Решение переговоров Калая – Смородинского

Переговорное решение Калая –Смородинского (КС) является решением проблемы переговоров . Его предложили Эхуд Калаи и Меир Смородинский. в качестве альтернативы переговорному решению Нэша, предложенному 25 годами ранее. Основное различие между этими двумя решениями состоит в том, что решение Нэша удовлетворяет независимости нерелевантных альтернатив, тогда как решение KS удовлетворяет монотонности .

Параметр

Задача о сделке двух человек состоит из пары $(F,d)$:

• Набор соглашений возможных $F$. Это замкнутое выпуклое подмножество $\mathbb {R} ^{2}$. Каждый элемент $F$ представляет собой возможное соглашение между игроками. Координатами соглашения являются полезности игроков, если это соглашение реализовано. Предположение, что $F$ является выпуклым, имеет смысл, например, когда можно объединить соглашения путем рандомизации.
• Пункт разногласий $d=(d_{1},d_{2})$, где $d_{1}$ и $d_{2}$ — соответствующие выигрыши игрока 1 и игрока 2, когда переговоры прекращаются без достижения соглашения.

Предполагается, что задача нетривиальна, т.е. $F$ лучше для обеих сторон, чем разногласия.

Переговорное решение – это функция $f$ это требует проблем с переговорами $(F,d)$ и возвращает точку в наборе возможных соглашений, $f(F,d)\in F$.

Требования к переговорным решениям

Решения Nash и KS согласуются со следующими тремя требованиями:

Оптимальность по Парето является необходимым условием. Для каждой проблемы переговоров возвращенное соглашение $f(F,d)$ должна быть эффективной по Парето.

Симметрия также необходима. Имена игроков не должны иметь значения: если игрок 1 и игрок 2 поменяют свои полезности, то соглашение должно поменяться соответствующим образом.

Инвариантность к положительным аффинным преобразованиям также представляется необходимым условием: если функция полезности одного или нескольких игроков преобразуется линейной функцией, то соглашение также должно быть преобразовано той же линейной функцией. Это имеет смысл, если мы предположим, что функции полезности являются лишь представлениями отношения предпочтения и не имеют реального числового значения.

В дополнение к этим требованиям Нэш требует независимости нерелевантных альтернатив (IIA). Это означает, что если набор возможных соглашений растет (становится возможным большее количество соглашений), но в качестве решения для переговоров выбирается соглашение, содержащееся в меньшем наборе, то это соглашение должно быть таким же, как соглашение, достигнутое, когда был использован только меньший набор. доступны, поскольку новые соглашения неактуальны. Например, предположим, что в воскресенье мы можем договориться о варианте А или варианте Б и выбираем вариант А. Затем в понедельник мы можем договориться о варианте А, или Б, или С, но не выбираем вариант С. Тогда, говорит Нэш, что мы должны выбрать вариант А. Новый вариант С не имеет значения, поскольку мы все равно его не выбираем.

Калай и Смородинский расходятся с Нэшем в этом вопросе. Они утверждают, что весь набор альтернатив должен повлиять на достигнутое соглашение. В приведенном выше примере предположим, что отношение предпочтения игрока 2 таково: C>>B>A (C намного лучше, чем B, что несколько лучше, чем A), в то время как отношение предпочтения 1 обращено на противоположное: A>>B>> С. Тот факт, что вариант С становится доступным, позволяет игроку 2 сказать: «Если я откажусь от своего лучшего варианта — С, я имею право потребовать, чтобы был выбран хотя бы второй лучший вариант».

Поэтому KS отменяет требование IIA. Вместо этого они добавляют требование монотонности . Это требование гласит, что для каждого игрока, если полезность, достижимая этим игроком для каждой полезности другого игрока, немного больше, то и полезность, которую этот игрок получает в выбранном соглашении, также должна быть немного больше. Другими словами, игрок с лучшими вариантами должен получить чуть лучшее соглашение.

Формальное определение монотонности основано на следующих определениях.

• $Best_{i}(F)$ - наибольшая ценность, которую я могу ожидать от игрока при заключении реального соглашения.
• $Best_{i}(F,u)$ - наибольшая ценность, которую я могу ожидать от игрока в рамках реального соглашения, в котором полезность другого игрока равна $u$ (если другой игрок никогда не сможет получить $u$, затем $Best_{i}(F,u)$ определяется как $Best_{i}(F)$).

Требование монотонности гласит, что если $(F,d)$ и $(F',d)$ две задачи торга, такие, что:

• $Best_{1}(F)=Best_{1}(F')$
• Для каждого тебя , $Best_{2}(F,u)\leq Best_{2}(F',u)$

Тогда решение f должно удовлетворять:

• $f_{2}(F,d)\leq f_{2}(F',d)$

По словам КС:

«Если для каждого уровня полезности, который может потребовать игрок 1, максимально возможный уровень полезности, которого может одновременно достичь игрок 2, увеличивается, то уровень полезности, назначенный игроку 2 в соответствии с решением, также должен быть увеличен».

По симметрии то же самое требование будет выполняться, если мы поменяемся ролями игроков 1 и 2.

Решение КС

Решение KS можно рассчитать геометрически следующим образом.

Позволять $b(F)$ быть точкой лучших коммунальных услуг $(Best_{1}(F),Best_{2}(F))$. Нарисуйте линию $L$ от $d$ (точка разногласий) $b$ (пункт лучших утилит).

По предположению нетривиальности линия $L$ имеет положительный наклон. По выпуклости $F$, пересечение ул. $L$ с набором $F$ является интервалом. Решение KS — это правая верхняя точка этого интервала.

Математически решение КС — это максимальная точка, в которой сохраняются соотношения выигрышей. тоесть это точка $\mu$ на границе Парето $F$, такой, что:

${\mu _{1}-d_{1} \over \mu _{2}-d_{2}}={Best_{1}(F)-d_{1} \over Best_{2}(F)-d_{2}}$

Примеры

Алисе и Джорджу предстоит выбрать один из трех вариантов, которые принесут им следующие суммы денег: Для целей примера предположим, что полезность линейна в деньгах и что деньги не могут передаваться от одной стороны к другой.

	а	б	с
Алиса	60	50	30
Джордж	80	110	150

Они также могут смешивать эти варианты в произвольных долях. Например, они могут выбрать вариант a для доли x времени, вариант b для доли y и вариант c для доли z, так что: $x+y+z=1$. Следовательно, набор $F$ возможных соглашений — это выпуклая оболочка a(60,80), b(50,110) и c(30,150).

Точка несогласия определяется как точка минимальной полезности: это 30 для Алисы и 80 для Джорджа, поэтому d=(30,80).

Как для решений Нэша, так и для решений КС нам необходимо нормализовать полезности агентов, вычитая значения несогласия, поскольку нас интересуют только выгоды, которые игроки могут получить выше этой точки несогласия. Следовательно, нормированные значения составляют:

	а	б	с
Алиса	30	20	0
Джордж	0	30	70

Решение Нэша для переговоров максимизирует произведение нормализованных полезностей:

$\max log(30x+20y)+log(30y+70z)$

Максимум достигается, когда $x=0$ и $y=7/8$ и $z=1/8$ (т. е. вариант b используется в 87,5% случаев, а вариант c — в оставшееся время). Выигрыш от полезности Алисы составляет 17,5 долларов, а Джорджа — 35 долларов.

Переговорное решение KS уравнивает относительные выигрыши — выигрыш каждого игрока относительно его максимально возможного выигрыша — и максимизирует это равное значение:

$\max {30x+20y \over 30}={30y+70z \over 70}$

Здесь максимум достигается, когда $x=0$ и $y=21/26$ и $z=5/26$. Выигрыш от полезности Алисы составляет 16,1 доллара, а Джорджа — 37,7 доллара.

Обратите внимание, что оба решения превосходят по Парето «случайно-диктаторское» решение — решение, которое выбирает диктатора случайным образом и позволяет ему/ей выбрать лучший вариант. Это решение эквивалентно разрешению $x=1/2$ и $y=0$ и $z=1/2$, что дает выигрыш от полезности всего лишь 15 долларов Алисе и 35 долларов Джорджу.

См. также

• Монотонность ресурса