Спорное правило одежды

Правило оспариваемого предмета одежды (CG) , также называется «уступить и разделить» , — это правило разделения для решения проблем конфликтующих требований (также называемых « проблемами банкротства »). Идея состоит в том, что если требование одного истца составляет менее 100% имущества, подлежащего разделу, то он фактически уступает невостребованное имущество другому истцу. Поэтому мы сначала выплачиваем каждому истцу сумму, уступленную ему/ей другим истцом. Оставшаяся сумма затем делится поровну между двумя заявителями.

Правило CG впервые появилось в Мишне , примером которого послужил случай конфликта из-за одежды, отсюда и название. В Мишне это описано только для задач двух людей. Но в 1985 году Роберт Ауманн и Майкл Машлер доказали, что в каждой проблеме банкротства существует уникальное разделение, соответствующее правилу CG для каждой пары истцов. Они называют правило, которое выбирает это уникальное разделение, CG-согласованным правилом (его также называют правилом Талмуда ).

Описание проблемы

Существует делимый ресурс, обозначаемый $E$ (=Имущество или Пожертвование). Есть n людей, претендующих на этот ресурс или его части; их называют истцами . Сумма, истребуемая каждым заявителем i, обозначается $c_{i}$. Обычно, $\sum _{i=1}^{n}c_{i}>E$, то есть имения недостаточно для удовлетворения всех требований. Цель состоит в том, чтобы выделить каждому истцу сумму. $x_{i}$ такой, что $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=E$.

Два истца

В случае двух истцов правило CG работает следующим образом.

• Усеките каждое требование на имущество (поскольку нельзя требовать больше, чем все имущество). То есть установить $c_{i}':=\min(c_{i},E)$ по каждому истцу i .
• Выделить истцу 1 сумму $E-c_{2}'$ то есть сумма, не заявленная 2.
• Выделить истцу 2 сумму $E-c_{1}'$ то есть сумма, не заявленная 1.
• Остаток $E-(E-c_{2}')-(E-c_{1}')=c_{1}'+c_{2}'-E$; разделите его поровну между претендентами.

Суммируя суммы, выплаченные каждому истцу, можно записать следующую формулу:

$CG(c_{1},c_{2};E)=\left({\frac {E+c_{1}'-c_{2}'}{2}}~,~{\frac {E+c_{2}'-c_{1}'}{2}}\right)$

Например:

• Если $E=1$ и $c_{1}=c_{2}=1$, то оба претендента получают по 1/2, т. е. $CG(1,1;1)=(1/2,1/2)$.
• Если $E=1$ и $c_{1}=1$ и $c_{2}=1/2$. тогда истец 1 получает 3/4, а истец 2 — 1/4, т. е. $CG(1,1/2;1)=(3/4,1/4)$.

Эти два примера впервые упоминаются в первой Мишне Бава Меция :

«Двое держат одежду. Один говорит: «Я нашел это», а другой говорит: «Я нашел это»:

• Если один скажет: «все это мое», а другой скажет: «все это мое», то этот должен поклясться, что ему принадлежит не менее половины этого, а этот должен поклясться, что ему принадлежит не менее половины его, и они разделят его между собой.
• Если один скажет: «все мое», а другой скажет: «половина моей», то тот, кто скажет: «все мое», должен поклясться, что ему принадлежит не менее трех четвертей этого; и тот, кто скажет: «половина моей», должен поклясться, что ему принадлежит не менее одной четверти; первый занимает три четверти, а второй — одну четверть».

Многие заявители

Чтобы распространить правило CG на проблемы с тремя и более претендентами, мы применяем общий принцип последовательности ( также называемый согласованностью ), который гласит, что каждая часть справедливого дележа должна быть справедливой. В частности, мы добиваемся распределения, которое соблюдает правило CG для каждой пары претендентов. То есть для каждого заявителя i и j :

$(x_{i},x_{j})=CG(c_{i},c_{j};x_{i}+x_{j})$.

Априори неясно, всегда ли такое распределение существует или оно уникально. Однако можно доказать, что всегда существует уникальное CG-согласованное распределение. Его можно описать следующим алгоритмом:

• Если $\sum _{i=1}^{n}c_{i}>2E$ (то есть общая сумма имущества составляет менее половины общей суммы претензий), затем применить правило ограниченного равного вознаграждения к половине претензий, то есть вернуть $CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)$.
• В противном случае, $\sum _{i=1}^{n}c_{i}\leq 2E$: дать каждому истцу половину его требования, а затем применить правило ограниченных равных убытков , то есть вернуть к остатку $(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))$.

Обратите внимание, что в случае двух заявителей, как только претензии будут усечены до размера не более, чем имущественной массы, условие $\sum _{i=1}^{n}c_{i}\leq 2E$ всегда держит. Например:

• $CG(1,1/2;1)=(1/2,1/4)+CEL(1/2,1/4;1/4)=(1/2,1/4)+(1/4,0)=(3/4,1/4)$.

Вот несколько примеров трех истцов:

• $CG(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)$; здесь используется CEA.
• $CG(100,200,300;200)=(50,75,75)$; здесь используется CEA.
• $CG(100,200,300;300)=(50,100,150)$; здесь можно использовать либо CEA, либо CEL (результат тот же); когда сумма требований составляет ровно половину имущества, каждый истец получает ровно половину своего требования.
• $CG(100,200,300;400)=(50,125,225)$; здесь используется CEL.
• $CG(100,200,300;500)=(66.667,166.667,266.667)$; здесь используется CEL.
• $CG(100,200,300;600)=(100,200,300)$; здесь используется CEL.

Первые три примера встречаются в другой Мишне, в Ктуботе :

«Предположим, умер человек, женатый на трёх женщинах; брачный договор одной жены был на 100 динаров, брачный договор второй жены — на 200 динаров, а брачный договор третьей жены — на 300 динаров, и все три контракта были заключены в один и тот же день, так что ни одна из жен не имеет преимущества перед другими.

• Если общая стоимость имения составляет всего 100 динаров, жены делят имение поровну.
• Если в имении было 200 динаров, то первая жена берет 50 динаров, а две другие жены берут по три динара золота каждая, что соответствует 75 динарам серебра.
• Если бы в имении было 300 динаров, то первая жена возьмет 50 динаров, вторая — 100 динаров, а третья — шесть динаров золотом, что соответствует 150 динарам серебра».

Конструктивное описание

Правило CG можно описать конструктивно. Предположим, E увеличивается от 0 до полусуммы требований: первые единицы делятся поровну, пока каждый истец не получит $\min _{i}(c_{i}/2)$. Тогда истец с наименьшим $c_{i}$ приостанавливается, а следующие доли делятся поровну между оставшимися претендентами до тех пор, пока каждый из них не достигнет следующего наименьшего размера. $c_{i}$. Тогда истец со вторым по величине $c_{i}$ тоже приостановлено. Это продолжается до тех пор, пока либо имущество не будет полностью разделено, либо каждый претендент не получит ровно $c_{i}/2$. Если какое-то имущество остается, то убытки делятся симметрично, начиная с имения, равного сумме всех требований, и уменьшая его до половины этой суммы.

Характеристики

Правило CG самодвойственно . Это означает, что он рассматривает прибыли и убытки симметрично: он делит прибыли так же, как и убытки. Формально: $CG(c,E)=c-CG(c,\sum c-E)$.

Теоретико-игровой анализ

Правило CG может быть получено независимо как ядро ​​некоторой совместной игры, определенной на основе формулы изобретения.

Правило Пинилеса

Цви Менахем Пинилес, еврейский ученый XIX века, предложил другое правило для объяснения случаев в Кетуботе. Его правило аналогично правилу CG, но оно не соответствует правилу CG, когда есть два истца. Правило работает следующим образом:

• Если сумма претензий больше 2 E , то правило CEA применяется к половине претензий, то есть возвращается $CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)$ .
• В противном случае он передает каждому агенту половину своего требования, а затем применяет CEA к остатку, то есть возвращает $(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)$ .

Примеры с двумя заявителями:

• $PINI(60,90;100)=(42.5,57.5)$. Первоначально истцы получают (30,45). Остальные претензии составляют (30,45), а оставшееся имущество равно 25, поэтому оно разделено поровну.
• $PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)$. Первоначально истцы получают (25,50). Остальные претензии составляют (25,50), а оставшееся имущество равно 25, поэтому оно разделено поровну.
• $PINI(50,100;100)=(37.5,62.5)$. Первоначально истцы получают (25,50). Остальные претензии составляют (25,50), а оставшееся имущество равно 25, поэтому оно разделено поровну.

Примеры с тремя заявителями:

• $PINI(100,200,300;100)=(33.333,33.333,33.333)$. Здесь сумма требований более чем в два раза превышает имущество, поэтому результат $CEA(50,100,150;100)=(33.333,33.333,33.333)$.
• $PINI(100,200,300;200)=(50,75,75)$. Опять же, сумма требований более чем в два раза превышает имущество, поэтому результат $CEA(50,100,150;200)=(50,75,75)$.
• $PINI(100,200,300;300)=(50,100,150)$. Опять же, сумма требований более чем в два раза превышает имущество, поэтому результат $CEA(50,100,150;300)=(50,100,150)$.

Дальнейшее чтение

• Стивен Ландсбург , Пусть раввин разделит пирог: мудрость Талмуда применима к банкротству