Парадокс ворона

Черный ворон и сборище нечерных неворонов. Парадокс ворона предполагает, что оба этих изображения доказывают предположение о том, что все вороны черные.

Парадокс ворона , также известный как парадокс Гемпеля , вороны Гемпеля или, реже, парадокс комнатной орнитологии , — это парадокс, возникающий из вопроса о том, что является доказательством истинности утверждения. Наблюдение за объектами, которые не являются ни черными, ни воронами, может формально увеличить вероятность того, что все вороны черные, хотя интуитивно эти наблюдения не связаны между собой.

Эта проблема была предложена логиком Карлом Густавом Гемпелем в 1940-х годах, чтобы проиллюстрировать противоречие между индуктивной логикой и интуицией .

Парадокс

Гемпель описывает парадокс с точки зрения гипотезы :

(1) Все вороны черные . В форме подтекста это можно выразить так: Если что-то ворон, то оно черное.

В противопоставлении это утверждение эквивалентно :

(2) Если что-то не черное, то это не ворон.

Во всех обстоятельствах, когда (2) истинно, (1) также истинно, и аналогично во всех обстоятельствах, когда (2) ложно (т. е. если представить себе мир, в котором нечто, что не было черным, но было вороном, существовало), (1) также неверно.

Учитывая общее утверждение, например, что все вороны черные , форма того же утверждения, которая относится к конкретному наблюдаемому экземпляру общего класса, обычно считается свидетельством этого общего утверждения. Например,

(3) Мой любимый ворон черный.

Это свидетельство, подтверждающее гипотезу о том, что все вороны черные .

Парадокс возникает, когда тот же процесс применяется к утверждению (2). Увидев зеленое яблоко, можно заметить:

(4) Это зеленое яблоко не черное, и оно не ворон.

По тем же соображениям это утверждение является свидетельством того, что (2) если что-то не черное, то это не ворон. Но поскольку (как указано выше) это утверждение логически эквивалентно (1) все вороны черные , отсюда следует, что вид зеленого яблока является свидетельством, подтверждающим представление о том, что все вороны черные. Этот вывод кажется парадоксальным, поскольку подразумевает, что информация о воронах была получена, глядя на яблоко.

Предлагаемые резолюции

Критерий Никода гласит, что только наблюдения за воронами должны повлиять на мнение о том, все ли вороны черные. Наблюдение большего количества экземпляров черных воронов должно подтверждать эту точку зрения, наблюдение за белыми или цветными воронами должно противоречить ей, а наблюдения за не-воронами не должны иметь никакого влияния.

Условие эквивалентности Гемпеля гласит, что когда предложение X предоставляет доказательства в пользу другого предложения Y, то X также предоставляет доказательства в пользу любого предложения, которое логически эквивалентно Y.

Парадокс показывает, что критерий Никода и условие эквивалентности Гемпеля несовместимы друг с другом. Разрешение парадокса должно отвергнуть хотя бы одно из:

1. негативные экземпляры, не имеющие никакого влияния (!PC),
2. условие эквивалентности (EC), или,
3. проверка положительными примерами (NC).

Удовлетворительное решение должно также объяснить, почему наивно кажется, что существует парадокс. Решения, которые принимают парадоксальный вывод, могут сделать это, представляя предложение, ложность которого мы интуитивно знаем, но которое легко спутать с (PC), в то время как решения, которые отвергают (EC) или (NC), должны представлять предложение, которое, как мы интуитивно знаем, является ложным. это правда, но его легко спутать с (EC) или (NC).

Принятие не-воронов как уместное

Хотя этот вывод из парадокса кажется нелогичным, некоторые подходы признают, что наблюдения за (цветными) неворонами на самом деле могут представлять собой веские доказательства в поддержку гипотез о (универсальной черноте) воронов.

Резолюция Гемпеля

Сам Гемпель принял парадоксальный вывод, утверждая, что причина, по которой результат кажется парадоксальным, заключается в том, что мы обладаем предварительной информацией, без которой наблюдение за нечерным невороном действительно предоставило бы доказательства того, что все вороны черные.

Он иллюстрирует это на примере обобщения «Все соли натрия горят желтым» и предлагает рассмотреть наблюдение, которое происходит, когда кто-нибудь держит кусок чистого льда в бесцветном пламени, не желтеющем:

Этот результат подтвердил бы утверждение: «Все, что не горит желтым, не является натриевой солью», и, следовательно, в силу условия эквивалентности, подтвердил бы исходную формулировку. Почему это кажется нам парадоксальным? Причина становится ясной, если мы сравним предыдущую ситуацию со случаем эксперимента, в котором объект, химическое строение которого нам еще неизвестно, помещается в пламя и не может пожелтеть, и где последующий анализ показывает, что он не содержит натрия. соль. Мы, без сомнения, должны согласиться, что этот результат - это то, чего и следовало ожидать на основе гипотезы... таким образом, полученные здесь данные представляют собой подтверждающее доказательство гипотезы. ...

В кажущихся парадоксальными случаях подтверждения мы часто на самом деле не судим об отношении данного свидетельства, одного только E, к гипотезе H... мы молчаливо вводим сравнение H с совокупностью доказательств, состоящих из E в сочетании с дополнительный объем информации, которым мы располагаем; в нашей иллюстрации эта информация включает в себя знание (1) о том, что вещество, используемое в эксперименте, представляет собой лед и (2) что лед не содержит солей натрия. Если принять эту дополнительную информацию как данность, то, конечно, результат эксперимента не сможет добавить силы рассматриваемой гипотезе. Но если мы постараемся избегать этой молчаливой ссылки на дополнительные знания... парадоксы исчезнут.

Стандартное байесовское решение

Одна из самых популярных предлагаемых резолюций — принять вывод о том, что наблюдение за зеленым яблоком свидетельствует о том, что все вороны черные, но утверждать, что количество предоставленных подтверждений очень мало из-за большого несоответствия между количеством воронов и количеством ворон. количество нечерных объектов. Согласно этой резолюции, вывод выглядит парадоксальным, поскольку мы интуитивно оцениваем количество доказательств, полученных в результате наблюдения за зеленым яблоком, за ноль, тогда как на самом деле оно не равно нулю, но чрезвычайно мало.

И. Дж. Гудом в 1960 году. Представление этого аргумента является, пожалуй, самым известным, и с тех пор вариации этого аргумента популярны. хотя он был представлен в 1958 году а ранние формы аргументации появились еще в 1940 году.

Аргумент Гуда включает в себя подсчет веса доказательств, предоставленных наблюдением за черным вороном или белой туфлей, в пользу гипотезы о том, что все вороны в коллекции объектов черные. Вес доказательств — это логарифм фактора Байеса , который в данном случае является просто фактором, на который изменяются шансы гипотезы при проведении наблюдения. Аргументация звучит следующим образом:

... предположим, что есть $N$ объекты, которые можно увидеть в любой момент, из которых $r$ это вороны и $b$ черные, и что $N$ каждый объект имеет вероятность ${\tfrac {1}{N}}$ быть увиденным. Позволять $H_{i}$ быть гипотезой о том, что существуют $i$ нечерные вороны, и предположим, что гипотезы $H_{1},H_{2},...,H_{r}$ изначально равновероятны. Тогда, если нам случится увидеть черного ворона, фактор Байеса в пользу $H_{0}$ является

$${\tfrac {r}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {r-1}{N}},{\tfrac {r-2}{N}},...\ ,{\tfrac {1}{N}}\right)\ =\ {\tfrac {2r}{r-1}}$$

т.е. около 2, если известно, что количество существующих воронов велико. Но дело в том, что если мы видим белую обувь, то это всего лишь

$${\begin{array}{c}{\tfrac {N-b}{N}}{\Big /}{\text{average}}\left({\tfrac {N-b-1}{N}},{\tfrac {N-b-2}{N}},...\ ,\max(0,{\tfrac {N-b-r}{N}})\right)\\\ =\ {\frac {N-b}{\max \left(N-b-{\tfrac {r}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\ ,\ {\tfrac {1}{2}}(N-b-1)\right)}}\end{array}}$$

а это превышает единицу лишь примерно $r/(2N-2b)$ если $N-b$ велик по сравнению с $r$. Таким образом, вес доказательства, предоставляемого видом белой обуви, положителен, но он невелик, если известно, что количество воронов мало по сравнению с количеством нечерных объектов.

Многие из сторонников этой резолюции и ее вариантов были сторонниками байесовской вероятности, и теперь ее обычно называют байесовским решением, хотя, как говорит Чихара отмечает: «Не существует такой вещи, как байесовское решение. Существует множество различных «решений», которые байесовцы предложили с использованием байесовских методов». Заслуживающие внимания подходы, использующие байесовские методы (некоторые из которых принимают !PC и вместо этого отвергают NC), включают Earman, Иллс, Гибсон, Хосиассон-Линденбаум , Хаусон и Урбах, Маки, и Хинтикка, который утверждает, что его подход «более байесовский, чем так называемое «байесовское решение» того же парадокса». Байесовские подходы, использующие теорию индуктивного вывода Карнапа, включают Гумбург, Махер, и Фительсон и Хоторн. Вранас во избежание путаницы ввел термин «стандартное байесовское решение».

Подход Карнапа

Махер принимает парадоксальный вывод и уточняет его:

Не-ворон (любого цвета) подтверждает, что все вороны черные, потому что

• (i) информация о том, что этот объект не является вороном, устраняет возможность того, что этот объект является контрпримером к обобщению, и
• (ii) это уменьшает вероятность того, что ненаблюдаемые объекты являются воронами, тем самым уменьшая вероятность того, что они являются контрпримерами к обобщению.

Чтобы достичь (ii), он обращается к теории индуктивной вероятности Карнапа, которая (с байесовской точки зрения) является способом присвоения априорных вероятностей, который естественным образом реализует индукцию. Согласно теории Карнапа, апостериорная вероятность $P(Fa|E)$, что объект, $a$, будет иметь предикат, $F$, после доказательств $E$ наблюдалось, это:

$$P(Fa|E)\ =\ {\frac {n_{F}+\lambda P(Fa)}{n+\lambda }}$$

где $P(Fa)$ это начальная вероятность того, что $a$ имеет предикат $F$; $n$ - количество объектов, которые были осмотрены (по имеющимся данным $E$); $n_{F}$ — количество исследованных объектов, у которых оказался предикат $F$, и $\lambda$ — константа, измеряющая сопротивление обобщению.

Если $\lambda$ близко к нулю, $P(Fa|E)$ будет очень близок к единице после однократного наблюдения объекта, у которого оказался предикат $F$, а если $\lambda$ намного больше, чем $n$, $P(Fa|E)$ будет очень близко к $P(Fa)$ независимо от доли наблюдаемых объектов, имевших предикат $F$.

Используя этот карнаповский подход, Махер идентифицирует утверждение, которое, как мы интуитивно (и правильно) знаем, является ложным, но его легко спутать с парадоксальным заключением. Речь идет о том, что наблюдение за не-воронами говорит нам о цвете воронов. Хотя это интуитивно неверно, а также неверно согласно теории индукции Карнапа, наблюдение за отсутствием воронов (согласно той же теории) заставляет нас уменьшать нашу оценку общего числа воронов и тем самым сводить оценочное количество возможных контрпримеров к правило, что все вороны черные.

Следовательно, с байесовско-карнаповской точки зрения, наблюдение за не-вороном ничего не говорит нам о цвете воронов, но оно говорит нам о преобладании воронов и подтверждает утверждение «Все вороны черные», уменьшая наши оценка количества воронов, которые могут быть не черными.

Роль базовых знаний

Большая часть обсуждений парадокса в целом и байесовского подхода в частности сосредоточена на актуальности базовых знаний. Удивительно, но Махер показывает, что для большого класса возможных конфигураций фонового знания наблюдение за не-черным вороном дает точно такое же количество подтверждений, как и наблюдение за черным вороном. Конфигурации фонового знания, которые он считает, представляют собой те, которые предоставляются образцом предложения , а именно предложением, которое представляет собой соединение атомарных предложений, каждое из которых приписывает одиночный предикат одному индивидууму, при этом не существует двух атомарных предложений, включающих одного и того же человека. . Таким образом, предложение формы «А — черный ворон и Б — белый башмак» можно считать образцом предложения, приняв в качестве предикатов «черный ворон» и «белый башмак».

Доказательство Махера, по-видимому, противоречит результату байесовского аргумента, который заключался в том, что наблюдение за нечерным вороном дает гораздо меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Причина в том, что фоновые знания, которые используют Гуд и другие, не могут быть выражены в форме выборочного утверждения – в частности, варианты стандартного байесовского подхода часто предполагают (как это сделал Гуд в приведенном выше аргументе), что общее число вороны, нечерные объекты и/или общее количество объектов — известные величины. Махер комментирует: «Причина, по которой мы думаем, что нечерных существ больше, чем воронов, заключается в том, что это справедливо и для вещей, которые мы наблюдали до сих пор. Доказательства такого рода могут быть представлены в виде примерного предположения. Но... учитывая любое выборочное утверждение в качестве фонового доказательства, не-черный, не-ворон подтверждает А так же сильно, как и черный ворон ... Таким образом, мой анализ показывает, что этот ответ на парадокс [т.е. Стандартный байесовский ответ] не может быть правильным».

Фительсон и Хоторн исследовал условия, при которых наблюдение за не-черным вороном дает меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Они показывают, что если $a$ это объект, выбранный случайным образом, $Ba$ является утверждение, что объект черный, и $Ra$ является утверждение, что объект является вороном, то условие:

$${\frac {P({\overline {Ba}}|{\overline {H}})}{P(Ra|{\overline {H}})}}\ -\ P({\overline {Ba}}|Ra{\overline {H}})\ \geq \ P(Ba|Ra{\overline {H}}){\frac {P({\overline {Ba}}|H)}{P(Ra|H)}}$$

достаточно, чтобы наблюдение за не-черным вороном дало меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Здесь линия над предложением указывает на логическое отрицание этого предложения.

Это условие не говорит нам, насколько велика разница в предоставленных доказательствах, но более поздние расчеты в той же статье показывают, что вес доказательств, предоставленных черным вороном, превышает вес доказательств, предоставленных нечерным вороном, примерно на $-\log P(Ba|Ra{\overline {H}})$. Это равно количеству дополнительной информации (в битах, если основание логарифма равно 2), которое предоставляется, когда обнаруживается, что ворон неизвестного цвета черный, с учетом гипотезы о том, что не все вороны черные.

Фительсон и Хоторн объясни это:

В обычных обстоятельствах, $p=P(Ba|Ra{\overline {H}})$ может быть где-то около 0,9 или 0,95; так $1/p$ где-то 1,11 или 1,05. Таким образом, может показаться, что один экземпляр черного ворона не дает гораздо большей поддержки, чем не-черный не-ворон. Однако при разумных условиях можно показать, что последовательность $n$ экземпляров (т. е. n черных воронов по сравнению с n нечерными неворонами) дает соотношение отношений правдоподобия порядка $(1/p)^{n}$, который значительно взрывается при больших $n$.

Авторы отмечают, что их анализ полностью согласуется с предположением о том, что нечерный неворон предоставляет крайне мало доказательств, хотя они и не пытаются это доказать; они просто подсчитывают разницу между количеством доказательств, которые предоставляет черный ворон, и количеством доказательств, которые предоставляет нечерный, не-ворон.

Оспаривание индукции на положительных примерах

Некоторые подходы к разрешению парадокса сосредоточены на индуктивном шаге. Они спорят о том, является ли наблюдение конкретного экземпляра (например, одного черного ворона) тем видом доказательства, которое обязательно увеличивает уверенность в общей гипотезе (например, о том, что вороны всегда черные).

Отвлекающий маневр

Хороший приводит пример фоновых знаний, относительно которых наблюдение за черным вороном уменьшает вероятность того, что все вороны черные:

Предположим, что мы знаем, что находимся в одном из двух миров, и рассматриваемая гипотеза H состоит в том, что все вороны в нашем мире черные. Мы заранее знаем, что в одном мире есть сто черных воронов, нет нечерных воронов и миллион других птиц; и что в другом мире есть тысяча черных воронов, один белый ворон и миллион других птиц. Птица выбирается равновероятно случайно из всех птиц нашего мира. Оказывается, это черный ворон. Это убедительное доказательство... того, что мы находимся во втором мире, где не все вороны черные.

Гуд заключает, что белая туфля — это « отвлекающий маневр »: иногда даже черный ворон может служить доказательством против гипотезы о том, что все вороны черные, поэтому тот факт, что наблюдение за белой туфлей может подтвердить эту гипотезу, не является удивительным и не заслуживает внимания. . По мнению Гуда, критерий Никода ложен, и поэтому парадоксальный вывод не следует.

Гемпель отверг это как решение парадокса, настаивая на том, что предложение «с — ворон и черный» должно рассматриваться «само по себе и без ссылки на какую-либо другую информацию», и указав, что оно «было подчеркнуто в разделе 5.2( б) моей статьи в «Разуме »… что само проявление парадоксальности в случаях, подобных случаю с белой туфлей, происходит отчасти из-за несоблюдения этой максимы».

Тогда возникает вопрос: следует ли понимать парадокс в контексте абсолютного отсутствия фоновой информации (как предлагает Гемпель), или в контексте фоновой информации, которой мы действительно располагаем относительно воронов и черных объектов, или же в отношении всех возможные конфигурации фоновой информации.

Гуд показал, что для некоторых конфигураций фоновых знаний критерий Никода является ложным (при условии, что мы готовы приравнять «индуктивно поддерживать» к «увеличению вероятности» – см. ниже). Оставалась вероятность того, что в отношении нашей фактической конфигурации знания, которая сильно отличается от примера Гуда, критерий Никода все еще может быть верным, и поэтому мы все равно можем прийти к парадоксальному выводу. Гемпель, с другой стороны, настаивает на том, что наше фоновое знание само по себе является отвлекающим маневром, и что нам следует рассматривать индукцию в отношении состояния полного незнания.

Гуд, детка

В предложенной им резолюции Махер неявно использовал тот факт, что утверждение «Все вороны черные» весьма вероятно, когда весьма вероятно, что воронов нет. Гуд использовал этот факт раньше, чтобы ответить на настойчивое утверждение Гемпеля о том, что критерий Никода следует понимать как справедливый в отсутствие исходной информации:

... представьте себе бесконечно умного новорожденного ребенка, имеющего встроенные нейронные цепи, позволяющие ему справляться с формальной логикой, английским синтаксисом и субъективной вероятностью. Теперь, после подробного определения ворона, он мог бы утверждать, что существование ворон крайне маловероятно, и поэтому чрезвычайно вероятно, что все вороны черные, то есть что $H$ это правда. «С другой стороны, — продолжает он, — если есть вороны, то существует разумная вероятность того, что они бывают разных цветов. Поэтому, если бы я обнаружил, что существует даже черный ворон, я бы рассмотрел $H$ быть менее вероятным, чем это было первоначально».

По мнению Гуда, это настолько близко, насколько можно разумно ожидать к состоянию совершенного невежества, и похоже, что состояние Никода все еще ложно. Махер сделал аргумент Гуда более точным, используя теорию индукции Карнапа, чтобы формализовать представление о том, что если есть один ворон, то, вероятно, их много.

Аргумент Махера рассматривает вселенную ровно из двух объектов, каждый из которых вряд ли будет вороном (шанс один из тысячи) и с разумной вероятностью не будет черным (шанс один из десяти). Используя формулу индукции Карнапа, он обнаружил, что вероятность того, что все вороны черные, уменьшается с 0,9985 до 0,8995, когда обнаруживается, что один из двух объектов — черный ворон.

Махер заключает, что не только парадоксальный вывод верен, но и что критерий Никода ложен в отсутствие базовых знаний (за исключением знания о том, что число объектов во Вселенной равно двум и что вороны менее вероятны, чем черные существа).

Выдающиеся предикаты

Куайн утверждал, что решение парадокса заключается в признании того, что определенные предикаты , которые он назвал естественными видами , имеют особый статус по отношению к индукции. Это можно проиллюстрировать приведенным Нельсоном Гудманом примером предиката grue, . Объект считается ужасным, если он был синим до (скажем) 2024 года и зеленым после него. Очевидно, мы ожидаем, что объекты, которые были синими до 2024 года, останутся синими и впоследствии, но мы не ожидаем, что объекты, которые были признаны грязными до 2024 года, будут синими после 2024 года, поскольку после 2024 года они будут зелеными. Объяснение Куайна состоит в том, что «синий» — это естественный вид; привилегированный предикат, который мы можем использовать для индукции, тогда как «груэ» не является естественным предикатом, и использование с ним индукции приводит к ошибке.

Это предполагает разрешение парадокса: критерий Никода верен для естественных видов, таких как «синий» и «черный», но неверен для искусственно созданных предикатов, таких как «серьезный» или «невороновий». Согласно этой резолюции, парадокс возникает потому, что мы неявно интерпретируем критерий Никода как применимый ко всем предикатам, тогда как на самом деле он применим только к естественным видам.

Другой подход, в котором одни предикаты отдаются предпочтение другим, был использован Хинтиккой. Хинтикка был заинтересован найти байесовский подход к парадоксу, который не использовал бы знания об относительной частоте появления воронов и черных существ. Аргументы относительно относительных частот, утверждает он, не всегда могут объяснить кажущуюся нерелевантность свидетельств, состоящих из наблюдений за объектами типа А, для целей изучения объектов типа не-А.

Его аргумент можно проиллюстрировать, перефразировав парадокс, используя предикаты, отличные от «ворона» и «черного». Например: «Все мужчинывысокие» эквивалентно «Все невысокие люди — женщины», и поэтому наблюдение за тем, что случайно выбранный человек — невысокая женщина, должно предоставить доказательство того, что все мужчины высокие. В отличие от невысоких людей, мы по-прежнему склонны отвергать этот вывод. Пример Хинтикки таков: «Обобщение типа «никакие материальные тела не делимы до бесконечности», по-видимому, совершенно не подвержено влиянию вопросов, касающихся нематериальных сущностей, независимо от того, что о них думают. относительные частоты материальных и нематериальных сущностей во вселенной дискурса».

Его решение — ввести порядок в набор предикатов. Когда логическая система снабжена этим порядком, можно ограничить сферу применения такого обобщения, как «Все вороны черные», так, чтобы оно применялось только к воронам, а не к нечерным вещам, поскольку этот порядок отдает предпочтение воронам перед нечерными вещами. -черные вещи. Как он выразился:

Если мы вправе предположить, что сфера применения обобщения «Все вороны черные» может быть ограничена воронами, то это означает, что мы располагаем некоторой внешней информацией, на которую мы можем положиться относительно фактической ситуации. Парадокс возникает из-за того, что эта информация, которая окрашивает наш спонтанный взгляд на ситуацию, не включена в обычные трактовки индуктивной ситуации.

Отказ от условия эквивалентности Гемпеля

Некоторые подходы к разрешению парадокса отвергают условие эквивалентности Гемпеля. То есть они не могут рассматривать доказательства, подтверждающие утверждение, что все нечерные объекты не являются воронами, чтобы обязательно поддерживать логически эквивалентные утверждения, например, что все вороны черные .

Выборочное подтверждение

Шеффлер и Гудман применил подход к парадоксу, который включает точку зрения Карла Поппера о том, что научные гипотезы никогда не подтверждаются, а только фальсифицируются.

Подход начинается с замечания о том, что наблюдение за черным вороном не доказывает, что «Все вороны черные», но опровергает противоположную гипотезу: «Ни один ворон не черный». С другой стороны, не-черный не-ворон соответствует как «Все вороны черные», так и «Ни один ворон не черный». Как выразились авторы:

... утверждение о том, что все вороны черные, не просто подтверждается доказательствами существования черного ворона, но и подтверждается такими доказательствами, поскольку черный ворон опровергает противоположное утверждение о том, что не все вороны черные, т.е. удовлетворяет его отрицание. Другими словами, черный ворон удовлетворяет гипотезе о том, что все вороны скорее черные, чем нет: таким образом, он выборочно подтверждает , что все вороны черные .

Выборочное подтверждение нарушает условие эквивалентности, поскольку черный ворон выборочно подтверждает «Все вороны черные», но не «Все нечерные вещи не являются воронами».

Вероятностная или невероятностная индукция

Концепция выборочного подтверждения Шеффлера и Гудмана представляет собой пример интерпретации фразы «предоставляет доказательства в пользу...», которая не совпадает с интерпретацией «увеличивает вероятность...». Это должно быть общей чертой всех резолюций, отвергающих условие эквивалентности, поскольку логически эквивалентные предложения всегда должны иметь одинаковую вероятность.

Невозможно, чтобы наблюдение за черным вороном увеличило вероятность утверждения «Все вороны черные», не вызывая при этом точно такого же изменения вероятности того, что «Все нечерные существа не являются воронами». Если наблюдение индуктивно подтверждает первое, но не второе, тогда «индуктивное подтверждение» должно относиться к чему-то другому, а не к изменениям вероятностей предложений. Возможная лазейка состоит в том, чтобы интерпретировать «Все» как «Почти все» - «Почти все вороны черные» не эквивалентно «Почти все нечерные существа не являются воронами», и эти утверждения могут иметь очень разные вероятности.

Это поднимает более широкий вопрос об отношении теории вероятностей к индуктивным рассуждениям. Карл Поппер утверждал, что теория вероятностей сама по себе не может объяснить индукцию. Его аргумент включает в себя расщепление гипотезы, $H$в ту часть, которая дедуктивно вытекает из доказательств, $E$и еще часть. Это можно сделать двумя способами.

Сначала рассмотрим разделение:

$$H=A\ and\ B\ \ \ \ \ \ E=B\ and\ C$$

где $A$, $B$ и $C$ вероятностно независимы: $P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$ и так далее. Условием, необходимым для того, чтобы такое расщепление H и E было возможным, является $P(H|E)>P(H)$, то есть, что $H$ вероятностно подтверждается $E$.

Наблюдение Поппера состоит в том, что часть, $B$, из $H$ который получает поддержку от $E$ на самом деле следует дедуктивно из $E$, в то время как часть $H$ что не следует дедуктивно из $E$ не получает никакой поддержки со стороны $E$ - то есть, $P(A|E)=P(A)$.

Во-вторых, разделение:

$$H=(H\ or\ E)\ and\ (H\ or\ {\overline {E}})$$

отделяет $H$ в $(H\ or\ E)$, который, как говорит Поппер, «является логически самой сильной частью $H$ (или содержания $H$), которое следует [дедуктивно] из $E$", и $(H\ or\ {\overline {E}})$, который, по его словам, «содержит все $H$ это выходит за рамки $E$". Он продолжает:

Делает $E$, в этом случае обеспечьте любую поддержку фактора $(H\ or\ {\overline {E}})$, который при наличии $E$ необходимо только для получения $H$? Ответ: нет. Никогда не бывает. Действительно, $E$ контрподдержки $(H\ or\ {\overline {E}})$ если только либо $P(H|E)=1$ или $P(E)=1$ (которые представляют собой возможности, не представляющие интереса). ...

Этот результат совершенно разрушительен для индуктивной интерпретации исчисления вероятностей. Любое вероятностное подтверждение является чисто дедуктивным: та часть гипотезы, которая не вытекает дедуктивно из доказательств, всегда решительно подкрепляется доказательствами... Существует такая вещь, как вероятностное подтверждение; возможно, даже существует такая вещь, как индуктивная опора (хотя мы вряд ли так думаем). Но исчисление вероятностей показывает, что вероятностная поддержка не может быть индуктивной.

Православный подход

Ортодоксальная теория проверки гипотез Неймана-Пирсона рассматривает вопрос о том, как решить, принять или отвергнуть гипотезу, а не какую вероятность приписать гипотезе. С этой точки зрения гипотеза о том, что «Все вороны черные» не принимается постепенно , так как ее вероятность возрастает к единице по мере того, как проводится все больше и больше наблюдений, а принимается единовременно, как результат оценки имеющихся данных. уже собрано. Как выразились Нейман и Пирсон:

Не надеясь узнать, истинна или ложна каждая отдельная гипотеза, мы можем искать правила, управляющие нашим поведением по отношению к ним, следуя которым, мы гарантируем, что в долгосрочной перспективе мы не будем слишком часто ошибаться.

Согласно этому подходу нет необходимости приписывать какое-либо значение вероятности гипотезы , хотя обязательно следует учитывать вероятность данных с учетом гипотезы или с учетом конкурирующей гипотезы при принятии решения о принятии или отклонении гипотезы. . Принятие или отклонение гипотезы несет в себе риск ошибки .

Это контрастирует с байесовским подходом, который требует, чтобы гипотезе была присвоена априорная вероятность, которая пересматривается в свете наблюдаемых данных для получения окончательной вероятности гипотезы. В рамках байесовской модели нет риска ошибки, поскольку гипотезы не принимаются и не отвергаются; вместо этого им присваиваются вероятности.

Был проведен анализ парадокса с ортодоксальной точки зрения, который привел, среди прочего, к отказу от условия эквивалентности:

Кажется очевидным, что нельзя одновременно принять гипотезу о том, что все P являются Q, и одновременно отвергнуть противоположную гипотезу, т. е. что все не-Q являются не-P. Тем не менее, легко увидеть, что в теории тестирования Неймана-Пирсона тест «Все P являются Q» не обязательно является тестом «Все не-Q являются не-P» или наоборот. Тест «Все P суть Q» требует ссылки на некоторую альтернативную статистическую гипотезу вида $r$ из всех P являются Q, $0<r<1$, тогда как тест «Все не-Q являются не-P» требует ссылки на некоторую статистическую альтернативу формы $r$ из всех не-Q являются не-P, $0<r<1$. Но эти два набора возможных альтернатив различны... Таким образом, можно было бы провести проверку $H$ без проверки его контрпозитивности.

Отвергая материальный смысл

Следующие предложения подразумевают друг друга: «Каждый объект либо черный, либо не ворон», «Каждый ворон черный» и «Каждый нечерный объект не является вороном». Следовательно, они по определению логически эквивалентны. Однако эти три предложения имеют разные области применения: первое предложение говорит что-то о «каждом объекте», а второе говорит что-то о «каждом вороне».

Первое предложение — единственное, область количественного определения которого не ограничена («все объекты»), поэтому это единственное предложение, которое может быть выражено в логике первого порядка . Это логически эквивалентно:

$$\forall \ x,Rx\ \rightarrow \ Bx$$

а также

$$\forall \ x,{\overline {Bx}}\ \rightarrow \ {\overline {Rx}}$$

где $\rightarrow$ указывает на материальное условное , согласно которому «Если $A$ затем $B$" можно понимать как " $B$ или ${\overline {A}}$".

Некоторые авторы утверждали, что материальный смысл не полностью отражает смысл фразы «Если $A$ затем $B$ ). « (см. парадоксы материальной импликации Для каждого объекта $x$, $x$ «либо черный, либо не ворон» верен , когда нет воронов. Именно из-за этого утверждение «Все вороны черные» считается истинным, когда воронов нет. Кроме того, аргументы, которые Гуд и Махер использовали для критики критерий (см. § «Ребенок Гуда » выше) основывался на этом факте: утверждение «Все вороны черные» весьма вероятно, когда весьма вероятно, что воронов нет.

Сказать, что все вороны черные при отсутствии воронов, — пустое утверждение. Это ни к чему не относится. «Все вороны белые» одинаково уместно и верно, если считать, что это утверждение имеет хоть какую-то истину или значимость.

Некоторые подходы к парадоксу пытались найти другие способы интерпретации: «Если $A$ затем $B$" и "Все $A$ являются $B$», что устранило бы воспринимаемую эквивалентность между «Все вороны черные» и «Все нечерные существа не являются воронами».

Один из таких подходов предполагает введение многозначной логики , согласно которой «Если $A$ затем $B$" имеет истинное значение $I$, что означает «Неопределенный» или «Неуместный», когда $A$ является ложным. В такой системе противопоставление автоматически не допускается: «Если $A$ затем $B$" не эквивалентно "Если ${\overline {B}}$ затем ${\overline {A}}$Следовательно , «Все вороны черные» не эквивалентно «Все нечерные существа не являются воронами».

В этой системе, когда возникает противопоставление, модальность условного предложения меняется с изъявительного («Если этот кусок масла нагрели до 32 °C, то оно растаяло ») на контрфактическое («Если бы этот кусок масла был нагреть до 32°C, тогда он расплавится »). Согласно этому аргументу, это устраняет предполагаемую эквивалентность, необходимую для вывода о том, что желтые коровы могут сообщить нам о воронах:

При правильном грамматическом употреблении контрапозитивный аргумент не должен выражаться полностью в изъявительном наклонении. Таким образом:

Из того, что если эту спичку поцарапать, она загорится, то следует, что если она не зажжется, то она не была поцарапана.

это неловко. Мы должны сказать:

Из того факта, что если эту спичку поцарапать, она загорится, то следует, что если бы она не зажглась, она не была бы поцарапана. ...

Можно задаться вопросом, какое влияние оказывает такая интерпретация закона противопоставления на парадокс подтверждения Гемпеля. "Если $a$ тогда это ворон $a$ черный» эквивалентно «Если $a$ тогда мы не были черными $a$ не было бы вороном». Следовательно, все, что подтверждает последнее, должно также, по условию эквивалентности, подтверждать первое. Это правда, но желтые коровы все еще не могут участвовать в подтверждении «Все вороны черные», потому что в науке подтверждение достигается. предсказанием, а предсказания правильно излагаются в изъявительном наклонении. Бессмысленно спрашивать, что подтверждает контрфактическое утверждение.

Разные результаты принятия гипотез

Некоторые комментаторы заметили, что положения «Все вороны черные» и «Все нечерные существа не являются воронами» предполагают разные процедуры проверки гипотез. Например, Гуд пишет:

Как предложения эти два утверждения логически эквивалентны. Но они оказывают различное психологическое воздействие на экспериментатора. Если его попросить проверить, все ли вороны черные, он найдет ворона и затем решит, черный ли он. Но если его попросить проверить, не являются ли все нечерные предметы неворонами, он может поискать нечерный объект и затем решить, является ли это вороном.

Совсем недавно было высказано предположение, что фразы «Все вороны черные» и «Все нечерные вещи не являются воронами» могут иметь разные последствия, если их принять . В аргументе рассматриваются ситуации, в которых общая численность или распространенность воронов и черных объектов неизвестны, но оценены. При принятии гипотезы «Все вороны черные» согласно рассуждению оценочное количество черных объектов увеличивается, а оценочное количество воронов не меняется.

Это можно проиллюстрировать, рассмотрев ситуацию двух людей, которые имеют идентичную информацию о воронах и черных объектах и ​​имеют одинаковые оценки количества воронов и черных объектов. Для конкретики предположим, что всего существует 100 объектов, и, согласно информации, доступной вовлеченным людям, каждый объект с такой же вероятностью может быть не вороном, как и вороном, и с такой же вероятностью может быть черным. как это должно быть не черным:

$$P(Ra)={\frac {1}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ P(Ba)={\frac {1}{2}}$$

и предложения $Ra,\ Rb$ независимы для разных объектов $a$, $b$ и так далее. Тогда предполагаемое количество воронов — 50; предполагаемое количество черных вещей – 50; оценочное количество черных воронов - 25, а оценочное количество нечерных воронов (противоположных гипотезам) - 25.

Один из людей выполняет статистическую проверку (например, тест Неймана-Пирсона или сравнение накопленной массы доказательств с пороговым значением) гипотезы о том, что «Все вороны черные», в то время как другой проверяет гипотезу о том, что «Все не- черные предметыне являются воронами». Для простоты предположим, что доказательства, используемые для теста, не имеют ничего общего с набором из 100 рассматриваемых здесь объектов. Если первый человек принимает гипотезу о том, что «Все вороны черные», то, согласно Согласно этому аргументу, около 50 объектов, цвет которых ранее вызывал сомнения (вороны), теперь считаются черными, тогда как об остальных объектах (не-воронах) не думается ничего другого. Следовательно, он должен оценить число черных воронов в 50. , количество черных не-воронов — 25 и количество не-черных не-воронов — 25. Указывая эти изменения, этот аргумент явно ограничивает область «Все вороны черные» воронами.

С другой стороны, если второй человек примет гипотезу о том, что «Все нечерные объекты не являются воронами», то примерно 50 нечерных объектов, в отношении которых было неясно, является ли каждый из них вороном, будут считаться не-воронами. -вороны. В то же время о примерно 50 оставшихся объектах (черных объектах) не будет думать ничего другого. Следовательно, он должен оценить количество черных воронов в 25, количество черных не-воронов в 25 и количество не-черных не-воронов в 50. Согласно этому аргументу, поскольку два человека расходятся в своих оценках после того, как они приняли различные гипотезы, принятие «Все вороны черные» не эквивалентно признанию «Все нечерные вещи не являются воронами»; принятие первого означает оценку большего количества вещей как черные, тогда как принятие второго предполагает оценку большего количества вещей как не-воронов. Соответственно, утверждается, что первый требует в качестве доказательства воронов, которые оказываются черными, а второй требует нечерных вещей, которые оказываются неворонами.

Экзистенциальные предпосылки

Ряд авторов утверждали, что предложения вида «Все $A$ являются $B$"предполагаем, что существуют объекты, которые $A$. Этот анализ был применен к парадоксу ворона:

... $H_{1}$: «Все вороны черные» и $H_{2}$: «Все нечерные вещи — невороны» не являются строго эквивалентными ... из-за различных экзистенциальных предпосылок. Более того, хотя $H_{1}$ и $H_{2}$ описывают одну и ту же закономерность – несуществование нечерных воронов – они имеют разные логические формы. Эти две гипотезы имеют разный смысл и включают в себя разные процедуры проверки описываемой ими закономерности.

Модифицированная логика может учитывать экзистенциальные предпосылки, используя пресуппозиционный оператор «*». Например,

$$\forall \ x,\ *Rx\rightarrow Bx$$

может обозначать «Все вороны черные», указывая при этом, что в этом примере предполагается существование именно воронов, а не нечерных объектов.

... логическая форма каждой гипотезы отличает ее от рекомендуемого типа подтверждающих доказательств: возможные истинные случаи замены каждой гипотезы относятся к различным типам объектов. Тот факт, что две гипотезы включают в себя разные виды процедур проверки, выражается на формальном языке путем добавления оператора «*» к другому предикату. Таким образом, пресуппозиционный оператор также служит оператором релевантности. Он предшествует предикату ' $x$ это ворон в $H_{1}$ поскольку объекты, относящиеся к процедуре тестирования, включенной в «Все вороны черные», включают только воронов; он предваряется предикатом ' $x$ нечерный', в $H_{2}$, поскольку объекты, относящиеся к процедуре тестирования, включенной в формулировку «Все нечерные вещи — невороны», включают только нечерные вещи. ... Используя термины Фреге : всякий раз, когда их предпосылки верны, две гипотезы имеют один и тот же референт (истинное значение), но разные смыслы ; то есть они выражают два разных способа определения этого истинностного значения.

См. также

• Ошибка ассоциации
• Байесовская эпистемология
• Теория черного лебедя
• Список парадоксов

Дальнейшее чтение

• Чанг, Хасок ; Фишер, Грант (2011). «Чему нас на самом деле учат вороны: внутренней контекстуальности доказательств» . У Давида, Филипп; Твининг, Уильям Л.; Василаки, Мими (ред.). Доказательства, выводы и расследования . Труды Британской академии. Том. 171. Оксфорд; Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. дои : 10.5871/bacad/9780197264843.003.0013 . ISBN  9780197264843 . OCLC   709682874 .
• Франчески, Пол (04 февраля 2011 г.). «Аргумент конца света и проблема Гемпеля» . paulfranceschi.com . Проверено 27 апреля 2020 г. Английский перевод статьи, первоначально опубликованной на французском языке как: Франчески, Пол (март 1999 г.). «Как урна Картера и Лесли перетекает в урну Гемпеля». Канадский философский журнал . 29 (1): 139–156. дои : 10.1080/00455091.1999.10717508 . JSTOR   40232048 . S2CID   170342519 .
• Хемпель, Карл Г. (декабрь 1943 г.). «Чисто синтаксическое определение подтверждения» (PDF) . Журнал символической логики . 8 (4): 122–143. дои : 10.2307/2271053 . JSTOR   2271053 . S2CID   45559850 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
• Хемпель, Карл Г. (1966). «Исследования по логике подтверждения». В Фостере, Маргарита Х.; Мартин, Майкл (ред.). Вероятность, подтверждение и простота: Чтения по философии индуктивной логики . Нью-Йорк: Одиссея Пресс. стр. 145–183. OCLC   284885 .
• Уайтли, CH (апрель 1945 г.). «Парадоксы подтверждения Гемпеля». Разум . 54 (214): 156–158. дои : 10.1093/mind/liv.214.156 . JSTOR   2250951 .