно использовать для преобразования полов в потолки и наоборот ( m положительный):

$\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,$

$\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,$

Для всех m и n строго положительных целых чисел:

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},$

который для положительных и взаимно простых m и n сводится к

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),$

и аналогично для функций потолка и дробной части (все еще для положительных и взаимно простых m и n ),

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),$

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).$

Поскольку правая часть общего случая симметрична по m и n , отсюда следует, что

$\left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .$

В более общем смысле, если m и n положительны,

${\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}$

Иногда это называют законом взаимности .

Деление на положительные целые числа дает интересное, а иногда и полезное свойство. Предполагая $m,n>0$,

$m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.$

Сходным образом,

$m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.$

Действительно,

$m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,$

имея в виду, что ${\textstyle \lfloor x/n\rfloor ={\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor /n{\bigr \rfloor }.}$ Вторая эквивалентность с функцией потолка доказывается аналогично.

Вложенные подразделения

Для положительного целого числа n и произвольных действительных чисел m , x :

$\left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor$

$\left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .$

Преемственность и расширение серий

Ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной , но все они кусочно-линейны : функции $\lfloor x\rfloor$, $\lceil x\rceil$, и $\{x\}$ имеют разрывы в целых числах.

$\lfloor x\rfloor$ является полунепрерывным сверху и $\lceil x\rceil$ и $\{x\}$ снизу полунепрерывны.

Поскольку ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, ни одна из них не имеет разложения в степенной ряд . Поскольку пол и потолок не являются периодическими, они не имеют равномерно сходящегося разложения в ряд Фурье . Функция дробной части имеет разложение в ряд Фурье $$\{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$$ для x не целое число.

В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним из его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: при y фиксированном и x , кратном y, данный ряд Фурье сходится. к y /2, а не к x mod y = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.

Используя формулу $\lfloor x\rfloor =x-\{x\}$ дает $$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$$ для x не целое число.

Приложения

Оператор мода

Для целого числа x и положительного целого числа y операция по модулю , обозначаемая x mod y , дает значение остатка, когда x делится на y . Это определение можно распространить на действительные x и y , y ≠ 0, по формуле

$x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .$

Тогда из определения функции пола следует, что эта расширенная операция удовлетворяет многим естественным свойствам. Примечательно, что x mod y всегда находится между 0 и y , т. е.

если у положительное,

$0\leq x{\bmod {y}}<y,$

и если y отрицательно,

$0\geq x{\bmod {y}}>y.$

Квадратичная взаимность

Гаусса Третье доказательство квадратичной взаимности , модифицированное Эйзенштейном, состоит из двух основных этапов.

Пусть p и q — различные положительные нечетные простые числа, и пусть $m={\tfrac {1}{2}}(p-1),$ $n={\tfrac {1}{2}}(q-1).$

Во-первых, лемма Гаусса используется, чтобы показать, что символы Лежандра имеют вид

${\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}$

Второй шаг — использовать геометрический аргумент, чтобы показать, что

$\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.$

Объединение этих формул дает квадратичную взаимность в виде

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

Существуют формулы, в которых слово используется для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел p :

${\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}$

Округление

Для произвольного действительного числа $x$, округление $x$ до ближайшего целого числа с разрывом связи в сторону положительной бесконечности, определяется выражением ${\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil$; округление в сторону отрицательной бесконечности задается как ${\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor$.

Если разрешение тай-брейка далеко от 0, то функция округления равна ${\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor$ (см. функцию знака ), а округление в сторону четного можно выразить с помощью более громоздкой $\lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +{\bigl \lceil }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rceil }-{\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rfloor }-1$, что является приведенным выше выражением для округления в сторону положительной бесконечности. ${\text{rpi}}(x)$ минус целостности показатель для ${\tfrac {1}{4}}(2x-1)$.

Округление действительного числа $x$ до ближайшего целого значения образует очень простой тип квантователя – унифицированный . Типичный ( средний шаг ) равномерный квантователь с размером шага квантования, равным некоторому значению. $\Delta$ может быть выражено как

$Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$,

Количество цифр

Число цифр по базе b натурального числа k равно

$\lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .$

Количество строк без повторяющихся символов

Количество возможных строк произвольной длины, в которых дважды не используется ни один символ, определяется выражением

$(n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor$

где:

• n > 0 — количество букв в алфавите (например, 26 в английском языке )
• падающий факториал $(n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$ обозначает количество строк длины k , в которых не используется ни один символ дважды.
• н ! обозначает факториал n ​
• e = 2,718... — число Эйлера.

Для n = 26 это получится 1096259850353149530222034277.

Факторы факториалов

Пусть n — целое положительное число, а p — положительное простое число. Показатель высшей степени числа p, делящего n ! задается версией формулы Лежандра

$\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}$

где ${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$ это способ записи n в базе p . Это конечная сумма, так как этажи равны нулю, когда p ^к > н .

Битти-последовательность

Последовательность Битти показывает, как каждое положительное иррациональное число приводит к разделению натуральных чисел на две последовательности с помощью функции пола.

Константа Эйлера (в)

Существуют формулы для постоянной Эйлера γ = 0,57721 56649 ... которые включают пол и потолок, например

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,$

$\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),$

и

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots$

Дзета-функция Римана (г)

Дробная часть функции также появляется в интегральных представлениях дзета-функции Римана . Легко доказать (при помощи интегрирования по частям) что если $\varphi (x)$ любая функция с непрерывной производной на отрезке [ a , b ],

$\sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).$

Сдача в аренду $\varphi (n)=n^{-s}$ для действительной части s дает больше 1, если a и b являются целыми числами, а b приближается к бесконечности, это

$\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.$

Эта формула действительна для всех s с действительной частью больше -1 (кроме s = 1, где есть полюс) и в сочетании с разложением Фурье для { x } может использоваться для расширения дзета-функции на всю комплексную плоскость. и доказать его функциональное уравнение.

При s = σ + it в критической полосе 0 < σ < 1,

$\zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .$

В 1947 году ван дер Поль использовал это представление для создания аналогового компьютера для поиска корней дзета-функции.

Формулы для простых чисел

Функция пола встречается в нескольких формулах, характеризующих простые числа. Например, поскольку ${\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }}$ равно 1, если m делит n , и 0 в противном случае, из этого следует, что положительное целое число n является простым тогда и только тогда, когда

$\sum _{m=1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)=2.$

Можно также привести формулы для получения простых чисел. Например, пусть p _{n —} - е n простое число и для любого целого числа r > 1 определим действительное число α суммой

$\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.$

Затем

$p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .$

Аналогичный результат состоит в том, что существует число θ = 1,3064... ( константа Миллса ) со свойством, что

$\left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots$

все простые.

Существует также число ω = 1,9287800... со свойством, что

$\left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots$

все простые.

Пусть π ( x ) будет количеством простых чисел, меньших или равных x . следует прямой вывод Из теоремы Вильсона :

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.$

Кроме того, если n ≥ 2,

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }1\,{\bigg /}\ {\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }{\Biggr \rfloor }.$

Ни одна из формул в этом разделе не имеет практического применения.

Решенные проблемы

Рамануджан представил эти задачи в Журнал Индийского математического общества .

Если n — целое положительное число, докажите, что

1. $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,$
2. $\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,$
3. $\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .$

Были доказаны некоторые обобщения приведенных выше тождественных функций пола.

Нерешенная проблема

Исследование проблемы Уоринга привело к нерешенной проблеме:

Существуют ли целые положительные числа k ≥ 6 такие, что

$3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\ ?$

Малер доказал, что таких k может быть только конечное число ; ни один не известен.

Компьютерные реализации

Функция Int из преобразования чисел с плавающей запятой в C

В большинстве языков программирования простейший метод преобразования числа с плавающей запятой в целое число заключается не в минимальном или предельном значении, а в усечении. Причина этого историческая, поскольку первые машины использовали дополнение до единиц , а усечение было проще реализовать (в дополнении до двух проще ). FORTRAN был определен так, чтобы требовать такого поведения, и поэтому почти все процессоры реализуют преобразование таким образом. Некоторые считают, что это неудачное историческое дизайнерское решение, которое привело к ошибкам в обработке отрицательных смещений и графики на отрицательной стороне начала координат.

Арифметический сдвиг вправо целого числа со знаком $x$ к $n$ то же самое, что $\left\lfloor x/2^{n}\right\rfloor$. Деление на степень 2 часто записывается как сдвиг вправо, но не для оптимизации, как можно было бы предположить, а потому, что требуется минимальный уровень отрицательных результатов. Предполагая, что такие изменения являются «преждевременной оптимизацией», и замена их разделением может привести к поломке программного обеспечения.

Многие языки программирования (включая C , C++ , С# , Ява , PHP , Р , и Питон ) обеспечивают стандартные функции для пола и потолка, обычно называемые floor и ceilили реже ceiling. Язык, APL который использует ⌊x для пола. Язык программирования J , продолжение APL, разработанный для использования стандартных символов клавиатуры, использует <. для пола и >. для потолка. Алгол использует entier для пола.

В Microsoft Excel функция INT округляет в меньшую сторону, а не в сторону нуля, пока FLOOR округляет до нуля, что противоположно тому, что делают «int» и «floor» в других языках. С 2010 года FLOOR было изменено на ошибку, если число отрицательное. Формат файла OpenDocument , используемый OpenOffice.org , Libreoffice и другими, INT и FLOOR оба делают пол, и FLOOR имеет третий аргумент для воспроизведения предыдущего поведения Excel.

См. также

• Скобка (математика)
• Целочисленная функция
• Ступенчатая функция
• Операция по модулю

Ссылки

• Дж. В. Касселс (1957), Введение в диофантово приближение , Кембриджские трактаты по математике и математической физике, том. 45, Издательство Кембриджского университета
• Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2001), Простые числа: вычислительная перспектива , Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-94777-9
• Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994), Конкретная математика , Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN  0-201-55802-5
• Харди, GH; Райт, Э.М. (1980), Введение в теорию чисел (пятое издание) , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN  978-0-19-853171-5
• Николас Дж. Хайэм, Справочник по написанию математических наук , SIAM. ISBN   0-89871-420-6 , с. 25
• ИСО / МЭК . ISO/IEC 9899::1999(E): Языки программирования — C (2-е изд.), 1999 г.; Раздел 6.3.1.4, с. 43.
• Айверсон, Кеннет Э. (1962), Язык программирования , Уайли
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer , ISBN  3-540-66957-4
• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей , Провиденс, Род-Айленд: AMS / Челси, ISBN  978-0-8218-2076-6
• Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел , Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-94457-5
• Майкл Салливан. Precalculus , 8-е издание, с. 86
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Оксфорд: Oxford UP, ISBN  0-19-853369-1

Внешние ссылки

• «Функция пола» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Штефан Порубский, «Функции округления целых чисел» , Интерактивный информационный портал алгоритмической математики , Институт компьютерных наук Чешской академии наук, Прага, Чехия, получено 24 октября 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция потолка» . Математический мир .