Общие ковариантные преобразования

В физике . общековариантные преобразования — это симметрии теории гравитации на мировом многообразии $X$ . Это калибровочные преобразования , функции параметров которых являются векторными полями на $X$ . С физической точки зрения общие ковариантные преобразования рассматриваются как частные ( голономные ) преобразования системы отсчета в общей теории относительности . В математике общие ковариантные преобразования определяются как частные автоморфизмы так называемых натуральных расслоений .

Математическое определение

Позволять $\pi :Y\to X$ быть расслоенным многообразием с локальными расслоенными координатами $(x^{\lambda },y^{i})\,$ . Любой автоморфизм $Y$ проектируется на диффеоморфизм своей базы $X$ . Однако обратное неверно. Диффеоморфизм $X$ не обязательно приводит к автоморфизму $Y$ .

В частности, инфинитезимальный генератор однопараметрической группы Ли автоморфизмов $Y$ представляет собой проектируемое векторное поле

u=u^{\lambda }(x^{\mu })\partial _{\lambda }+u^{i}(x^{\mu },y^{j})\partial _{i}

на $Y$ . Это векторное поле проецируется на векторное поле $\tau =u^{\lambda }\partial _{\lambda }$ на $X$ , поток которой представляет собой однопараметрическую группу диффеоморфизмов $X$ . И наоборот, пусть $\tau =\tau ^{\lambda }\partial _{\lambda }$ быть векторным полем на $X$ . Возникает задача построения его лифта до проектируемого векторного поля на $Y$ проецируется на $\tau$ . Такой лифт всегда существует, но он не обязательно должен быть каноническим. Учитывая связь $\Gamma$ на $Y$ , каждое векторное поле $\tau$ на $X$ порождает горизонтальное векторное поле

\Gamma \tau =\tau ^{\lambda }(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i})

на $Y$ . Этот горизонтальный подъемник $\tau \to \Gamma \tau$ дает мономорфизм $C^{\infty }(X)$ -модуль векторных полей на $X$ к $C^{\infty }(Y)$ -модуль векторных полей на $Y$ , но этот мономорфизм не является морфизмом алгебры Ли, если только $\Gamma$ плоский.

Однако существует категория упомянутых выше натуральных расслоений. $T\to X$ допускающие функториальный лифт ${\widetilde {\tau }}$ на $T$ любого векторного поля $\tau$ на $X$ такой, что $\tau \to {\widetilde {\tau }}$ является мономорфизмом алгебры Ли

[{\widetilde {\tau }},{\widetilde {\tau }}']={\widetilde {[\tau ,\tau ']}}.

Этот функториальный лифт ${\widetilde {\tau }}$ является бесконечно малым общековариантным преобразованием $T$ .

В общей ситуации рассматривается мономорфизм $f\to {\widetilde {f}}$ группы диффеоморфизмов $X$ к группе автоморфизмов расслоения естественного расслоения $T\to X$ . Автоморфизмы ${\widetilde {f}}$ называются общековариантными преобразованиями $T$ . Например, никакой вертикальный автоморфизм $T$ является общековариантным преобразованием.

Примерами натуральных расслоений являются тензорные расслоения . Например, касательное расслоение $TX$ из $X$ является естественным расслоением. Каждый диффеоморфизм $f$ из $X$ приводит к касательному автоморфизму ${\widetilde {f}}=Tf$ из $TX$ что представляет собой общековариантное преобразование $TX$ . По голономным координатам $(x^{\lambda },{\dot {x}}^{\lambda })$ на $TX$ , это преобразование гласит

{\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu }.

Комплект рамок $FX$ линейных касательных систем отсчета в $TX$ также является естественным расслоением. Общековариантные преобразования составляют подгруппу голономных автоморфизмов $FX$ . Все расслоения, связанные с расслоением фреймов, являются естественными. Однако существуют естественные расслоения, не связанные с $FX$ .

См. также

Ссылки

Коларж И., Михор П., Словак Й. Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
Сарданашвили Г. Расширенная дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа, Lambert Academic Publishing: Саарбрюккен, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886
Сондерс, ди-джей (1989), Геометрия реактивных пучков , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7