Парадокс распределения
— Парадокс распределения это ситуация, когда распределение — правило разделения дискретных объектов в соответствии с некоторыми пропорциональными отношениями — приводит к результатам, которые нарушают понятия здравого смысла и справедливости .
Определенные количества, например молоко, можно разделить в любой пропорции; другие, например лошади, не могут — подойдут только целые числа. В последнем случае существует внутреннее противоречие между желанием как можно точнее соблюдать правило пропорции и ограничением, ограничивающим размер каждой порции дискретными значениями.
несколько парадоксов, связанных с распределением, также называемым справедливым делением Было выявлено . В некоторых случаях простые корректировки постфактум методологии распределения, если они разрешены, могут разрешить наблюдаемые парадоксы. Однако, как показывают примеры, относящиеся к Палате представителей США , и впоследствии доказано теоремой Балинского-Янга, математика сама по себе не всегда может обеспечить единое и справедливое решение вопроса о распределении оставшихся дробей на дискретные равные целочисленные части, в то время как полное соблюдение всех конкурирующих элементов справедливости. [1] : 227–235
История
[ редактировать ]Пример парадокса распределения, известного как « парадокс Алабамы », был обнаружен в контексте распределения в Конгрессе США в 1880 году. [1] : 228–231 когда расчеты переписи населения показали, что если бы общее количество мест в Палате представителей было гипотетически увеличено, это уменьшило бы количество мест в Алабаме с 8 до 7. Фактический эффект наблюдался в 1900 году, когда Вирджиния уступила место штату Мэн, хотя население Вирджинии росла быстрее: это пример демографического парадокса. [1] : 231–232 В 1907 году, когда Оклахома стала штатом, Нью-Йорк уступил место Мэну, отсюда и название «парадокс нового штата». [1] : 232–233 [2]
Метод распределения, использовавшийся в этот период, первоначально был предложен Александром Гамильтоном , но на который наложил вето Джордж Вашингтон и не принимал до 1852 года: [1] : 228 было следующее:
- Сначала рассчитывается справедливая доля каждого штата, то есть пропорциональная доля мест, которые каждый штат получил бы, если бы были разрешены дробные значения.
- Во-вторых, каждый штат получает столько мест, сколько соответствует целой части его справедливой доли.
- В-третьих, любой штат, справедливая доля которого меньше единицы, получает одно место независимо от численности населения, как того требует Конституция Соединенных Штатов.
- В-четвертых, оставшиеся места распределяются, по одному, между штатами, чьи справедливые доли имеют наибольшую дробную часть.
Метод Гамильтона заменил метод округления, предложенный Томасом Джефферсоном . [1] : 228 и сам был заменен методом Хантингтона – Хилла в 1941 году. [1]
Примеры парадоксов
[ редактировать ]![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в дополнении: Парадокс Лексмана . Вы можете помочь, добавив к нему . ( сентябрь 2023 г. ) |
Парадокс Алабамы
[ редактировать ]Парадокс Алабамы был первым из обнаруженных парадоксов распределения. Палата представителей США По конституции обязана распределять места на основе подсчета населения, который проводится каждые 10 лет. Размер Палаты установлен законом.
После переписи 1880 года К. У. Ситон, главный секретарь Бюро переписи населения США , подсчитал пропорции для всех палат размером от 275 до 350 и обнаружил, что Алабама получит восемь мест при размере палаты 299, но только семь при размере палаты 299 мест. 300. [1] : 228–231 В общем, термин «парадокс Алабамы» относится к любому сценарию распределения, при котором увеличение общего количества предметов приведет к уменьшению одной из долей. Аналогичное упражнение, проведенное Бюро переписи населения после переписи 1900 года, подсчитало распределения для всех размеров палат от 350 до 400: Колорадо получил бы три места во всех случаях, за исключением размера палаты 357, в котором он получил бы два. [3]
Ниже приведен упрощенный пример (по методу наибольшего остатка ) с тремя штатами и 10 и 11 местами.
| С 10 местами | На 11 мест | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Состояние | Население | Справедливая доля | Сиденья | Справедливая доля | Сиденья |
| А | 6 | 4.286 | 4 | 4.714 | 5 |
| Б | 6 | 4.286 | 4 | 4.714 | 5 |
| С | 2 | 1.429 | 2 | 1.571 | 1 |
Обратите внимание, что доля государства C уменьшается с 2 до 1 с добавлением места.
В этом примере увеличения количества мест на 10% доля каждого штата увеличивается на 10%. Однако увеличение количества мест на фиксированный процент увеличивает справедливую долю в большей степени для большего числа штатов (т. е. для крупных штатов больше, чем для малых штатов). В частности, у крупных A и B справедливая доля увеличивалась быстрее, чем у мелких C. Таким образом, дробные части для A и B увеличивались быстрее, чем для C. Фактически, они обогнали долю C, в результате чего C потерял свое место, поскольку Метод Гамильтона распределяет в соответствии с тем, какие состояния имеют наибольший дробный остаток.
Парадокс Алабамы породил аксиому, известную как монотонность дома , которая гласит, что когда размер дома увеличивается, ассигнования всех штатов должны незначительно увеличиваться.
Демографический парадокс
[ редактировать ]Парадокс народонаселения является противоречивым результатом некоторых процедур распределения. Когда в двух штатах население растет разными темпами, небольшой штат с быстрым ростом может уступить место в законодательном органе большому штату с более медленным ростом.
Некоторые из более ранних методов распределения доходов Конгресса, такие как метод Гамильтона, могли продемонстрировать демографический парадокс. В 1900 году Вирджиния уступила место штату Мэн, хотя население Вирджинии росло быстрее. [1] : 231–232 Однако методы делителей, такие как текущий метод, этого не делают. [ нужна ссылка ]
Парадокс новых государств
[ редактировать ]Учитывая фиксированное общее количество представителей (согласно определению Палаты представителей Соединенных Штатов), добавление нового штата теоретически уменьшит количество представителей существующих штатов, поскольку согласно Конституции Соединенных Штатов каждый штат имеет право иметь хотя бы одного представителя. независимо от его населения. Кроме того, даже если число членов Палаты представителей увеличится на количество представителей в новом штате, ранее существовавший штат может потерять место из-за того, как конкретные правила распределения регулируют методы округления. В 1907 году, когда Оклахома стала штатом, ей была предоставлена значительная доля мест, и общее количество мест увеличилось на это число. Число членов Палаты увеличилось с 386 до 391. Перерасчет распределения повлиял на количество мест из-за других штатов: Нью-Йорк потерял место, а Мэн получил одно. [1] : 232–233 [2]
Парадокс Алабамы породил аксиому, известную как согласованность , которая гласит, что всякий раз, когда правило распределения активируется в подмножестве штатов с выделением подмножества мест, результат должен быть таким же, как и в общем решении.
Методы распределения
[ редактировать ] | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( июль 2024 г. ) |
Теорема Балинского – Янга
[ редактировать ]В 1983 году два математика, Мишель Балински и Пейтон Янг , доказали, что любой метод распределения, не нарушающий правило квоты, приведет к парадоксам, когда имеется четыре или более партий (или штатов, регионов и т. д.). [4] [5] Точнее, их теорема утверждает, что не существует системы распределения, которая имела бы следующие свойства для более чем четырех штатов: [1] : 233–234 (в качестве примера возьмем распределение мест между партиями в системе пропорционального представительства ):
- Это позволяет избежать нарушений правила квоты: каждая из партий получает одно из двух чисел, наиболее близких к ее справедливой доле мест. Например, если справедливая доля партии составляет 7,34 места, она должна получить либо 7, либо 8 мест, чтобы избежать нарушения; любое другое число нарушит правило.
- Здесь нет парадокса Алабамы: если общее количество мест увеличивается, количество мест ни у одной партии не уменьшается.
- Здесь нет демографического парадокса: если партия А получит больше голосов, а партия Б — меньше голосов, ни одно место не будет передано от А к Б.
Примечательно, что любой метод распределения, свободный от парадокса народонаселения, всегда будет свободен от парадокса Алабамы. Однако обратное неверно.
Интересно, что метод Вебстера может быть свободен от парадокса народонаселения и парадокса Алабамы и не нарушать квоту при наличии трех штатов. Все разумные методы удовлетворяют квоте в тривиальном случае с двумя состояниями. [4] [5]
Они доказывают невозможность : методы распределения могут иметь подмножество этих свойств, но не могут обладать всеми из них:
- Метод может следовать квоте и быть свободным от парадокса Алабамы. Балинский и Янг разработали метод, позволяющий добиться этого, хотя он и не широко используется в политике. [6]
- Метод может быть свободен как от парадокса Алабамы, так и от парадокса населения. Эти методы являются методами делителей , и Хантингтона-Хилла метод , используемый в настоящее время для распределения мест в Палате представителей, является одним из них. Однако в других обстоятельствах эти методы обязательно не смогут всегда соблюдать квоту.
- Ни один метод не может всегда следовать квоте и быть свободным от парадокса численности населения. [7]
Разделение мест на выборах является важной культурной проблемой. в США В 1876 году на президентских выборах был использован метод подсчета оставшейся доли. Резерфорд Хейс получил 185 голосов коллегии выборщиков, а Сэмюэл Тилден получил 184. Тилден выиграл всенародное голосование. При другом методе округления окончательный результат коллегии выборщиков был бы противоположным. [1] : 228 Однако возникает множество математически аналогичных ситуаций, в которых величины необходимо разделить на дискретные равные части. [1] : 233 В таких ситуациях применяется теорема Балинского-Янга: она указывает на то, что, хотя можно сделать очень разумные аппроксимации, не существует математически строгого способа согласовать небольшую оставшуюся долю, соблюдая при этом все конкурирующие элементы справедливости. [1] : 233
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к л м н Штейн, Джеймс Д. (2008). Как математика объясняет мир: руководство по силе чисел, от ремонта автомобилей до современной физики . Нью-Йорк: Смитсоновские книги. ISBN 9780061241765 .
- ^ Перейти обратно: а б Колфилд, Майкл Дж. (ноябрь 2010 г.). «Распределение представителей в Конгрессе США - парадоксы распределения» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. doi : 10.4169/loci003163 (неактивен 22 июля 2024 г.).
{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на июль 2024 г. ( ссылка ) - ^ Богомольный, Алексей (январь 2002 г.). «Конституция и парадоксы» . Разрежь узел! .
- ^ Перейти обратно: а б Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .
- ^ Перейти обратно: а б Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (2001). Справедливое представительство: достижение идеала «один человек — один голос» (2-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Издательство Брукингского института. ISBN 0-8157-0111-Х .
- ^ Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (ноябрь 1974 г.). «Новый метод распределения доходов в Конгрессе» . Труды Национальной академии наук . 71 (11): 4602–4606. Бибкод : 1974PNAS...71.4602B . дои : 10.1073/pnas.71.11.4602 . ПМК 433936 . ПМИД 16592200 .
- ^ Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (сентябрь 1980 г.). «Теория распределения» (PDF) . Рабочие документы . Международный институт прикладного системного анализа. WP-80-131.
