Справедливое разделение единого однородного ресурса

Справедливый раздел одного однородного ресурса — одна из простейших постановок задач справедливого дележа . Есть единый ресурс, который следует разделить между несколькими людьми. Проблема в том, что каждый человек извлекает из каждого количества ресурса разную полезность. Следовательно, существует несколько противоречивых принципов принятия решения о том, как следует разделить ресурс. Основной конфликт возникает между эффективностью и равенством. Эффективность представлена утилитарным правилом , которое максимизирует сумму полезностей; равенство представлено эгалитарным правилом, которое максимизирует минимальную полезность. ^[1]^{: под.2.5}

Параметр

В определенном обществе существуют:

$t$ единицы некоторого делимого ресурса.
$n$ агенты с разными «полезностями».
Полезность агента $i$ представлена функцией $u_{i}$ ; когда агент $i$ получает $y_{i}$ единиц ресурса, он извлекает из него полезность в размере $u_{i}(y_{i})$ .

Эта настройка может иметь различные интерпретации. Например: ^[1]^: 44

Ресурс — это древесина, агенты — строители, а функции полезности представляют их производительную силу. $u_{i}(y_{i})$ это количество зданий, которые агент $i$ можно построить, используя $y_{i}$ единицы древесины.
Ресурс — это лекарство, агенты — пациенты, а функции полезности представляют их шанс на выздоровление. $u_{i}(y_{i})$ вероятность агента $i$ восстановиться, получив $y_{i}$ дозы препарата.

В любом случае обществу предстоит решить, как разделить ресурс между агентами: ему необходимо найти вектор $y_{1},\dots ,y_{n}$ такой, что: $y_{1}+\cdots +y_{n}=t$

Правила распределения

Без зависти

Правило отсутствия зависти гласит, что ресурс следует распределять так, чтобы ни один агент не завидовал другому агенту. В случае одного однородного ресурса он всегда выбирает такое распределение, которое дает каждому агенту одинаковое количество ресурса, независимо от его функции полезности:

\forall i:y_{i}=t/n

Утилитарный

Утилитарное гласит , правило что сумма полезностей должна быть максимизирована. Таким образом, утилитарное распределение представляет собой:

y=\arg \max _{y}\sum _{i}u_{i}(y_{i})

Эгалитарный

Эгалитарное гласит , правило что полезности всех агентов должны быть равны. Поэтому мы хотели бы выбрать распределение, которое удовлетворяет:

\forall i,j:u_{i}(y_{i})=u_{j}(y_{j})

Однако такого распределения может не быть, поскольку диапазоны функций полезности могут не перекрываться (см. пример ниже). Чтобы гарантировать существование решения, мы допускаем разные уровни полезности, но требуем, чтобы агенты с уровнями полезности выше минимального не получали ресурсов:

y_{i}>0\implies u_{i}(y_{i})=\min _{j}u_{j}(y_{j})

Аналогичным образом, эгалитарное распределение максимизирует минимальную полезность:

y=\arg \max _{y}\min _{i}u_{i}(y_{i})

Утилитарные и эгалитарные правила могут привести к одному и тому же распределению или к разным распределениям, в зависимости от функций полезности. Некоторые примеры проиллюстрированы ниже.

Примеры

Общая полезность и неравные возможности

Предположим, что все агенты имеют одинаковую функцию полезности: $u$ , но каждый агент $i$ имеет другой первоначальный запас, $x_{i}$ . Таким образом, полезность каждого агента $i$ дается:

u_{i}(y_{i})=u(x_{i}+y_{i})

Если $u$ является вогнутой функцией , представляющей убывающую отдачу , то утилитарное и эгалитарное распределение одинаковы – попытка уравнять возможности агентов. Например, если есть 3 агента с начальными запасами $x=2,4,9$ и общая сумма $t=8$ , то оба правила рекомендуют распределение $y=5,3,0$ , поскольку он одновременно стремится к равным полезностям (насколько это возможно) и максимизирует сумму полезностей.

Напротив, если $u$ является выпуклой функцией , представляющей возрастающую отдачу , то эгалитарное распределение все еще стремится к равенству, но утилитарное распределение теперь отдает все ресурсы самому богатому агенту: $y=0,0,9$ . ^[1]^: 45 Это имеет смысл, например, когда ресурсом является дефицитное лекарство: возможно, с социальной точки зрения лучше всего дать все лекарства пациенту с наибольшими шансами на излечение.

Постоянные коэффициенты полезности

Предположим, что существует общая функция полезности $u$ , но у каждого агента свой коэффициент $a_{i}$ представляющий производительность этого агента. Таким образом, полезность каждого агента $i$ дается:

u_{i}(y_{i})=a_{i}\cdot u(y_{i})

Здесь утилитарный и эгалитарный подходы диаметрально противоположны. ^[1]^: 46–47

Эгалитарное распределение дает больше ресурсов менее производительным агентам, чтобы дать им компенсацию и позволить им достичь высокого уровня полезности:
$a_{i}>a_{j}\implies y_{j}>y_{i}$
Утилитарное распределение дает больше ресурсов более производительным агентам, поскольку они будут лучше их использовать:
$a_{i}>a_{j}\implies y_{i}>y_{j}$

Свойства правил распределения

Монотонность ресурсов : правление без зависти и эгалитарное правление всегда монотонны по ресурсам. Утилитарное правило является монотонным по ресурсам, когда все функции полезности являются вогнутыми функциями , представляющими убывающую отдачу ; но когда некоторые функции полезности являются выпуклыми функциями , представляющими возрастающую отдачу , утилитарное правило может быть не монотонным по ресурсам. ^[1]^: 47

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Эрве Мулен (2004). Справедливое разделение и коллективное благосостояние . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 9780262134231 .

[moulin-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Эрве Мулен (2004). Справедливое разделение и коллективное благосостояние . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 9780262134231 .

[1]