Недостаточная выборка

Рис. 1. На двух верхних графиках изображены преобразования Фурье двух разных функций, которые дают одинаковые результаты при выборке с определенной частотой. Функция основной полосы дискретизируется быстрее, чем ее частота Найквиста, а функция полосового пропускания субдискретизируется, эффективно преобразуя ее в полосу частот. Нижние графики показывают, как идентичные спектральные результаты создаются псевдонимами процесса выборки.

График частоты дискретизации (ось Y) в зависимости от верхней граничной частоты (ось X) для полосы шириной 1; серые области представляют собой комбинации, которые «разрешены» в том смысле, что никакие две частоты в полосе не совпадают с одной и той же частотой. Более темные серые области соответствуют недостаточной выборке с максимальным значением n в уравнениях этого раздела.

В обработке сигналов , недостаточная дискретизация или полосовая выборка — это метод, при котором производится выборка сигнала , отфильтрованного полосовым фильтром с частотой дискретизации ниже его частоты Найквиста (в два раза выше верхней частоты среза ), но при этом сохраняется возможность восстановить сигнал.

Когда кто-то субдискретизирует полосовой сигнал, выборки неотличимы от выборок низкочастотного псевдонима высокочастотного сигнала. Такая выборка также известна как полосовая выборка, выборка гармоник, выборка ПЧ и прямое преобразование ПЧ в цифровой формат.

Описание

Преобразования Фурье вещественных функций симметричны вокруг оси 0 Гц . После выборки только периодическое суммирование преобразования Фурье (так называемое преобразование Фурье с дискретным временем по- прежнему доступно ). Отдельные копии исходного преобразования со сдвигом по частоте называются псевдонимами . Сдвиг частоты между соседними псевдонимами — это частота дискретизации, обозначаемая f _s . Когда псевдонимы являются взаимоисключающими (спектрально), исходное преобразование и исходная непрерывная функция или ее версия со сдвигом по частоте (при желании) могут быть восстановлены из выборок. Первый и третий графики рисунка 1 изображают спектр основной полосы частот до и после выборки со скоростью, которая полностью разделяет псевдонимы.

Второй график на рисунке 1 изображает частотный профиль полосовой функции, занимающей полосу ( A , A + B ) (заштрихован синим цветом) и ее зеркальное отражение (заштриховано бежевым цветом). Условием неразрушающей частоты дискретизации является то, что псевдонимы обеих полос не перекрываются при сдвиге на все целые кратные f _s . Четвертый график отображает спектральный результат дискретизации с той же частотой, что и функция основной полосы частот. Скорость была выбрана путем нахождения самой низкой скорости, которая является целым дробным числом A и также удовлетворяет критерию Найквиста в основной полосе частот : f _s > 2 B . Следовательно, функция полосы пропускания фактически преобразуется в полосу частот. Все остальные ставки, которые позволяют избежать дублирования, определяются этими более общими критериями, где A и A + B заменяются на f _L и f _H соответственно :

${\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}$, для любого целого числа n, удовлетворяющего: $1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}\right\rfloor$

Наибольшее n, для которого выполняется условие, приводит к минимально возможной частоте дискретизации.

Важные сигналы такого типа включают в себя сигнал промежуточной частоты (ПЧ), радиочастотный сигнал (РЧ) и отдельные каналы банка фильтров .

Если n > 1, то условия приводят к тому, что иногда называют недостаточной дискретизацией , полосовой выборкой или использованием частоты дискретизации, меньшей, чем частота Найквиста (2 f _H ). Для случая заданной частоты дискретизации ниже приведены более простые формулы для ограничений на спектральную полосу сигнала.

Спектр диапазона FM-радио (88–108 МГц) и его псевдоним основной полосы частот при дискретизации 44 МГц ( n = 5). Требуется антиалиасовый фильтр, достаточно плотный для FM-диапазона радио, и на соседних каналах расширения, таких как 87,9, нет места без наложения радиостанций.

Спектр FM-радиодиапазона (88–108 МГц) и его псевдоним основной полосы ниже 56 МГц ( n = 4) дискретизации, демонстрирующий достаточно места для переходных полос полосового фильтра сглаживания. В этом случае изображение основной полосы частот инвертируется (даже n ).

Пример. Рассмотрим FM-радио , чтобы проиллюстрировать идею недостаточной выборки.

В США FM-радио работает в диапазоне частот от f _L = 88 МГц до f _H = 108 МГц. Пропускная способность определяется выражением

$W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz}$

Условия выборки удовлетворяются для

$1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor$

Следовательно, n может быть 1, 2, 3, 4 или 5.

Значение n = 5 дает интервал наименьших частот дискретизации. $43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz}$ и это сценарий недостаточной выборки. В этом случае спектр сигнала соответствует частоте дискретизации, в 2–2,5 раза превышающей частоту дискретизации (выше 86,4–88 МГц, но ниже 108–110 МГц).

Более низкое значение n также приведет к полезной частоте дискретизации. Например, при n = 4 спектр FM-диапазона легко укладывается в диапазон от 1,5 до 2,0-кратной частоты дискретизации для частоты дискретизации около 56 МГц (кратность частоты Найквиста равна 28, 56, 84, 112 и т. д.). См. иллюстрации справа.

При недостаточной дискретизации реального сигнала схема дискретизации должна быть достаточно быстрой, чтобы уловить интересующую самую высокую частоту сигнала. Теоретически каждая проба должна отбираться за бесконечно малый интервал времени, но это практически неосуществимо. Вместо этого выборка сигнала должна производиться за достаточно короткий интервал, чтобы она могла представлять мгновенное значение сигнала с самой высокой частотой. Это означает, что в приведенном выше примере FM-радио схема дискретизации должна иметь возможность захватывать сигнал с частотой 108 МГц, а не 43,2 МГц. Таким образом, частота дискретизации может быть лишь немного больше 43,2 МГц, но входная полоса пропускания системы должна быть не менее 108 МГц. Точно так же точность синхронизации выборки или неопределенность апертуры устройства выборки, часто аналого-цифрового преобразователя , должны соответствовать частотам выборки 108 МГц, а не более низкой частоте выборки.

Если теорему о дискретизации интерпретировать как требующую удвоенной самой высокой частоты, то предполагается, что требуемая частота дискретизации превышает частоту Найквиста, составляющую 216 МГц. Хотя это действительно удовлетворяет последнему условию относительно частоты дискретизации, оно сильно передискретизировано.

Обратите внимание, что если полоса дискретизируется с n > 1, то полосовой фильтр требуется для фильтра сглаживания вместо фильтра нижних частот.

Как мы видели, нормальным условием основной полосы частот для обратимой выборки является то, что X ( f ) = 0 вне интервала :   $\scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$

а функция реконструктивной интерполяции или импульсная характеристика фильтра нижних частот равна $\scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).$

Чтобы обеспечить недостаточную дискретизацию, условие полосы пропускания состоит в том, что X ( f ) = 0 вне объединения открытых положительных и отрицательных полос частот.

$\left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)$ для некоторого положительного целого числа $n\,$.

который включает в себя нормальное состояние основной полосы частот в случае n = 1 (за исключением случая, когда интервалы сходятся на частоте 0, они могут быть замкнуты).

Соответствующая интерполяционная функция представляет собой полосовой фильтр, определяемый этой разницей импульсных характеристик нижних частот :

$n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)$.

С другой стороны, реконструкция обычно не является целью дискретизированных сигналов ПЧ или РЧ. Скорее, последовательность выборок можно рассматривать как обычные выборки сигнала, сдвинутые по частоте в ближнюю полосу частот, и цифровая демодуляция может осуществляться на этой основе, распознавая зеркальное отображение спектра, когда n четно.

Возможны дальнейшие обобщения недостаточной дискретизации для случая сигналов с несколькими полосами и сигналов в многомерных областях (пространстве или пространстве-времени), которые были подробно разработаны Игорем Клуванеком .

См. также

• Морось (обработка изображения)
• Передискретизация и недостаточная выборка при анализе данных