Смещение сиденья

Смещение мест – это свойство, описывающее методы распределения мест . Это методы, используемые для распределения мест в парламенте между федеральными землями или между политическими партиями . Метод является предвзятым , если он систематически отдает предпочтение мелким партиям перед большими партиями, или наоборот. Существует несколько математических мер предвзятости, которые могут незначительно расходиться.

Обозначения

Существует целое положительное число $h$ (= размер дома), представляющий общее количество мест, которые необходимо выделить. Существует целое положительное число $n$ представляющее количество партий, которым должны быть выделены места. Есть вектор дробей $(t_{1},\ldots ,t_{n})$ с $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$ , представляющие права - $t_{i}$ представляет собой право стороны $i$ , то есть доля мест, на которые $i$ имеет право (из общего числа $h$ ). Обычно это доля голосов, которую данная партия набрала на выборах.

Цель состоит в том, чтобы найти метод распределения, представляющий собой вектор целых чисел. $a_{1},\ldots ,a_{n}$ с $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ , распределением называемое $h$ , где $a_{i}$ — количество мест, выделенных партии i .

Метод пропорционального распределения — это многозначная функция. $M(\mathbf {t} ,h)$ , который принимает в качестве входных данных вектор пособий и размер дома и возвращает в качестве выходных данных долю $h$ .

Попарное сравнение методов

Мы говорим, что метод распределения $M'$ предпочитает небольшие партии больше, чем $M$ если для каждого t и h и для каждого $\mathbf {a'} \in M'(\mathbf {t} ,h)$ и $\mathbf {a} \in M(\mathbf {t} ,h)$ , $t_{i}<t_{j}$ подразумевает либо $a_{i}'\geq a_{i}$ или $a_{j}'\leq a_{j}$ .

Если $M$ и $M'$ два метода делителя с функциями делителя $d$ и $d'$ , и $d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)$ в любое время $a>b$ , затем $M'$ предпочитает мелких агентов больше, чем $M$ . ^{[ 1 ]}^{: Thm.5.1} Таким образом, метод Адамса предпочитает небольшие партии больше, чем метод Дина, больше, чем метод Хилла, больше, чем метод Вебстера, больше, чем метод Джефферсона.

Этот факт можно выразить с помощью порядка мажорирования целочисленных векторов. Вектор a мест мажорирует другой вектор b , если для всех k получают крупнейшие партии k в a по крайней мере столько же мест, сколько они получают в b . Метод распределения $M$ мажорирует другой метод $M'$ , если для любого размера дома и вектора прав, $M(\mathbf {t} ,h)$ мажорирует $M'(\mathbf {t} ,h)$ . Если $M$ и $M'$ два метода делителя с функциями делителя $d$ и $d'$ , и $d'(a)/d'(b)>d(a)/d(b)$ в любое время $a>b$ , затем $M'$ мажорирует $M$ . Таким образом, мажорация Адамса мажорируется Дином, мажором Хилла, мажором Вебстера, мажором Джефферсона. ^{[ 2 ]}

Метод смещенной квоты ( метод наибольшего остатка ) с квотой $q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)$ также упорядочены по мажорированию, где методы с меньшим s мажорируются методами с большим s . ^{[ 2 ]}

Пересчет всех размеров дома

Чтобы измерить смещение определенного метода распределения M, можно проверить для каждой пары пособий $t_{1},t_{2}$ , набор всех возможных пропорций, определяемых M, для всех возможных размеров дома. Теоретически число возможных размеров дома бесконечно, но поскольку $t_{1},t_{2}$ обычно являются рациональными числами, достаточно проверить размеры домов до произведения их знаменателей . Для каждого размера дома можно проверить, $a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}$ или $a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}$ . Если число размеров домов, для которых $a_{1}/t_{1}>a_{2}/t_{2}$ равно количеству домов, для которых $a_{1}/t_{1}<a_{2}/t_{2}$ , то метод несмещен. Единственным беспристрастным методом по этому определению является метод Вебстера . ^{[ 1 ]}^{: Предложение 5.2}

Усреднение по всем парам прав

Можно также проверить для каждой пары возможных распределений $a_{1},a_{2}$ , набор всех пар прав $t_{1},t_{2}$ для которого метод M дает распределения $a_{1},a_{2}$ (для $h=a_{1}+a_{2}$ ). Предполагая, что права распределены равномерно и случайным образом, можно вычислить вероятность того, что M отдает предпочтение штату 1, по сравнению с вероятностью того, что он отдает предпочтение штату 2. Например, вероятность того, что штат, получивший 2 места, получит преимущество перед штатом, получившим 4 места, равна 75. % для Адамса, 63,5% для Дина, 57% для Хилла, 50% для Вебстера и 25% для Джефферсона. ^{[ 1 ]}^{: Предложение 5.2} Уникальный метод пропорциональных делителей, для которого эта вероятность всегда равна 50%, — это метод Вебстера. ^{[ 1 ]}^{: Thm.5.2} Существуют и другие методы делителя, дающие вероятность 50%, но они не удовлетворяют критерию пропорциональности , определенному в разделе «Основные требования» выше. Тот же результат имеет место, если вместо проверки пар агентов мы проверяем пары групп агентов. ^{[ 1 ]}^{: Thm.5.3}

Усреднение по всем векторам прав

Можно также проверить для каждого вектора прав (каждой точки стандартного симплекса ) каково смещение места агента с k -м наибольшим правом. Усреднение этого числа по всему стандартному симплексу дает формулу смещения сиденья .

Методы стационарных делителей

Для каждого метода стационарного делителя , т.е. такого, где $a$ места соответствуют делителю $d(a)=a+r$ и избирательный порог $t$ : ^{[ 3 ]}^{: Под.7.10}

${\text{MeanBias}}(r,k,t)=(r-1/2)\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)$

В частности, метод Вебстера является единственным беспристрастным в этом семействе. Формула применима, когда размер дома достаточно велик, в частности, когда $h\geq 2n$ . Когда порог пренебрежимо мал, третий член можно игнорировать. Тогда сумма средних отклонений составит:

$\sum _{k=1}^{n}{\text{MeanBias}}(r,k,0)\approx (r-1/2)\cdot (n/e-1)$ , когда приближение справедливо для $n\geq 5$ .

Поскольку среднее смещение благоприятствует большим партиям, когда $r>1/2$ , у небольших партий есть стимул формировать партийные союзы (=коалиции). Такие союзы могут склонить ситуацию в их пользу. Формулу смещения мест можно распространить на страны с такими альянсами. ^{[ 3 ]}^{: Под.7.11}

Для методов смещенной квоты

Для каждого метода смещенной квоты ( метода наибольшего остатка ) с квотой $q_{i}=t_{i}\cdot (h+s)$ , когда векторы прав выбираются равномерно случайным образом из стандартного симплекса,

${\text{MeanBias}}(s,k,t)={\frac {s}{n}}\cdot \left(\sum _{i=k}^{n}(1/i)-1\right)\cdot (1-nt)$

В частности, метод Гамильтона — единственный несмещенный в этом семействе. ^{[ 3 ]}

Реальные данные

В дополнение к теоретическому анализу можно проверить фактическую погрешность метода в реальных распределениях. Используя данные переписи населения США , Балински и Янг обнаружили, что метод Вебстера является наименее смещенным к медиане оценочным методом для сравнения пар штатов, за которым следует метод Хантингтона-Хилла . ^{[ 1 ]} Однако Эрнст (1994) обнаружил, что при использовании других определений предвзятости метод Хантингтона-Хилла также можно назвать наименее предвзятым. ^{[ 4 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Предпочитая более сильные партии более слабым партиям: мажоритаризация» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 149–157, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_8 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Преимущество одних за счет других: предвзятость мест» , Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 127–147, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Эрнст, Лоуренс Р. (1994). «Методы распределения в Палате представителей и судебные разбирательства» . Наука управления . 40 (10): 1207–1227. ISSN 0025-1909 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[:2-2] Jump up to: ^а ^б Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Предпочитая более сильные партии более слабым партиям: мажоритаризация» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 149–157, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_8 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:1-3] Jump up to: ^а ^б ^с Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Преимущество одних за счет других: предвзятость мест» , Пропорциональное представительство: методы распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 127–147, doi : 10.1007/978-3-319-64707-4_7 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:22-4] Эрнст, Лоуренс Р. (1994). «Методы распределения в Палате представителей и судебные разбирательства» . Наука управления . 40 (10): 1207–1227. ISSN 0025-1909 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]