Электронная почтовая игра

В теории игр игра с электронной почтой является примером «почти общеизвестной » игры с неполной информацией . Это иллюстрирует, казалось бы, парадоксальную ситуация, когда сколь угодно близкое приближение к общеизвестным знаниям приводит к совершенно иным стратегическим последствиям, чем совершенное общеизвестное знание. Интуитивно это показывает, что сколь угодно длинные, но конечные цепочки «Я знаю, что ты знаешь, что я знаю, что ты знаешь...» принципиально отличаются от бесконечных.

Впервые его представил Ариэль Рубинштейн в 1989 году.

Игра

Настраивать

Электронная почтовая игра – это координационная игра с неполной информацией. Игроки 1 (она) и 2 (он) могут выбирать между действиями. $A$ и $B$. Есть два государства мира $a$ и $b$, которые происходят с соответствующими вероятностями $1-p$ и $p$, с $p<1/2$. Выигрыши для каждого профиля действий в каждом из этих состояний составляют:

$A$ $B$ $A$ $M$, $M$ $0$, $-L$ $B$ $-L$, $0$ $0$, $0$ Состояние $a$

$A$ $B$ $A$ $0$, $0$ $0$, $-L$ $B$ $-L$, $0$ $M$, $M$ Состояние $b$

где $L>M>0$. Игроки хотели бы координировать свои действия, чтобы играть $A$ в состоянии мира $a$, и играть $B$ в $b$. Если они координируют свои действия в неправильном состоянии, они получают только $0$ расплачиваться; но если они выберут разные действия, игрок, выбравший $B$ получает отрицательный выигрыш $-L$.

Игрок 1 знает истинное состояние природы, а Игрок 2 — нет. Без общения максимальная ожидаемая выгода, которую они могут получить, равна $(1-p)M$, всегда выбирая $A$. Если бы состояние мира было общеизвестным, оба игрока смогли бы получить выигрыш. $M$.

Общение по электронной почте

Теперь предположим, что игроки общаются по электронной почте. Как только Игрок 1 обнаруживает природное состояние, ее компьютер автоматически отправляет электронное письмо Игроку 2, информируя его об истинном состоянии; Затем компьютер игрока 2 автоматически отвечает подтверждением того, что он получил информацию; Затем компьютер игрока 1 автоматически отвечает подтверждением того, что она получила информацию, что он получил информацию и так далее. Это имитирует идею цепочки «Я знаю, что ты знаешь, что я знаю, что ты знаешь…».

Однако существует сколь угодно малая вероятность $\varepsilon >0$ что произойдет какой-то технический сбой и одно из этих писем не дойдет до адресата, после чего связь прекратится. Если это произойдет, последний игрок, отправивший сообщение, не знает, 1) другой игрок не получил последнее сообщение или 2) другой игрок получил последнее сообщение, но не смог отправить электронное письмо с подтверждением из-за технического сбоя. .

Типы и стратегии

Позволять $T_{i}$ количество сообщений, отправленных игроком $i$компьютер — поскольку эту информацию видит только Игрок $i$, мы можем подумать о $T_{i}$ как их тип Харсаньи . С точки зрения выбора игроки только наблюдают $T_{i}\in \{1,2,...,\}$ а затем должен выбрать действие $\{A,B\}$. Таким образом, стратегия в игре по электронной почте определяется как функция от $\mathbb {N} \ni T_{i}$ к $\{A,B\}$.

Распределение типов $(T_{1},T_{2})$ определяется следующими вероятностями $\mathbb {P} (T_{1},T_{2})$:

• $\mathbb {P} (0,0)=1-p$: истинное состояние $a$ и письмо не отправляется
• $\mathbb {P} (n+1,n)=p\varepsilon (1-\varepsilon )^{2n}$: истинное состояние $b$ и сбой происходит на компьютере Игрока 2 после того, как Игрок 1 отправил $n+1$ электронная почта
• $\mathbb {P} (n+1,n+1)=p\varepsilon (1-\varepsilon )^{2n+1}$: истинное состояние $b$ и сбой происходит на компьютере Игрока 1 после того, как Игрок 1 отправил $n+1$ электронная почта

Равновесие

Используемая концепция равновесия — это концепция байесовского равновесия Нэша (BNE). Рубинштейн показал, что, как бы мала ни была вероятность неудачи $\varepsilon$ и независимо от того, сколько писем с подтверждением было отправлено, оба игрока всегда решают играть. $A$, даже если они знают, что естественное состояние $b$.

Предложение: существует только один BNE, где играет Игрок 1. $A$ когда состояние природы $a$. В этом равновесии оба игрока играют $A$, независимо от их типов.

Результат противоречив, поскольку оба знают, что истинное состояние $b$, и они могут иметь сколь угодно точное знание о том, «зная, что другой игрок знает, что они знают, что другой игрок знает...», что состояние $b$. Тем не менее, поскольку эта информационная цепочка в конечном итоге прекращается, их лучшим ответом в равновесии будет всегда играть $A$.