Монотонность дома

Монотонность дома ^[1]^{: 134–141} (также называемая монотонностью размером с дом) ^[2]) является свойством методов распределения . Это методы распределения мест в парламенте между федеральными землями (или между политическими партиями ). В ресурсе говорится, что если количество мест в «палате» (парламенте) увеличится и метод будет вновь активирован, то ни одно государство (или партия) не должно иметь меньше мест, чем было раньше. Говорят, что метод, который не удовлетворяет монотонности дома, имеет парадокс Алабамы .

В контексте выборов в комитеты монотонность дома часто называют монотонностью комитета . В нем говорится, что если размер комитета увеличится, то все кандидаты, которые были избраны ранее, все равно будут избраны.

Монотонность дома — это частный случай монотонности ресурса для ситуации, в которой ресурс состоит из идентичных дискретных предметов (сидений).

Методы, нарушающие домашнюю монотонность

Примером метода, нарушающего домашнюю монотонность, является метод наибольшего остатка (= метод Гамильтона). Рассмотрим следующий пример с тремя состояниями:

		дом на 10 мест		дом на 11 мест
Состояние	Население	Справедливая доля	Сиденья	Справедливая доля	Сиденья
А	6	4.286	4	4.714	5
Б	6	4.286	4	4.714	5
С	2	1.429	2	1.571	1

Когда в палате добавляется одно место, доля государства С уменьшается с 2 до 1.

Это происходит потому, что увеличение количества мест увеличивает справедливую долю быстрее для крупных штатов, чем для малых штатов. В частности, у крупных A и B справедливая доля увеличивалась быстрее, чем у мелких C. Таким образом, дробные части для A и B увеличивались быстрее, чем для C. Фактически, они обогнали долю C, в результате чего C потерял свое место, поскольку Метод исследует, какие штаты имеют наибольшую оставшуюся долю.

Это нарушение известно как парадокс Алабамы из-за истории его открытия. После переписи 1880 года К. У. Ситон, главный секретарь Бюро переписи населения США , подсчитал пропорции для всех палат размером от 275 до 350 и обнаружил, что Алабама получит восемь мест при размере палаты 299, но только семь при размере палаты 299 мест. 300. ^[3]^{: 228–231}

Методы, удовлетворяющие домашней монотонности

Методы распределения

Все методы с наивысшими средними (= методы делителей) удовлетворяют монотонности дома. ^[1]^{: Кор.4.3.1} Это легко увидеть, рассматривая реализацию методов делителей как последовательностей выбора: при добавлении места единственным изменением является то, что последовательность выбора расширяется за счет одного дополнительного выбора. Таким образом, все штаты сохраняют свои ранее выбранные места. Точно так же методы рангового индекса , которые являются обобщениями методов дивизоров, удовлетворяют домашней монотонности.

Более того, методы ограниченного деления , которые являются вариантами методов делителей, в которых штат никогда не получает больше мест, чем его верхняя квота, также удовлетворяют монотонности дома. Примером может служить квотный метод Балинского - Янга . ^[4]

Каждый метод монотонного дома можно определить как рекурсивную функцию размера дома h . ^[1]^{: Thm.7.2} Формально метод распределения $M(\mathbf {t} ,h)$ является монотонным по дому и удовлетворяет обеим квотам тогда и только тогда, когда он построен рекурсивно следующим образом ( «Математика распределения определения и обозначения см. в разделе »):

$M(\mathbf {t} ,0)=0$ ;
Если $M(\mathbf {t} ,h)=\mathbf {a}$ ${\ displaystyle M (\ mathbf {t}, h) = \ mathbf {a} }$ , затем $M(\mathbf {t} ,h+1)$ $M(\mathbf {t},h+1)$ находится путем предоставления $a_{i}+1$ $a_{i}+1$ места в каком-то одном штате $i\in U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )\cap L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ ${\ displaystyle i \ in U (\ mathbf {t}, \ mathbf {a}) \ cap L (\ mathbf {t}, \ mathbf {a})}$ , где:
- $U(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ — это набор штатов, которые могут получить дополнительное место, не нарушая свою верхнюю квоту для нового размера дома;
- $L(\mathbf {t} ,\mathbf {a} )$ Это набор штатов, которые могут получить меньше своей нижней квоты на дом определенного будущего размера.

Любой последовательный метод распределения является монотонным. ^[2]^{: Под.9.5}

Методы голосования с несколькими победителями

Последовательные правила голосования Фрагмена , как для бюллетеней для одобрения, так и для рейтинговых бюллетеней, являются монотонными для комитета. То же самое верно для метода сложения Тиле и метода исключения Тиле. Однако метод оптимизации Тиле не является монотонным по комитету. ^[5]^{: Раздел 5}

См. также

Монотонность ресурсов — обобщение монотонности дома на возможно разные предметы.
Критерий монотонности - другой критерий, используемый для ранжированных систем голосования.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/ 978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 2 сентября 2021 г.
^ Штейн, Джеймс Д. (2008). Как математика объясняет мир: руководство по силе чисел, от ремонта автомобилей до современной физики . Нью-Йорк: Смитсоновские книги. ISBN 9780061241765 .
^ Балинский, МЛ; Янг, HP (1 августа 1975 г.). «Квотный метод распределения» . Американский математический ежемесячник . 82 (7): 701–730. дои : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .
^ Янсон, Сванте (12 октября 2018 г.). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/ 978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 2 сентября 2021 г.

[Stein2008-3] Штейн, Джеймс Д. (2008). Как математика объясняет мир: руководство по силе чисел, от ремонта автомобилей до современной физики . Нью-Йорк: Смитсоновские книги. ISBN 9780061241765 .

[4] Балинский, МЛ; Янг, HP (1 августа 1975 г.). «Квотный метод распределения» . Американский математический ежемесячник . 82 (7): 701–730. дои : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .

[:02-5] Янсон, Сванте (12 октября 2018 г.). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]