Последовательность (философская стратегия азартных игр)

В мысленном эксперименте, предложенном итальянским специалистом по теории вероятностей Бруно де Финетти для обоснования байесовской вероятности , набор ставок является связным, если его результатом не является голландская книга .

субъективные вероятности как

Необходимо установить цену обещания заплатить 1 доллар, если Джон Смит победит на завтрашних выборах, и 0 долларов в противном случае. Человек знает, что его оппонент сможет выбрать: либо купить такое обещание у кого-то по установленной им цене, либо потребовать, чтобы он купил у него такое обещание, все еще по той же цене. Другими словами: игрок А устанавливает коэффициенты, а игрок Б решает, какую сторону ставки принять. Цена, которую устанавливает человек, представляет собой «операционную субъективную вероятность», которую он присваивает предложению, на которое делает ставку.

Если кто-то решит, что вероятность победы Джона Смита составляет 12,5% (это произвольная оценка), то можно установить шансы против 7:1. Эта произвольная оценка — «операционная субъективная вероятность» — определяет выигрыш от успешной ставки. Ставка в 1 доллар с этими коэффициентами приведет либо к потере 1 доллара (если Смит проиграет), либо к выигрышу в 7 долларов (если Смит выиграет). Если 1 доллар внесен в качестве залога в качестве условия ставки, то 1 доллар также будет возвращен игроку, если он выиграет ставку.

Голландские книги

Основная статья: голландская книга

Говорят, что человек, который установил цены на ряд ставок таким образом, что он или она получит чистую прибыль независимо от результата, составил голландскую книгу . Когда у кого-то есть голландская книга, его оппонент всегда проигрывает. Человек, который устанавливает цены таким образом, чтобы дать своему оппоненту голландскую книгу, ведет себя нерационально. Итак, следующие аргументы из голландской книги показывают, что рациональные агенты должны обладать субъективными вероятностями, которые следуют общим законам вероятности.

Очень

Правила не запрещают устанавливать цену выше 1 доллара, но разумный оппонент может продать билет по высокой цене, так что противник выйдет вперед независимо от исхода события, на которое сделана ставка. Правила также не запрещают отрицательную цену, но оппонент может получить от игрока платное обещание заплатить ему или ей позже, если возникнет определенное непредвиденное обстоятельство. В любом случае ценоустанавливающий проигрывает. Эти проигрышные ситуации соответствуют тому факту, что вероятность не может ни превышать 1 (определенность), ни быть меньше 0 (нет шансов на выигрыш).

Более

Теперь предположим, что кто-то устанавливает цену обещания заплатить 1 доллар, если «Бостон Ред Сокс» выиграет Мировую серию в следующем году, а также цену обещания заплатить 1 доллар, если победит «Нью-Йорк Янкиз», и, наконец, цену обещания заплатить 1 доллар. если . победят «Ред Сокс» или «Янкиз» Можно устанавливать цены таким образом, чтобы

${\text{Price}}({\text{Red Sox}})+{\text{Price}}({\text{Yankees}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox or Yankees}})\,$

Но если кто-то установит цену третьего билета ниже суммы первых двух билетов, разумный оппонент купит этот билет и продаст два других билета ценоустанавливающему. Рассматривая три возможных исхода (Ред Сокс, Янкиз, какая-то другая команда), можно заметить, что независимо от того, какой из трех исходов наступит, игрок проиграет. Аналогичная судьба ждет, если цену третьего билета установить выше суммы двух других цен. Это соответствует тому факту, что вероятности взаимоисключающих событий аддитивны (см. аксиомы вероятности ).

Условные ставки и условные вероятности

Теперь представьте себе более сложный сценарий. Необходимо установить цены трех обещаний:

• заплатить 1 доллар, если Red Sox выиграет завтрашнюю игру: покупатель этого обещания теряет свою ставку, если Red Sox не выиграет, независимо от того, вызвана ли их неудача потерей завершенной игры или отменой игры, и
• заплатить 1 доллар в случае победы Red Sox и возместить сумму обещания, если игра будет отменена, и
• заплатить 1 доллар, если игра завершена, независимо от того, кто победит.

Возможны три исхода: игра отменяется; игра сыграна, и «Ред Сокс» проигрывают; игра сыграна, и Red Sox побеждает. Можно устанавливать цены таким образом, чтобы

${\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}})$

(где вторая цена выше — это ставка, включающая возврат средств в случае отмены). (Примечание: цены здесь представляют собой безразмерные числа, полученные путем деления на 1 доллар, который является выплатой во всех трех случаях.) Благоразумный оппонент записывает три линейных неравенства с тремя переменными. Переменные — это суммы, которые они будут инвестировать в каждое из трех обещаний; Ценность одного из них отрицательна, если они заставят человека, устанавливающего цену, купить это обещание, и положительна, если они его купят. Каждое неравенство соответствует одному из трех возможных результатов. Каждое неравенство утверждает, что чистый выигрыш вашего оппонента больше нуля. Решение существует, если определитель матрицы не равен нулю. Этот определитель:

${\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})-{\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}}).$

Таким образом, благоразумный оппонент может сделать того, кто устанавливает цены, заведомо проигравшим, если только он не установит свои цены таким образом, который соответствует простейшей общепринятой характеристике условной вероятности .

Другой пример

В Кентукки Дерби 2015 года фаворит («Американский фараон») был установлен со счетом анте-пост 5:2, второй фаворит - 3:1 и третий фаворит - 8:1. Все остальные лошади имели коэффициент против 12:1 или выше. При таких коэффициентах ставка в размере 10 долларов на каждого из всех 18 игроков в стартовом составе приведет к чистому проигрышу, если победит фаворит или второй фаворит.

Однако если предположить, что ни одна лошадь с коэффициентом 12:1 или выше не выиграет, и поставить 10 долларов на каждую из трех лучших лошадей, то гарантирован хотя бы небольшой выигрыш. Фаворит (который действительно выиграл) получит выплату в размере 25 долларов плюс возвращенную ставку в 10 долларов, что даст конечный баланс в размере 35 долларов (чистое увеличение на 5 долларов). Победа второго фаворита принесет выигрыш в размере 30 долларов плюс первоначальная ставка в 10 долларов, что приведет к чистому увеличению на 10 долларов. Победа третьего фаворита дает 80 долларов плюс первоначальные 10 долларов, что дает чистый прирост в 60 долларов.

Такого рода стратегия, если она касается только тройки лидеров, образует голландскую книгу. Однако если принять во внимание всех восемнадцать претендентов, то для этой расы не существует нидерландской книги.

Согласованность

Можно показать, что набор цен является согласованным, если они удовлетворяют аксиомам вероятности и связанным с ними результатам, таким как принцип включения-исключения .

См. также

• Без арбитража – капитализация безрисковых возможностей на финансовых рынках. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления , аналогичная концепция в математических финансах.
• Байесовская эпистемология
• Разделяй и выбирай – метод разрезания торта для двоих без зависти
• Правило подсчета очков

Ссылки

• Бовенс, Люк; Хартманн, Стефан (2003). «Согласованность». Байесовская эпистемология . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 28–55. ISBN  0-19-926975-0 .
• Кадане, Джозеф Б. (2020). Принципы неопределенности . Чепмен и Холл. стр. 1–28. ISBN  978-1-138-05273-4 .
• Лад, Фрэнк (1996). Операционные субъективные статистические методы: математическое, философское и историческое введение . Нью-Йорк: Уайли . ISBN  0-471-14329-4 .
• Махер, Патрик (1993). «Субъективная вероятность в науке». Ставки на теории . Издательство Кембриджского университета. стр. 84–104. ISBN  052141850X .

Внешние ссылки

• «Байесовская эпистемология».