Проблема банкротства

Проблема банкротства , также называется проблемой претензий , Это проблема распределения однородного делимого блага (например, денег) среди людей с разными требованиями . Основное внимание уделяется случаю, когда сумма недостаточна для удовлетворения всех требований.

Каноническое заявление — банкрот, фирма- подлежащая ликвидации . Фирма задолжала разным кредиторам разные суммы денег , но общая стоимость активов компании меньше ее общего долга. Проблема в том, как разделить имеющиеся скудные деньги между кредиторами.

Другим применением может быть раздел имущества между несколькими наследниками , особенно если наследство не может выполнить все обязательства умершего.

Третье приложение оценка налоговая . Можно рассматривать заявителей как налогоплательщиков, претензии как доходы, а пожертвования как общий доход после уплаты налогов. Определение распределения общего дохода после уплаты налогов эквивалентно определению распределения налоговых платежей.

Определения

Сумма, которую можно разделить, обозначается $E$ (=Имущество или Пожертвование). Имеются n истцов . Каждый истец i имеет претензию , обозначаемую $c_{i}$.

Предполагается, что $\sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E$, то есть общая сумма требований (слабо) больше, чем имущество.

Правило деления — это функция, которая отображает экземпляр проблемы $(c_{1},\ldots ,c_{n},E)$ в вектор $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ такой, что $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=E$ и $0\leq x_{i}\leq c_{i}$ для всех я . более своего требования, а сумма распределений равна именно имению Е. То есть: каждый истец получает не

Обобщения

Существуют обобщенные варианты, в которых общая сумма требований может быть меньше, чем имущество. В этих обобщенных вариантах $\sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E$ не предполагается и $0\leq x_{i}\leq c_{i}$ не требуется.

Другое обобщение, вдохновленное реалистичными проблемами банкротства, заключается в добавлении экзогенного порядка приоритетов среди истцов, который может быть разным даже для истцов с идентичными требованиями. Эта проблема называется проблемой претензий с приоритетами . Другой вариант называется проблемой претензий с весами.

Правила

На практике существуют различные правила решения проблем банкротства.

• Правило пропорциональности делит имущество пропорционально требованию каждого агента. Формально каждый истец i получает $r\cdot c_{i}$, где r — константа, выбранная такая, что $\sum _{i=1}^{n}r\cdot c_{i}=E$. Обозначим результат пропорционального правила через $PROP(c_{1},\ldots ,c_{n};E)$.
• Существует вариант, называемый пропорциональным правилом усеченных претензий , в котором каждое требование, превышающее E, усекается до E , а затем активируется пропорциональное правило. То есть оно равно $PROP(c_{1}',\ldots ,c_{n}',E)$, где $c'_{i}:=\min(c_{i},E)$.
• Скорректированное пропорциональное правило сначала дает каждому агенту i его минимальное право , которое представляет собой сумму, не востребованную другими агентами. Формально, $m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})$. Обратите внимание, что $\sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E$ подразумевает $m_{i}\leq c_{i}$. Затем он пересматривает требование агента i на $c'_{i}:=c_{i}-m_{i}$, и поместье $E':=E-\sum _{i}m_{i}$. Обратите внимание, что $E'\geq 0$. Наконец, он активирует пропорциональное правило усеченных требований, то есть возвращает $TPROP(c_{1},\ldots ,c_{n},E')=PROP(c_{1}'',\ldots ,c_{n}'',E')$, где $c''_{i}:=\min(c'_{i},E')$. В случае двух заявителей пересмотренные претензии всегда равны, поэтому остаток делится поровну. При наличии трех или более заявителей пересмотренные претензии могут быть разными.
• Правило ограниченного равного вознаграждения делит имущество поровну между агентами, гарантируя, что никто не получит больше, чем требует. Формально каждый истец i получает $\min(c_{i},r)$, где r — константа, выбранная такая, что $\sum _{i=1}^{n}\min(c_{i},r)=E$. Обозначим результат этого правила через $CEA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)$. В контексте налогообложения он известен как выравнивающий налог .
• Правило ограниченных равных убытков делит поровну разницу между совокупным требованием и имуществом, гарантируя, что ни один агент не получит отрицательную передачу. Формально каждый истец i получает $\max(0,c_{i}-r)$, где r выбрано так, что $\sum _{i=1}^{n}\max(0,c_{i}-r)=E$. Это правило обсуждалось Маймонидом . В контексте налогообложения он известен как подушный налог .
• Правило оспариваемой одежды (также называемое Талмуда правилом ) использует правило CEA для половины претензий, если имущество меньше половины общей суммы претензии; в противном случае он дает каждому истцу половину своих требований и применяет правило CEL. Формально, если $2E<\sum _{i=1}^{n}c_{i}$ затем $CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)$; В противном случае, $CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=c/2+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))$.
• Следующее правило приписывают в Пинилес. Если сумма претензий больше 2 E , то правило CEA применяется к половине претензий, то есть возвращается $CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)$ ; В противном случае он передает каждому агенту половину своего требования, а затем применяет CEA к остатку, то есть возвращает $(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)$ .
• Ограниченное эгалитарное правление работает следующим образом. Если сумма претензий превышает 2 E , то правило CEA применяется к половине претензий, давая каждому заявителю i $\min(c_{i}/2,r)$. В противном случае каждому агенту i $\max(c_{i}/2,\min(c_{i},r))$, В обоих случаях r — константа, выбранная так, чтобы сумма выделений равнялась E .
• Правило случайного прибытия работает следующим образом. Предположим, заявители прибывают один за другим. Каждый истец получает всю свою претензию, вплоть до доступной суммы. Правило возвращает среднее значение результирующих векторов распределения, когда порядок прибытия выбирается равномерно случайным образом. Формально:

$RA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in {\text{permutations}}}\min(c_{i},\max(0,E-\sum _{\pi (j)<\pi (i)}c_{j}))$.

Правила банкротства и кооперативные игры

Переговорные игры

Можно связать каждую проблему банкротства с проблемой совместных переговоров и использовать правило переговоров для решения проблемы банкротства. Затем:

• Решение Нэша на переговорах соответствует ограниченному правилу равных вознаграждений ;
• Лексикографо-эгалитарное решение переговоров также соответствует правилу ограниченного равного вознаграждения;
• Взвешенное решение переговоров Нэша с весами, равными требованиям, соответствует пропорциональному правилу ;
• Переговорное решение Калая -Смородинского соответствует пропорциональному правилу усеченных требований;
• Решение переговоров с расширенными равными потерями соответствует правилу усеченных претензий и ограниченных равных потерь.

Коалиционные игры

Можно связать каждую проблему банкротства с кооперативной игрой , в которой ценность каждой коалиции — это ее минимальное право — сумма, которую эта коалиция может обеспечить себе, если все остальные претенденты получат свои полные требования (то есть сумма, которую эта коалиция может получить). без обращения в суд). Формально стоимость каждого подмножества S претендентов равна $v(S):=\max \left(0,~E-\sum _{j\not \in S}c_{j}\right)$. Полученная игра является выпуклой , поэтому его ядро ​​непусто. Можно использовать концепцию решения кооперативных игр для решения соответствующей проблемы банкротства. Каждое правило разделения, которое зависит только от усеченных требований, соответствует решению кооперативной игры. В частности:

• Значение Шепли соответствует правилу случайного поступления;
• Предядрышко ; соответствует правилу Талмуда
• Решение Датта-Рэя соответствует ограниченному правилу равных вознаграждений;
• Решение по значению Тау соответствует скорректированному пропорциональному правилу.

Альтернативный способ связать проблему претензий с кооперативной игрой. — это ее максимальное право — сумма, которую эта коалиция сможет обеспечить себе, если все остальные претенденты откажутся от своих претензий: $v(S):=\min \left(E,\sum _{j\in S}c_{j}\right)$.

Свойства правил деления

В большинстве случаев правила разделения часто должны удовлетворять следующим основным свойствам:

• Осуществимость : сумма выделений не превышает всего имущества, $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\leq E$.
• Эффективность : сильнее, чем осуществимость: сумма ассигнований равна общей собственности, $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=E$.
• Неотрицательность : каждый заявитель должен получить неотрицательную сумму, $\forall i:x_{i}\geq 0$.
• Ограниченность претензий : каждый истец должен получить максимум своей претензии. $\forall i:x_{i}\leq c_{i}$.
• Минимальные права : сильнее, чем неотрицательность: каждый претендент должен получить, по крайней мере, свое минимальное право, то есть то, что останется, если все остальные агенты получат свои полные права: $\forall i:x_{i}\geq m_{i},{\text{ where }}m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})$.
  • Обратите внимание, что эффективность, неотрицательность и ограниченность притязаний вместе подразумевают минимальные права.
• Равное обращение с равными (ETE) : два заявителя с одинаковыми требованиями должны получить одинаковое распределение: $c_{i}=c_{j}\implies x_{i}=x_{j}$. В обобщенных задачах претензий с приоритетами равное отношение к равным требуется для агентов в каждом классе приоритета, но не для агентов в разных классах приоритета.
• Равное обращение с равными группами : сильнее, чем ETE: две подгруппы заявителей с одинаковым общим размером требований должны получить одинаковое общее распределение.
• Анонимность : сильнее, чем ETE: если мы переставляем вектор претензий, то соответственно меняется и вектор распределений.
• Сохранение порядка : сильнее, чем ETE: агенты со слабо более высокими требованиями должны получать чуть больше и терять чуть больше: $c_{i}\geq c_{j}\implies (x_{i}\geq x_{j}{\text{ and }}c_{i}-x_{i}\geq c_{j}-x_{j})$.
• Сохранение группового порядка : сильнее, чем групповое ETE и сохранение порядка: оно требует сохранения порядка среди каждых двух подмножеств агентов.

См. также

• Право (справедливое разделение)
• Пропорциональное разрезание торта с различными льготами
• Стратегическая проблема банкротства

Ссылки

• Аддитивные правила в проблемах банкротства и других связанных с ними проблемах
• Проблема банкротства: подход к ведению совместных переговоров