Петербургский парадокс

Портрет Николя Бернулли (1723 г.)

Петербургский парадокс или Петербургская лотерея Это парадокс, связанный с игрой в подбрасывание монеты, в которой ожидаемый выигрыш в теоретической лотерее приближается к бесконечности, но, тем не менее, кажется, что он приносит участникам лишь очень небольшую сумму. Парадокс Санкт-Петербурга — это ситуация, когда наивный критерий принятия решения, учитывающий только ожидаемое значение, предсказывает курс действий, который, по-видимому, ни один реальный человек не захотел бы предпринять. Было предложено несколько решений этого парадокса, в том числе невероятная сумма денег, которая понадобится казино, чтобы продолжать игру бесконечно.

Задачу придумал Николя Бернулли . который заявил об этом в письме Пьеру Раймону де Монмору от 9 сентября 1713 года. Однако парадокс получил свое название от анализа двоюродного брата Николая Даниэля Бернулли , бывшего жителя Санкт-Петербурга , который в 1738 году опубликовал свои мысли о проблеме в « Записках Императорской Академии наук Санкт-Петербурга» .

Игра «Санкт-Петербург»

Казино предлагает азартную игру для одного игрока, в которой на каждом этапе подбрасывается честная монета . Начальная ставка начинается с 2 долларов и удваивается каждый раз, когда выпадает решка. При первом выпадении орла игра заканчивается, и игрок выигрывает любую текущую ставку. Таким образом, игрок выигрывает 2 доллара, если при первом броске выпадает решка, 4 доллара, если при первом броске выпадает решка, а при втором — орёл, 8 долларов, если при первых двух бросках выпадает решка, а при третьем — орёл, и так далее. Математически выигрывает игрок. $2^{k+1}$ долларов, где $k$ - количество последовательных бросков решки. Какую справедливую цену придется заплатить казино за вход в игру?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть, какова будет ожидаемая выплата на каждом этапе: с вероятностью 1/2 , ; игрок выигрывает 2 доллара с вероятностью 1/4 доллара ; игрок выигрывает 4 с вероятностью 1/8 . далее игрок выигрывает 8 долларов и так Предполагая, что игра может продолжаться до тех пор, пока в результате подбрасывания монеты выпадает решка, и, в частности, что казино имеет неограниченные ресурсы, ожидаемое значение , таким образом, будет равно

${\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}\cdot 2+{\frac {1}{4}}\cdot 4+{\frac {1}{8}}\cdot 8+{\frac {1}{16}}\cdot 16+\cdots \\&=1+1+1+1+\cdots \\&=\infty \,.\end{aligned}}$

Эта сумма растет без ограничений, поэтому ожидаемый выигрыш составляет бесконечную сумму денег.

Парадокс

Принимая во внимание только ожидаемую ценность чистого изменения своего денежного богатства, поэтому следует играть в игру любой ценой, если есть такая возможность. Тем не менее, Даниэль Бернулли после описания игры с начальной ставкой в ​​один дукат заявил: «Хотя стандартный расчет показывает, что ценность ожидания [игрока] бесконечно велика, следует... человек с большим удовольствием продал бы свой шанс за двадцать дукатов». Роберт Мартин цитирует слова Яна Хакинга : «Мало кто из нас заплатил бы даже 25 долларов за участие в такой игре», и он говорит, что большинство комментаторов с этим согласятся. Очевидный парадокс заключается в несоответствии между тем, сколько люди готовы заплатить за вход в игру, и бесконечной ожидаемой ценностью.

Решения

Для решения парадокса было предложено несколько подходов.

полезности

Классическое разрешение парадокса включало явное введение функции полезности , гипотезы ожидаемой полезности и предположения об убывающей предельной полезности денег.

Даниэль Бернулли;

Определение стоимости предмета должно основываться не на цене, а скорее на полезности, которую он приносит... Нет сомнения, что прибыль в тысячу дукатов более значительна для бедняка, чем для богатого человека, хотя и то, и другое получить такую ​​же сумму.

Распространенной моделью полезности, предложенной Дэниелом Бернулли, является логарифмическая функция U ( w ) = ln( w ) (известная как журнал полезности ). Это функция общего богатства игрока w , и в нее встроена концепция убывающей предельной полезности денег. Гипотеза ожидаемой полезности утверждает, что существует функция полезности, которая обеспечивает хороший критерий поведения реальных людей; т.е. функция, которая возвращает положительное или отрицательное значение, указывающее, является ли ставка хорошей игрой. Для каждого возможного события изменение полезности ln(богатство после события) − ln(богатство до события) будет взвешено по вероятности наступления этого события. Пусть c — стоимость входа в игру. Ожидаемая дополнительная полезность лотереи теперь приближается к конечному значению:

$\Delta E(U)=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\left[\ln \left(w+2^{k}-c\right)-\ln(w)\right]<+\infty \,.$

Эта формула дает неявную связь между богатством игрока и суммой, которую он должен быть готов заплатить (в частности, любое с , которое дает положительное изменение ожидаемой полезности). Например, при использовании природного бревна миллионер (1 000 000 долларов США) должен быть готов заплатить до 20,88 долларов США, человек с 1000 долларов США должен заплатить до 10,95 долларов США, человек с 2 долларами США должен занять 1,35 долларов США и заплатить до 3,35 долларов США.

Еще до публикации Даниэля Бернулли в 1728 году математик из Женевы Габриэль Крамер уже обнаружил части этой идеи (также мотивированные петербургским парадоксом), заявив, что

математики оценивают деньги пропорционально их количеству, а здравомыслящие люди — пропорционально тому, как они могут их использовать.

Он продемонстрировал это в письме Николя Бернулли. что функция квадратного корня, описывающая убывающую предельную выгоду от прибыли, может решить проблему. Однако, в отличие от Даниэля Бернулли, он учитывал не совокупное богатство человека, а только выигрыш в лотерее.

Однако это решение Крамера и Бернулли не является полностью удовлетворительным, поскольку лотерею можно легко изменить таким образом, что парадокс возникнет снова. Для этого нам просто нужно изменить игру так, чтобы она давала еще более быстро растущие выигрыши. Для любой неограниченной функции полезности можно найти лотерею, допускающую вариант петербургского парадокса, на который впервые указал Менгер.

Недавно теория ожидаемой полезности была расширена и теперь предлагает больше поведенческих моделей принятия решений . В некоторых из этих новых теорий, например в теории кумулятивных перспектив , петербургский парадокс снова возникает в определенных случаях, даже когда функция полезности вогнута, но не в том случае, если она ограничена.

Взвешивание вероятности

Сам Николя Бернулли предложил альтернативную идею решения парадокса. Он предположил, что люди будут пренебрегать маловероятными событиями. Поскольку в лотерее Санкт-Петербурга только маловероятные события приносят высокие призы, ведущие к бесконечной ожидаемой стоимости, это могло бы разрешить парадокс. Идея взвешивания вероятностей вновь всплыла гораздо позже в работах по теории перспектив Дэниела Канемана и Амоса Тверски . Пол Вейрих также писал, что неприятие риска может решить парадокс. Далее Вейрих написал, что увеличение приза на самом деле снижает вероятность того, что кто-то заплатит за игру, заявив, что «некоторое количество птиц в руках стоит больше, чем любое количество птиц в кустах». Однако это было отвергнуто некоторыми теоретиками, поскольку, как они отмечают, некоторым людям нравится риск, связанный с азартными играми, и потому что нелогично предполагать, что увеличение приза приведет к увеличению рисков.

Теория кумулятивных перспектив — одно из популярных обобщений теории ожидаемой полезности , которое может предсказать многие поведенческие закономерности. Однако переоценка маловероятных событий, введенная в теорию кумулятивных перспектив, может восстановить парадокс Санкт-Петербурга. Теория кумулятивных перспектив позволяет избежать петербургского парадокса только тогда, когда степенной коэффициент функции полезности ниже степенного коэффициента весовой функции вероятности. Интуитивно понятно, что функция полезности должна быть не просто вогнутой, но она должна быть вогнутой относительно весовой функции вероятности, чтобы избежать петербургского парадокса. Можно утверждать, что формулы теории перспектив получаются в районе менее 400 долларов. Это неприменимо к бесконечно растущим суммам в петербургском парадоксе.

Конечные лотереи Санкт-Петербурга

Классическая петербургская игра предполагает, что казино или банкир обладают бесконечными ресурсами. Это предположение уже давно подвергается сомнению как нереалистичное. Алексис Фонтен де Бертен в 1754 году отметил, что ресурсы любого потенциального спонсора игры ограничены. Что еще более важно, ожидаемая ценность игры растет только логарифмически пропорционально ресурсам казино. В результате ожидаемая ценность игры, даже если играть против казино с максимально возможным банкроллом, весьма скромна. В 1777 году Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон, подсчитал, что после 29 раундов игры в Королевстве Франции не хватит денег, чтобы покрыть ставку.

Если у казино ограниченные ресурсы, игра должна завершиться, как только эти ресурсы будут исчерпаны. Предположим, что общие ресурсы (или максимальный джекпот) казино составляют W долларов (в более общем смысле W измеряется в единицах половины начальной ставки в игре). Тогда максимальное количество раз, которое казино может сыграть до того, как оно перестанет полностью покрывать следующую ставку, равно L = ⌊ log ₂ ( W ) ⌋ . Если предположить, что игра заканчивается, когда казино больше не может покрывать ставку, E составит: то ожидаемая стоимость лотереи

${\begin{aligned}E&=\sum _{k=1}^{L}{\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k}=L\,.\end{aligned}}$

В следующей таблице показано ожидаемое значение E игры с различными потенциальными банкирами и их банкроллом W :

Банкир	Банкролл	Ожидаемая стоимость одной игры
Миллионер	$1,050,000	$20
Миллиардер	$1,075,000,000	$30
Илон Маск (апрель 2022 г.)	$265,000,000,000	$38
ВВП США (2020 г.)	20,8 триллиона долларов	$44
Мировой ВВП (2020 г.)	83,8 триллиона долларов	$46
Миллиард-миллиардер	$10 18	$59
Атомы во Вселенной	~$10 80	$266
Гуголионер	$10 100	$332

Примечание. В соответствии с правилами игры, в которых указано, что если игрок выиграет больше, чем банкролл казино, ему будет выплачено все, что есть у казино, дополнительная ожидаемая стоимость меньше, чем была бы, если бы у казино было достаточно средств для покрытия еще одного раунда, т. е. меньше чем 1 доллар. Чтобы игрок выиграл W, ему должно быть разрешено сыграть в раунде L +1 . Таким образом, дополнительное ожидаемое значение равно W /2. ^{Л +1} .

Предпосылка о бесконечных ресурсах порождает множество очевидных парадоксов в экономике. В системе ставок по мартингейлу игрок, делающий ставку на подброшенную монету, удваивает свою ставку после каждого проигрыша, чтобы возможный выигрыш покрыл все проигрыши; эта система терпит неудачу при любом конечном банкролле. показывает Концепция разорения игрока , что настойчивый игрок, который повышает свою ставку до фиксированной доли своего банкролла, когда выигрывает, но не уменьшает ставку, когда проигрывает, в конечном итоге неизбежно разорится, даже если игра имеет положительное математическое ожидание. .

Игнорировать события с малой вероятностью

Бюффон утверждал, что теория рационального поведения должна соответствовать тому, что человек, принимающий рациональные решения, будет делать в реальной жизни, а поскольку разумные люди регулярно игнорируют события, которые достаточно маловероятны, то и человек, принимающий рациональные решения, должен также игнорировать такие редкие события.

В качестве оценки порога игнорирования он утверждал, что, поскольку 56-летний мужчина игнорирует возможность смерти в ближайшие 24 часа, вероятность которой согласно таблицам смертности составляет 1/10189 , события с менее Вероятность 1/10 000 можно игнорировать. Предполагая, что игра в Санкт-Петербурге имеет ожидаемый выигрыш всего $\sum _{k=1}^{13}2^{k}{\frac {1}{2^{k}}}=13$.

Отказ от математического ожидания

Различные авторы, в том числе Жан ле Рон д'Аламбер и Джон Мейнард Кейнс , отвергли максимизацию ожиданий (даже полезности) как надлежащее правило поведения. Кейнс, в частности, настаивал на том, что относительный риск альтернативы может быть достаточно высокой, чтобы отвергнуть ее, даже если ее ожидания огромны. Недавно некоторые исследователи предложили заменить ожидаемую стоимость медианной справедливой стоимостью.

Эргодичность

Ранняя резолюция, содержащая основные математические аргументы, предполагающие мультипликативную динамику, была выдвинута в 1870 году Уильямом Алленом Уитвортом . Явная связь с проблемой эргодичности была сделана Петерсом в 2011 году. Эти решения математически аналогичны использованию критерия Келли или логарифмической полезности. Общая динамика за пределами чисто мультипликативного случая может соответствовать нелогарифмическим функциям полезности, как указали Карр и Керубини в 2020 году.

Недавние обсуждения

Хотя этому парадоксу уже три столетия, в последние годы все еще выдвигаются новые аргументы.

Феллер

Решение, включающее выборку, было предложено Уильямом Феллером . Интуитивно ответ Феллера заключается в том, чтобы «провести эту игру с большим количеством людей и вычислить ожидаемое значение на основе извлечения выборки». В этом методе, когда возможны игры бесконечное количество раз, математическое ожидание будет бесконечным, а в случае конечного математическое ожидание будет гораздо меньшим значением.

Самуэльсон

Пол Самуэльсон разрешает парадокс утверждая, что даже если бы у сущности были бесконечные ресурсы, игра никогда бы не была предложена. Если лотерея представляет собой бесконечный ожидаемый выигрыш для игрока, то она также представляет собой бесконечный ожидаемый проигрыш для принимающей стороны. Никто не платил за игру, потому что она никогда не предлагалась. Как резюмировал Самуэльсон, «Пол никогда не будет готов дать столько, сколько Питер потребует за такой контракт; и, следовательно, указанная деятельность будет происходить на равновесном уровне нулевой интенсивности».

Варианты

В противовес предлагаемым решениям игры предлагается множество вариантов игры «Санкт-Петербург».

Например, «игра в Пасадене»: позволять $n$ быть числом подбрасываний монеты; если $n$ нечетно, игрок получает единицы ${\frac {2^{n}}{n}}$; иначе игрок проигрывает ${\frac {2^{n}}{n}}$ единицы полезности. Тогда ожидаемая полезность игры равна $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2$. Однако, поскольку сумма не является абсолютно сходящейся , ее можно преобразовать так, чтобы она давала любое число, включая положительную или отрицательную бесконечность. Это говорит о том, что ожидаемая полезность игры в Пасадене зависит от порядка суммирования, но стандартная теория принятия решений не обеспечивает принципиального способа выбора порядка суммирования.

См. также

• Парадокс Эллсберга
• Экспоненциальный рост
• разорение игрока
• критерий Келли
• Мартингейл (система ставок)
• Ограбление Паскаля
• Проблема с двумя конвертами
• Парадоксы Зенона

Дальнейшее чтение

• Эрроу, Кеннет Дж. (февраль 1974 г.). «Использование неограниченных функций полезности в максимизации ожидаемой полезности: ответ» (PDF) . Ежеквартальный экономический журнал . 88 (1): 136–138. дои : 10.2307/1881800 . JSTOR   1881800 .
• Ауманн, Роберт Дж. (апрель 1977 г.). «Петербургский парадокс: обсуждение некоторых недавних комментариев». Журнал экономической теории . 14 (2): 443–445. дои : 10.1016/0022-0531(77)90143-0 .
• Каппиелло, Антонио (2016). «Принятие решений и парадокс Санкт-Петербурга: фокус на эвристических параметрах, учет неэргодического контекста и рисков азартных игр» . Итальянская экономика, демография и статистика . 70 (4): 147–158. ISSN   0035-6832 . RePEc:ite:iteeco:160406.
• Дюран, Дэвид (сентябрь 1957 г.). «Акции роста и Петербургский парадокс». Журнал финансов . 12 (3): 348–363. дои : 10.2307/2976852 . JSTOR   2976852 .
• Хей, Джон (1999). Рискуя . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. стр. 330 . ISBN  978-0198526636 . (Глава 4)
• Джеффри, Ричард К. (1983). Логика решения (2-е изд.). Чикаго: Издательство Чикагского университета.
• Лаплас, Пьер Симон (1814). теория вероятностей ( Аналитическая на французском языке) (Второе изд.). Париж: пт. Курьер .
• Петерс, Оле (октябрь 2011b). «Возвращение к Менгеру 1934 года». arXiv : 1110.1578 [ q-fin.RM ].
• Петерс, Оле; Гелл-Манн, Мюррей (2016). «Оценка азартных игр с использованием динамики». Хаос . 26 (2): 023103. arXiv : 1405.0585 . Бибкод : 2016Хаос..26b3103P . дои : 10.1063/1.4940236 . ПМИД   26931584 . S2CID   9726238 .
• Самуэльсон, Пол (март 1977 г.). «Парадоксы Санкт-Петербурга: обезглавленные, расчлененные и исторически описанные». Журнал экономической литературы . 15 (1): 24–55. JSTOR   2722712 .
• Сен, ПК; Сингер, Дж. М. (1993). Методы большой выборки в статистике. Введение в приложения . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0412042218 .
• Тодхантер, Исаак (1865). История математической теории вероятностей . Макмиллан и Ко .
• «Бернулли и петербургский парадокс» . История экономической мысли . Новая школа социальных исследований , Нью-Йорк. Архивировано из оригинала 18 июня 2006 года . Проверено 30 мая 2006 г.

Внешние ссылки

• Онлайн симуляция лотереи СПБ