Оптимальное распределение

Оптимальное распределение – это подход к распределению , основанный на математической оптимизации .

В задаче распределения имеется ресурс , который необходимо распределить, обозначаемый $h$. Например, это может быть целое число, обозначающее количество мест в палате представителей. Ресурс должен быть распределен между некоторыми $n$ агенты . Например, это могут быть федеральные земли или политические партии . Агенты имеют разные права , обозначенные вектором дробей. $t_{1},\ldots ,t_{n}$ с суммой 1. Например, t _i может быть долей голосов, набранных партией i . Цель — найти распределение — вектор $a_{1},\ldots ,a_{n}$ с $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$.

Идеальная доля для агента i — это его квота , определяемая как $q_{i}:=t_{i}\cdot h$. Если есть возможность дать каждому агенту свою квоту, то распределение будет максимально справедливым. Однако точная справедливость обычно недостижима, поскольку квоты не являются целыми числами, а распределения должны быть целыми числами. Существуют различные подходы, позволяющие справиться с этой трудностью (см. «Математика распределения »). Подход, основанный на оптимизации, направлен на достижение, например, распределения, которое было бы «насколько возможно справедливым» для этого случая. Распределение является «справедливым», если $a_{i}=q_{i}$ для всех агентов i , то есть распределение каждого агента точно пропорционально его/ее правам. в этом случае мы говорим, что «несправедливость» распределения равна 0. Если это равенство должно быть нарушено, можно определить меру «полной несправедливости» и попытаться минимизировать ее.

Минимизация суммы уровней несправедливости

Наиболее естественной мерой является сумма уровней несправедливости для отдельных агентов, как в утилитарном правиле :

• Можно минимизировать сумму разностей $\sum _{i=1}^{n}|a_{i}-q_{i}|$, или сумма квадратов $\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})^{2}$, которые имеют одинаковый вес для каждого государства (или партии). Обе задачи минимизации решаются методом Гамильтона .
• Можно взвесить элементы суммы по численности населения или, что то же самое, по квоте и попытаться минимизировать статистику хи-квадрат. $\sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}$. Это приводит к методу Вебстера .
• Можно взвесить элементы суммы по распределениям и попытаться минимизировать $\sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}$. Это приводит к методу Хилла .

Минимизация крупнейших несправедливостей

Можно свести к минимуму величайшую несправедливость, как в эгалитарном правиле :

• Можно минимизировать $\max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|$, и приступайте к минимизации следующей по величине несправедливости и т. д., используя порядок лексиминов . Это дает метод, называемый методом распределения лексимина . Впервые его разработали Биро, Кочи и Шиклаи, которые представили эффективный алгоритм для его вычисления. Его основная цель — удовлетворить требование Венецианской комиссии о том, что максимальное отклонение от равного распределения предметов между агентами должно быть как можно меньшим. Его недостаток в том, что он нарушает правило квот и все критерии монотонности.
• Берт и Харрис (1963) предложили свести к минимуму $\max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|$.
• Минимизация $\max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}$ приводит к методу Адамса.
• Минимизация $\max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}$ приводит к методу Джефферсона.
• Также возможно максимизировать $\min _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})$или, что то же самое, минимизировать $\max _{i=1}^{n}(q_{i}-a_{i})$. Этот метод удовлетворяет обеим квотам.
• Минимаксный метод можно обобщить для любого выбранного порядка приоритетов по критериям справедливости.