Введение в систолическую геометрию

Эта статья представляет собой нетехническое введение в предмет. Основную статью энциклопедии см. в разделе Систолическая геометрия .

Систолическая геометрия — это раздел дифференциальной геометрии , область математики, изучающая такие проблемы, как взаимосвязь между внутри замкнутой кривой C и длиной или периметром C. площадью Поскольку площадь A может быть маленькой, а длина l велика, когда C выглядит вытянутым, соотношение может принять только форму неравенства . Более того, такое неравенство было бы верхней границей для A : нет интересной нижней границы только с точки зрения длины.

Михаил Громов однажды высказал мнение, что изопериметрическое неравенство было известно еще древним грекам. Мифологическая сказка о Дидоне, царице Карфагена, показывает, что проблемы создания максимальной площади для заданного периметра ставились естественным образом, в прошлые эпохи.

Связь между длиной и площадью тесно связана с физическим явлением, известным как поверхностное натяжение , которое придает видимую форму сравнимому соотношению между площадью поверхности и объемом . Знакомые формы капель воды выражают минимум площади поверхности.

Комната с колонной не просто соединена

Цель этой статьи — объяснить еще одно такое соотношение между длиной и площадью. Пространство называется односвязным , если каждую петлю в нем можно непрерывно стянуть в точку. Например, комната с колонной посередине, соединяющей пол с потолком, не является просто соединенной. В геометрии систола , которое не — это расстояние, характерное для компактного метрического пространства является односвязным. Это длина кратчайшего цикла в пространстве, который нельзя сжать до точки пространства. В примере с комнатой, при отсутствии других особенностей, систола будет равна окружности колонны. Систолическая геометрия дает нижние оценки различных атрибутов пространства с точки зрения его систолы.

Известно, что метрика Фубини–Студи является естественной метрикой для геометризации квантовой механики. В интригующей связи с глобальными геометрическими явлениями оказывается, что метрику Фубини-Студи можно охарактеризовать как граничный случай равенства в неравенстве Громова для комплексного проективного пространства , включающий величину площади , называемую 2-систолой, что указывает на возможную связь к квантовомеханическим явлениям.

Далее эти систолические неравенства будут сравниваться с классическими изопериметрическими неравенствами, которые, в свою очередь, могут быть мотивированы физическими явлениями, наблюдаемыми в поведении капли воды.

Поверхностное натяжение и форма капли воды.

Капли воды на листе

Пожалуй, наиболее знакомым физическим проявлением трехмерного изопериметрического неравенства является форма капли воды. А именно, капля обычно принимает симметричную круглую форму. Поскольку количество воды в капле фиксировано, поверхностное натяжение заставляет каплю принимать форму, которая минимизирует площадь поверхности капли, а именно круглую сферу. Таким образом, круглая форма капли является следствием явления поверхностного натяжения. Математически это явление выражается изопериметрическим неравенством.

Изопериметрическое неравенство на плоскости

Решение изопериметрической задачи на плоскости обычно выражают в виде неравенства, связывающего длину $L$ замкнутой кривой и площади $A$ планарной области, которую он охватывает. Изопериметрическое неравенство утверждает, что

$4\pi A\leq L^{2},\,$

и что равенство выполняется тогда и только тогда, когда кривая представляет собой круглый круг. Неравенство представляет собой верхнюю границу площади по длине.

Центральная симметрия

Напомним понятие центральной симметрии: евклидов многогранник называется центрально-симметричным, если он инвариантен относительно антиподального отображения.

$x\mapsto -x.\,$

Таким образом, в плоскости центральной симметрией является поворот на 180 градусов. Например, эллипс центрально симметричен, как и любой эллипсоид в трехмерном пространстве.

Свойство центрально-симметричного многогранника в трехмерном пространстве

Существует геометрическое неравенство, в некотором смысле двойственное изопериметрическому неравенству в следующем смысле. Оба включают длину и площадь. Изопериметрическое неравенство является верхней границей площади через длину. Существует геометрическое неравенство, которое дает верхнюю границу определенной длины в терминах площади. Более точно это можно описать следующим образом.

Любое центрально-симметричное выпуклое тело с площадью поверхности $A$ можно протиснуть через петлю длиной ${\sqrt {\pi A}}$, с наибольшей плотностью прилегания, достигаемой сферой. Это свойство эквивалентно частному случаю неравенства Пу , одного из самых ранних систолических неравенств.

Например, эллипсоид является примером выпуклого центрально-симметричного тела в трехмерном пространстве. Читателю может быть полезно развить интуицию в отношении упомянутого выше свойства в контексте размышлений об эллипсоидальных примерах.

Альтернативная формулировка заключается в следующем. Всякое выпуклое центрально-симметричное тело $P$ в ${\mathbb {R} }^{3}$ допускает пару противоположных (антиподальных) точек и путь длины $L$ присоединяюсь к ним и лежу на границе $\partial P$ из $P$, удовлетворяя

$L^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\mathrm {area} (\partial P).$

Понятие о систоле

Кратчайшая петля на торе

Систола пространства компактного метрического $X$ это метрикаинвариант $X$, определяемый как наименьшая длинанесжимаемая петля в $X$. Обозначим его следующим образом:

$\mathrm {sys} (X).\,$

Обратите внимание, что петля, минимизирующая длину, обязательно является замкнутой геодезической . Когда $X$ Это граф , инвариант обычно называют обхватом , начиная со статьи Уильяма Татта в 1947 году . Возможно, вдохновленный статьей Тутте, Чарльз Левнер начал думать о систолических вопросах на поверхностях в конце 1940-х годов, что привело к написанию в 1950 году диссертации его студента П. М. Пу. Сам термин «систола» был придуман лишь четверть века спустя Марселем Бергером .

Дальнейший толчок этому направлению исследований, по-видимому, дало замечание Рене Тома в беседе с Бергером в библиотеке Страсбургского университета в 1961/62 учебном году, вскоре после публикации статей Р. Акколы и К. Блаттер. Говоря об этом систолическом неравенстве, Том, как сообщается, воскликнул: «Mais c'estfoundal!» [Эти результаты имеют фундаментальное значение!]

Впоследствии Бергер популяризировал эту тему в серии статей и книг, последняя из которых — в мартовском выпуске « Извещений Американского математического общества» за 2008 год . Библиография на сайте по систолической геометрии и топологии в настоящее время содержит более 170 статей. Систолическая геометрия — быстро развивающаяся область, имеющая ряд недавних публикаций в ведущих журналах. Недавно появилась интригующая связь с категорией Люстерника–Шнирельмана . Существование такой связи можно рассматривать как теорему систолической топологии .

Настоящая проективная плоскость

Анимация римской поверхности, представляющая RP. ² в Р ³

В проективной геометрии реальная проективная плоскость $\mathbb {RP} ^{2}$ определяется как совокупность линий, проходящих через начало координат в $\mathbb {R} ^{3}$. Функция расстояния включена $\mathbb {RP} ^{2}$ с этой точки зрения легче всего понять. А именно, расстояние между двумя линиями через начало координат по определению является углом между ними (измеряется в радианах), или, точнее, меньшим из двух углов. Эта функция расстояния соответствует метрике постоянной гауссовой кривизны +1.

Альтернативно, $\mathbb {RP} ^{2}$ может быть определена как поверхность, полученная путем идентификации каждой пары противоположных точек на 2-сфере.

Другие показатели на $\mathbb {RP} ^{2}$ можно получить факторизацией метрик по $S^{2}$ вложено в трехмерное пространство центрально-симметричным образом.

Топологически $\mathbb {RP} ^{2}$ можно получить из ленты Мёбиуса, приклеив по границе диск.

Среди замкнутых поверхностей действительная проективная плоскость является простейшей неориентируемой такой поверхностью.

Неравенство Пу

Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости применимо к общим римановым метрикам на $\mathbb {RP} ^{2}$.

Ученик Чарльза Лоунера Пао Мин Пу доказал в диссертации 1950 года (опубликованной в 1952 году), что каждая метрика $g$ на реальной проективной плоскости $\mathbb {RP} ^{2}$ удовлетворяет оптимальному неравенству

$\mathrm {sys} (g)^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\mathrm {area} (g),$

где $\mathrm {sys}$ это систола. Граничный случай равенства достигается именно тогда, когда метрика имеет постоянную гауссову кривизну. Альтернативно неравенство можно представить следующим образом:

$\mathrm {area} (g)-{\frac {2}{\pi }}\mathrm {sys} (g)^{2}\geq 0.$

принадлежит обширное обобщение неравенства Пу Михаилу Громову , называемое систолическим неравенством Громова для существенных многообразий . Чтобы сформулировать его результат, требуется топологическое понятие существенного многообразия .

Неравенство тора Лёвнера

Кратчайшая петля на торе

Подобно неравенству Пу, неравенство тора Левнера соотноситобщая площадь с точностью до систолы, т. е. наименьшая длина несжимаемойпетля на торе $(T^{2},g)$:

$\mathrm {area} (g)-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} (g)^{2}\geq 0.$

Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика равнагомотетична плоской метрике, полученной как частное ${\mathbb {R} }^{2}$ решеткой, образованной Целые числа Эйзенштейна .

Неравенство Боннесена

Классическое неравенство Боннесена представляет собой усиленноеизопериметрическое неравенство

$L^{2}-4\pi A\geq \pi ^{2}(R-r)^{2}.\,$

Здесь $A$ - площадь области, ограниченной замкнутой жордановой кривой длиной (периметр) $L$ в самолете, $R$ - радиус описанной ограниченной области, а $r$ это его радиус. Термин ошибки $\pi ^{2}(R-r)^{2}$ в правой части традиционно называют изопериметрическим дефектом . Существует аналогичное усиление неравенства Лёвнера.

Неравенство Лёвнера с дефектным членом

Объяснение усиленной версии неравенства Левнера несколько более техническое, чем остальная часть этой статьи. Кажется, стоит включить его сюда для полноты картины. Усиленная версия — это неравенство

$\mathrm {area} (g)-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {sys} (g)^{2}\geq \mathrm {Var} (f),$

где Var — вероятностная дисперсия , а f — конформный фактор, выражающий метрику g через плоскую метрику единичной площади в конформном классе g . Доказательство является результатом сочетания формулы расчета дисперсии и теоремы Фубини (см. Горовиц и др. , 2009).

См. также

• Систолы поверхностей
• Субриманова геометрия

Ссылки

• Бангерт, В .; Крок, К.; Иванов С.; Кац, М. (2005). «Гипотеза о площади заполнения и безовальные реальные гиперэллиптические поверхности». Геометрический и функциональный анализ . 15 (3): 577–597. arXiv : math/0405583 . CiteSeerX   10.1.1.240.2242 . дои : 10.1007/s00039-005-0517-8 . S2CID   17100812 .
• Бергер, Марсель (1992–1993). «Систолы и аппликации по Громову» (PDF) . Семинар Бурбаки . 35 : 279–310.
• Бергер, М. (2003). Панорамный взгляд на риманову геометрию . Спрингер. ISBN  978-3-642-18245-7 .
• Бергер, М. (2008). «Что такое… систола?» (PDF) . Уведомления АМС . 55 (3): 374–6.
• Бузер, П.; Сарнак, П. (1994). «О матрице периодов римановой поверхности большого рода. С приложением Дж. Х. Конвея и Н. Дж. А. Слоана». Изобретать. Математика . 117 (1): 27–56. Бибкод : 1994InMat.117...27B . дои : 10.1007/BF01232233 . S2CID   116904696 .
• Громов, М. (1983). «Заполнение римановых многообразий». Дж. Диф. Геом . 18 : 1–147. CiteSeerX   10.1.1.400.9154 . дои : 10.4310/jdg/1214509283 .
• Громов, М. (1996). «Систолы и межсистолические неравенства». Материалы круглого стола по дифференциальной геометрии (Luminy, 1992) . Семин. Конг. Полет. 1. Соц. Математика. Франция. стр. 291–362. CiteSeerX   10.1.1.539.1365 .
• Горовиц, Чарльз; Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2009). «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом». Журнал геометрического анализа . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . CiteSeerX   10.1.1.314.5106 . дои : 10.1007/s12220-009-9090-y . S2CID   18444111 .
• Кац, М.; Семмес, С.; Громов, М. (2007) [2001]. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Прогресс в математике. Том. 152. Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-4583-0 .
• Кац, М. (1983). «Радиус заполнения двухточечных однородных пространств» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (3): 505–511. дои : 10.4310/jdg/1214437785 .
• Кац, М. (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Том. 137. Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4177-8 .
• Кац, М.; Рудяк, Ю. (2006). «Систолическая категория и категория Люстерника – Шнирельмана маломерных многообразий». Сообщения по чистой и прикладной математике . 59 : 1433–56. arXiv : math/0410456 . CiteSeerX   10.1.1.236.3757 . дои : 10.1002/cpa.20146 . S2CID   15470409 .
• Кац, М.; Сабурау, С. (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Следовательно. Т.е. Динам. Сис . 25 (4): 1209–20. arXiv : math/0410312 . CiteSeerX   10.1.1.236.5949 . дои : 10.1017/S0143385704001014 . S2CID   11631690 .
• Кац, М.; Шапс, М.; Вишне, У. (2007). «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль конгруэнтных подгрупп». Дж. Дифференциальная геометрия . 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 . CiteSeerX   10.1.1.240.5600 . дои : 10.4310/jdg/1180135693 . S2CID   18152345 .
• Пу, ПМ (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях» (PDF) . Пасифик Дж. Математика . 2 : 55–71. дои : 10.2140/pjm.1952.2.55 .

Внешние ссылки

• Ванер, Стефан (май 2014 г.). «Введение в дифференциальную геометрию и общую теорию относительности» (PDF) . Конспекты лекций . Кафедры математики и физики Университета Хофстра.