Экономика эргодичности

Экономика эргодичности — исследовательская программа, направленная на переработку теоретических основ экономики в контексте эргодической теории . Основная цель проекта — понять, как традиционная экономическая теория, построенная на основе значений ожиданий ансамблей, меняется при замене средних значений ожиданий средними по времени. В частности, программа заинтересована в понимании влияния неэргодических процессов в экономике, то есть процессов, в которых математическое ожидание наблюдаемой величины не равно ее среднему времени.

Фон

Экономика эргодичности ставит под сомнение, является ли ожидаемая ценность полезным индикатором эффективности с течением времени. При этом он опирается на существующую критику использования ожидаемой стоимости при моделировании экономических решений. Такая критика началась вскоре после введения ожидаемой ценности в 1654 году. Например, теория ожидаемой полезности была предложена в 1738 году Даниэлем Бернулли. как способ моделирования поведения, несовместимого с максимизацией ожидаемой ценности. В 1956 году Джон Келли разработал критерий Келли , оптимизируя использование доступной информации, а Лео Брейман позже заметил, что это эквивалентно оптимизации средней по времени производительности, а не ожидаемой ценности.

Программа исследований экономики эргодичности берет свое начало в двух статьях Оле Петерса, написанных в 2011 году, физика-теоретика и нынешнего внештатного профессора Института Санта-Фе . Первый изучал проблему оптимального рычага в финансах и то, как этого можно достичь, рассматривая неэргодические свойства геометрического броуновского движения . Во второй статье были применены принципы неэргодичности, чтобы предложить возможное решение петербургского парадокса . Более поздние работы предложили возможные решения загадки премий по акциям , загадки страхования, выбора азартных игр, взвешивания вероятности и дали представление о динамике неравенства доходов.

Связь с эргодической теорией

Эргодическая теория — это раздел математики, который исследует взаимосвязь между средними значениями по времени и ожидаемыми значениями (или, что то же самое, средними по ансамблю ) в динамических системах и [[случайный процесс]|стохастические процессы]. Эргодичная экономика унаследовала от этой отрасли исследование этой взаимосвязи в случайных процессах, используемых в качестве экономических моделей. Ранняя экономическая теория была разработана в то время, когда ожидаемая стоимость была изобретена , но ее связь со средним значением по времени была неясна. Между двумя математическими объектами не было сделано четкого различия, что равнозначно неявному предположению об эргодичности.

Экономика эргодичности исследует, какие аспекты экономики можно получить, избегая этого неявного предположения.

Критика ожидаемой ценности

Средние значения и ожидаемые значения широко используются в экономической теории, чаще всего в качестве сводной статистики. Одной из распространенных критических замечаний по поводу этой практики является чувствительность средних значений к выбросам. Экономика эргодичности фокусируется на другой критике и подчеркивает физический смысл ожидаемых значений как средних значений по статистическому ансамблю параллельных систем. Он настаивает на физическом обосновании использования ожидаемых значений. По сути, должно выполняться хотя бы одно из двух условий:

• среднее значение наблюдаемой во многих реальных системах имеет отношение к проблеме, а выборка систем достаточно велика, чтобы ее можно было хорошо аппроксимировать статистическим ансамблем ;

• среднее значение наблюдаемой в одной реальной системе за долгое время имеет отношение к проблеме, и наблюдаемая хорошо моделируется как эргодическая.

В экономике эргодичности ожидаемые значения при необходимости заменяются средними значениями, которые учитывают эргодичность или неэргодичность задействованных наблюдаемых.

Теория принятия решений

Экономика эргодичности подчеркивает, что происходит с богатством агента. $x(t)$ через некоторое время $t$. Из этого следует возможная теория принятия решений, в которой агенты максимизируют средние во времени темпы роста богатства. Функциональная форма темпа роста, $g$, зависит от процесса богатства $x(t)$. В общем случае темп роста имеет вид $g={\frac {\Delta v(x)}{\Delta t}}$, где функция $v(x)$, линеаризует $x(t)$, так что темпы роста, оцененные в разное время, можно значимо сравнивать.

Процессы роста $x(t)$ обычно нарушают эргодичность, но темпы их роста, тем не менее, могут быть эргодическими. В этом случае средняя по времени скорость роста, $g_{t}$ может быть рассчитана как скорость изменения ожидаемого значения $v(x)$, то есть

$g_{t}={\frac {E[\Delta v(x)]}{\Delta t}}$. (1)

В этом контексте $v(x)$ называется преобразованием эргодичности.

Связь с классической теорией принятия решений

Влиятельный класс моделей принятия экономических решений известен как теория ожидаемой полезности . Следующая конкретная модель может быть сопоставлена ​​с оптимизацией темпов роста, подчеркнутой экономикой эргодичности. Здесь агенты оценивают денежное богатство $x$ по функции полезности $u(x)$, и постулируется, что решения максимизируют ожидаемую ценность изменения полезности,

$E[\Delta u(x)]$. (2)

Эта модель была предложена как улучшение максимизации ожидаемого значения, когда агенты максимизируют $E[\Delta x]$. Нелинейная функция полезности позволяет кодировать модели поведения, не представленные при максимизации ожидаемого значения. В частности, агенты, максимизирующие ожидаемую полезность, могут иметь своеобразные предпочтения в отношении риска. Агент, заданный выпуклой функцией полезности, более склонен к риску, чем максимизатор ожидаемого богатства, а вогнутая функция полезности предполагает большее неприятие риска.

Сравнивая (2) с (1), мы можем определить функцию полезности $u(x)$ с линеаризацией $v(x)$, и сделайте два выражения идентичными, разделив (2) на $\Delta t$. Деление на $\Delta t$ просто реализует предпочтение более быстрого роста полезности в протоколе принятия решений теории ожидаемой полезности.

Это отображение показывает, что две модели дадут идентичные прогнозы, если функция полезности, применяемая в теории ожидаемой полезности, совпадает с преобразованием эргодичности, необходимым для вычисления эргодического темпа роста.

Таким образом, экономика эргодичности подчеркивает динамические обстоятельства, при которых принимается решение, тогда как теория ожидаемой полезности подчеркивает идиосинкразические предпочтения для объяснения поведения. Различные преобразования эргодичности указывают на разные типы динамики богатства, тогда как разные функции полезности указывают на разные личные предпочтения. Картирование подчеркивает взаимосвязь между двумя подходами, показывая, что различия в личных предпочтениях могут возникать исключительно в результате различных динамических контекстов лиц, принимающих решения.

Непрерывный пример: геометрическое броуновское движение.

Простой пример процесса обогащения агента: $x(t)$, — это геометрическое броуновское движение (GBM), обычно используемое в математических финансах и других областях. $x(t)$ Говорят, что он следует GBM, если он удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

$dx=x(t)(\mu \,dt+\sigma \,dW_{t})$, (3)

где $dW_{t}$ — приращение винеровского процесса , а $\mu$ («дрейф») и $\sigma$ («волатильность») являются константами. Решение (3) дает

$x(t)=x(0)\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)$. (4)

В этом случае преобразование эргодичности имеет вид $v(x)=\ln(x)$, как легко проверить: $\ln x(t)=\ln x(0)+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}$ линейно растет во времени.

Следуя рецепту, изложенному выше, это приводит к средней по времени скорости роста.

$g_{t}={\frac {E[\Delta v(x)]}{\Delta t}}=\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}$. (5)

Отсюда следует, что для геометрического броуновского движения, максимизирующего скорость изменения логарифмической функции полезности , $u(x)=\ln(x)$, эквивалентно максимизации среднего по времени темпа роста богатства, т.е. того, что происходит с богатством агента с течением времени.

Стохастические процессы, отличные от (3), обладают различными преобразованиями эргодичности, при которых агенты, оптимальные для роста, максимизируют ожидаемое значение функций полезности, отличных от логарифма. Тривиально, замена (3) аддитивной динамикой подразумевает линейное преобразование эргодичности, и можно получить множество подобных пар динамики и преобразований.

Дискретный пример: мультипликативный подбрасывание монеты

Популярной иллюстрацией неэргодичности в экономических процессах является повторяющееся мультипликативное подбрасывание монеты, пример биномиального мультипликативного процесса. Он демонстрирует, как анализ ожидаемой стоимости может указать на то, что игра выгодна, хотя игрок гарантированно проиграет с течением времени.

Определение

В этом мысленном эксперименте, обсуждаемом в человек участвует в простой игре, в которой подбрасывают честную монету. Если монета выпадет орлом, человек получит 50% от своего текущего богатства; если выпадает решка, человек теряет 40%.

Игра показывает разницу между ожидаемой стоимостью инвестиции или ставки и средним по времени или реальным результатом многократного участия в этой ставке с течением времени.

Расчет ожидаемой стоимости

Обозначая текущее богатство через $x(t)$, и время получения выплаты $t+\delta t$, мы обнаруживаем, что богатство после одного раунда определяется случайной величиной $x(t+\delta t)$, который принимает значения $1.5\times x(t)$ (для голов) и $0.6\times x(t)$ (для решки), каждая с вероятностью $p_{\text{H}}=p_{\text{T}}=1/2$. Таким образом, ожидаемая стоимость богатства игрока после одного раунда равна

${\begin{aligned}E[x(t+\delta t)]&=p_{\text{H}}\times 1.5x(t)+p_{\text{T}}\times 0.6x(t)\\&=1.05x(t).\end{aligned}}$

По индукции после $T$ ожидаемое богатство раундов $E[x(t+T\delta t)]=1.05^{T}x(t)$, увеличиваясь экспоненциально на 5% за раунд игры.

Этот расчет показывает, что игра благоприятна по ожиданию — ее математическое ожидание увеличивается с каждым сыгранным раундом.

Расчет среднего значения по времени

Усредненные по времени результаты показывают, что происходит с богатством одного игрока, который играет неоднократно, реинвестируя все свое богатство в каждом раунде. В связи с компаундированием после $T$ раундов богатство будет

$x(t+T\delta t)=\prod _{\tau =1}^{T}r_{\tau }x(t),$

где мы написали $r_{\tau }$ для обозначения реализованного случайного фактора, на который умножается богатство в $\tau ^{\text{th}}$ раунд игры (либо $r_{\tau }=r_{\text{H}}=1.5$ для голов; или $r_{\tau }=r_{\text{T}}=0.6$, для решки). В среднем с течением времени богатство выросло за раунд в раз.

${\bar {r}}_{T}=\left({\frac {x(t+T\delta t)}{x(t)}}\right)^{1/T}.$

Знакомство с обозначениями $n_{\text{H}}$ для количества орлов в последовательности подбрасываний монеты мы перепишем это как

${\bar {r}}_{T}=\left(r_{\text{H}}^{n_{\text{H}}}r_{\text{T}}^{T-n_{\text{H}}}\right)^{1/T}=r_{\text{H}}^{n_{\text{H}}/T}r_{\text{T}}^{(T-n_{\text{H}})/T}.$

Для любого конечного $T$, средний по времени коэффициент роста за раунд, ${\bar {r}}_{T}$, является случайной величиной. Долгосрочный предел, найденный путем расхождения количества раундов. $T\to \infty$, обеспечивает характеристический скаляр, который можно сравнить с коэффициентом роста ожидаемого значения за раунд. Затем доля выброшенных орлов сходится к вероятности выпадения орла (а именно 1/2), а средний по времени коэффициент роста равен

$\lim _{T\to \infty }{\bar {r}}_{T}=\left(r_{\text{H}}r_{\text{T}}\right)^{\frac {1}{2}}\approx 0.95.$

Обсуждение

Сравнение ожидаемого значения и средней по времени производительности иллюстрирует эффект нарушенной эргодичности: с течением времени, с вероятностью единица, богатство уменьшается примерно на 5% за раунд, в отличие от увеличения на 5% за раунд ожидаемого значения.

Освещение в более широких СМИ

В декабре 2020 года агентство Bloomberg News опубликовало статью под названием «Все, что мы узнали о современной экономической теории, неверно». обсуждение последствий эргодичности в экономике после публикации обзора этой темы в журнале Nature Physics . Morningstar рассказал об этой истории, чтобы обсудить инвестиционную целесообразность диверсификации акций .

В книге « Шкура в игре » Нассим Николас Талеб предполагает, что проблема эргодичности требует переосмысления того, как экономисты используют вероятности . Краткое изложение аргументов было опубликовано Талебом в статье Medium в августе 2017 года.

В книге «Конец теории » Ричард Букстабер называет неэргодичность одной из четырех характеристик нашей экономики, которые являются частью финансовых кризисов, которые традиционная экономика не может адекватно учесть и которые должна адекватно учитывать любая модель таких кризисов. из. Остальные три: вычислительная неприводимость, эмерджентные явления и радикальная неопределенность.

В книге «Эргодический инвестор и предприниматель» Бойд и Рирдон рассматривают практические последствия неэргодического роста капитала для инвесторов и предпринимателей, особенно для тех, кто придерживается устойчивого развития, экономики замкнутого цикла, чистой положительной или регенеративной направленности.

Джеймс Уайт и Виктор Хагани обсуждают область экономики эргодичности в своей книге «Пропавшие миллиардеры» .

Критика

Утверждалось, что теория ожидаемой полезности неявно предполагает эргодичность в том смысле, что она оптимизирует ожидаемую ценность, которая имеет отношение к долгосрочной выгоде лица, принимающего решения, только в том случае, если соответствующая наблюдаемая является эргодической. Доктор, Ваккер и Тан утверждают, что это неверно, поскольку такие предположения «выходят за рамки теории ожидаемой полезности как статической теории». Они также утверждают, что экономика эргодичности переоценивает важность долгосрочного роста как «основного фактора, объясняющего экономические явления», и преуменьшает важность индивидуальных предпочтений. Они также предостерегают от ненадлежащей оптимизации долгосрочного роста. Приведен пример краткосрочного решения между А) большой потерей, понесенной с уверенностью, и Б) выигрышем, полученным с почти уверенностью, в сочетании с еще большей потерей с незначительной вероятностью. В приведенном примере долгосрочные темпы роста благоприятствуют определенным потерям и кажутся неподходящим критерием для краткосрочного горизонта принятия решений. Наконец, эксперимент Медера и его коллег утверждает, что они обнаружили, что индивидуальные предпочтения риска меняются в зависимости от динамических условий способами, предсказываемыми экономикой эргодичности. Доктор, Ваккер и Тан критикуют эксперимент за то, что он запутан различиями в двусмысленности и сложностью вероятностных вычислений. Кроме того, они критикуют анализ за применение статических моделей теории ожидаемой полезности к контексту, где динамические версии более уместны. В подтверждение этого Гольдштейн утверждает, что показал, что многопериодное EUT предсказывает аналогичные изменения в предпочтениях к риску, которые наблюдались в эксперименте.

См. также

• Институт Санта-Фе
• Петербургский парадокс