Утилитарное правило

В исследовании социального выбора и операций утилитарное правило (также называемое правилом максимальной суммы ) — это правило, гласящее, что среди всех возможных альтернатив общество должно выбрать ту альтернативу, которая максимизирует сумму полезностей всех индивидов в обществе. ^[1]^{: под.2.5} Это формальное математическое представление утилитарной философии , и его часто оправдывают ссылкой на утилитарную теорему Харсаньи или теорему фон Неймана-Моргенштерна .

В контексте систем голосования это правило называется голосованием по результатам .

Определение

Позволять $X$ быть набором возможных «состояний мира» или «альтернатив». Общество желает выбрать одно государство из $X$ . Например, на выборах с одним победителем $X$ может представлять группу кандидатов; в настройках распределения ресурсов , $X$ может представлять все возможные распределения ресурса.

Позволять $I$ быть конечным множеством, представляющим совокупность индивидов. Для каждого $i\in I$ , позволять $u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R}$ — функция полезности , описывающая количество счастья, которое индивидуум i получает от каждого возможного состояния.

Правило социального выбора – это механизм, использующий данные $(u_{i})_{i\in I}$ выбрать какой-либо элемент(ы) из $X$ которые являются «лучшими» для общества (вопрос о том, что означает «лучшее», является основной проблемой теории социального выбора ).

Утилитарное правило выбирает элемент $x\in X$ которая максимизирует утилитарную сумму

U(x):=\sum _{i\in I}u_{i}(x).

Осязаемые функции полезности

Утилитарное правило легко интерпретировать и реализовать, когда функции u _i представляют некоторую осязаемую, измеримую форму полезности. Например: ^[1]^: 44

Рассмотрим задачу распределения древесины между застройщиками. Функции полезности могут отражать их производительную силу: $u_{i}(y_{i})$ это количество зданий, которые агент $i$ можно построить, используя $y_{i}$ единицы древесины. Затем утилитарное правило распределяет древесину таким образом, чтобы максимально увеличить количество построек.
Рассмотрим задачу распределения редкого лекарства среди пациентов. Функции полезности могут отражать их шанс на выздоровление: $u_{i}(y_{i})$ вероятность агента $i$ восстановиться, получив $y_{i}$ дозы препарата. Затем утилитарное правило распределяет лекарства таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое число выживших.

Абстрактные служебные функции

Когда функции u _i представляют некую абстрактную форму «счастья», утилитарное правило становится труднее интерпретировать. Чтобы приведенная выше формула имела смысл, необходимо предположить, что функции полезности $(u_{i})_{i\in I}$ являются кардинальными и межличностно сопоставимыми на кардинальном уровне.

Представление о том, что индивиды обладают кардинальными функциями полезности, не так уж проблематично. Кардинальная полезность неявно предполагалась в теории принятия решений еще со времен Даниэлем Бернулли анализа петербургского парадокса . Строгие математические теории кардинальной полезности (с применением к принятию рискованных решений) были разработаны Фрэнком П. Рэмси , Бруно де Финетти , фон Нейманом и Моргенштерном , а также Леонардом Сэвиджем . Однако в этих теориях функция полезности человека четко определена только с точностью до «аффинного масштабирования». Таким образом, если функция полезности $u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R}$ является действительным описанием ее предпочтений, и если $r_{i},s_{i}\in \mathbb {R}$ две константы с $s_{i}>0$ , то "перемасштабированная" функция полезности $v_{i}(x):=s_{i}\,u_{i}(x)+r_{i}$ является столь же достоверным описанием ее предпочтений. Если мы определим новый пакет служебных функций $(v_{i})_{i\in I}$ используя, возможно, разные $r_{i}\in \mathbb {R}$ и $s_{i}>0$ для всех $i\in I$ , а затем рассмотрим утилитарную сумму

V(x):=\sum _{i\in I}v_{i}(x),

то, вообще говоря, максимизатор $V$ будет не таким же, как максимизатор $U$ . Таким образом, в некотором смысле классический утилитарный социальный выбор не имеет четкого определения в рамках стандартной модели кардинальной полезности, используемой в теории принятия решений, если только не указан механизм «калибровки» функций полезности различных индивидов.

Относительный утилитаризм

Относительный утилитаризм предлагает естественный механизм калибровки. Для каждого $i\in I$ , предположим, что значения

m_{i}\ :=\ \min _{x\in X}\,u_{i}(x)\quad {\text{and}}\quad M_{i}\ :=\ \max _{x\in X}\,u_{i}(x)

четко определены. (Например, это всегда будет верно, если $X$ конечно, или если $X$ представляет собой компактное пространство и $u_{i}$ является непрерывной функцией.) Затем определим

w_{i}(x)\ :=\ {\frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}

для всех $x\in X$ . Таким образом, $w_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R}$ представляет собой «перемасштабированную» функцию полезности, имеющую минимальное значение 0 и максимальное значение 1. Правило относительного утилитарного социального выбора выбирает элемент в $X$ которая максимизирует утилитарную сумму

W(x):=\sum _{i\in I}w_{i}(x).

Как абстрактную функцию социального выбора относительный утилитаризм был проанализирован Цао (1982): ^[2] Диллон (1998), ^[3] Век (1998), ^[4] Диллон и Мертенс (1999), ^[5] Сигал (2000), ^[6] Собел (2001) ^[7] и Пивато (2008). ^[8] (Цао (1982) называет это «модифицированным решением Томсона».)

Утилитарное правило и Парето-эффективность

Каждая эффективная по Парето функция социального выбора обязательно является утилитарной функцией выбора, и этот результат известен как утилитарная теорема Харсаньи . В частности, любая эффективная по Парето функция социального выбора должна представлять собой линейную комбинацию функций полезности каждой отдельной функции полезности (со строго положительными весами).

Утилитарное правило в конкретных контекстах

В контексте голосования утилитарное правило приводит к нескольким методам голосования:

Голосование по диапазону (также называемое голосованием по баллам или утилитарным голосованием) реализует относительно-утилитарное правило, позволяя избирателям явно выражать свою полезность для каждой альтернативы по общей нормализованной шкале.
Неявное утилитарное голосование пытается приблизиться к утилитарному правилу, позволяя избирателям выражать только порядковый номер кандидатов.

В контексте распределения ресурсов утилитарное правило приводит к:

Частное правило разделения единого однородного ресурса ;
Несколько правил и алгоритмов утилитарного разрезания торта – разделения гетерогенного ресурса;
Особое правило справедливого распределения предметов . ^[9]
Задача максимизации благосостояния .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Мулен, Эрве (2003). Справедливое разделение и коллективное благосостояние . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-13423-1 .
^ Цао, Сирен (1 декабря 1982 г.). «Функции предпочтений и торговые решения» . 1982 21-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . IEEE. стр. 164–171. дои : 10.1109/cdc.1982.268420 . S2CID 30395654 .
^ Диллон, Амрита (1998), «Расширенные правила Парето и относительный утилитаризм», Social Choice and Welfare , 15 (4): 521–542, doi : 10.1007/s003550050121 , S2CID 54899024
^ Карни, Эди (1998), «Беспристрастность: определение и представление», Econometrica , 66 (6): 1405–1415, doi : 10.2307/2999622 , JSTOR 2999622
^ Диллон, Амрита; Мертенс, Жан-Франсуа (1999), «Относительный утилитаризм», Econometrica , 67 (3): 471–498, doi : 10.1111/1468-0262.00033
^ Сигал, Узи (2000), «Давайте согласимся, что все диктатуры одинаково плохи» , Журнал политической экономии , 108 (3): 569–589, doi : 10.1086/262129 , S2CID 154610036
^ Собел, Джоэл (2001), «Манипулирование предпочтениями и относительный утилитаризм», Games and Economic Behavior , 37 : 196–215, CiteSeerX 10.1.1.395.509 , doi : 10.1006/game.2000.0839
^ Пивато, Маркус (2008), «Двойная оптимальность относительного утилитарного решения для переговоров», Social Choice and Welfare , 32 (1): 79–92, CiteSeerX 10.1.1.537.5572 , doi : 10.1007/s00355-008-0313-0 , S2CID 15475740
^ Азиз, Харис; Хуан, Синь; Маттеи, Николас; Сегал-Халеви, Эрель (13 октября 2022 г.). «Расчет благосостояния: максимизация справедливого распределения неделимых благ» . Европейский журнал операционных исследований . 307 (2): 773–784. arXiv : 2012.03979 . дои : 10.1016/j.ejor.2022.10.013 . ISSN 0377-2217 . S2CID 235266307 .

[Moulin_2003-1] Jump up to: ^а ^б Мулен, Эрве (2003). Справедливое разделение и коллективное благосостояние . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-13423-1 .

[2] Цао, Сирен (1 декабря 1982 г.). «Функции предпочтений и торговые решения» . 1982 21-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . IEEE. стр. 164–171. дои : 10.1109/cdc.1982.268420 . S2CID 30395654 .

[3] Диллон, Амрита (1998), «Расширенные правила Парето и относительный утилитаризм», Social Choice and Welfare , 15 (4): 521–542, doi : 10.1007/s003550050121 , S2CID 54899024

[4] Карни, Эди (1998), «Беспристрастность: определение и представление», Econometrica , 66 (6): 1405–1415, doi : 10.2307/2999622 , JSTOR 2999622

[5] Диллон, Амрита; Мертенс, Жан-Франсуа (1999), «Относительный утилитаризм», Econometrica , 67 (3): 471–498, doi : 10.1111/1468-0262.00033

[6] Сигал, Узи (2000), «Давайте согласимся, что все диктатуры одинаково плохи» , Журнал политической экономии , 108 (3): 569–589, doi : 10.1086/262129 , S2CID 154610036

[7] Собел, Джоэл (2001), «Манипулирование предпочтениями и относительный утилитаризм», Games and Economic Behavior , 37 : 196–215, CiteSeerX 10.1.1.395.509 , doi : 10.1006/game.2000.0839

[8] Пивато, Маркус (2008), «Двойная оптимальность относительного утилитарного решения для переговоров», Social Choice and Welfare , 32 (1): 79–92, CiteSeerX 10.1.1.537.5572 , doi : 10.1007/s00355-008-0313-0 , S2CID 15475740

[9] Азиз, Харис; Хуан, Синь; Маттеи, Николас; Сегал-Халеви, Эрель (13 октября 2022 г.). «Расчет благосостояния: максимизация справедливого распределения неделимых благ» . Европейский журнал операционных исследований . 307 (2): 773–784. arXiv : 2012.03979 . дои : 10.1016/j.ejor.2022.10.013 . ISSN 0377-2217 . S2CID 235266307 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]