Неравенство Пу

Анимация римской поверхности, представляющая RP. ² в Р ³

В дифференциальной геометрии неравенство Пу , доказанное Пао Мином Пу , связывает площадь произвольной римановой поверхности , гомеоморфной, с вещественной проективной плоскостью с длинами содержащихся в ней замкнутых кривых.

Заявление

Ученик Чарльза Левнера , Пу доказал в своей диссертации 1950 года ( Pu 1952 ), что каждая риманова поверхность $M$ гомеоморфной вещественной проективной плоскости, удовлетворяет неравенству

$\operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}\operatorname {Systole} (M)^{2},$

где $\operatorname {Systole} (M)$ это систола ​ $M$. Равенство достигается именно тогда, когда метрика имеет постоянную гауссову кривизну .

Другими словами, если все нестягиваемые петли в $M$ иметь длину как минимум $L$, затем $\operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}L^{2},$ и равенство имеет место тогда и только тогда, когда $M$ получается из евклидовой сферы радиуса $r=L/\pi$ путем отождествления каждой точки с ее антиподом.

В статье Пу также впервые сформулировано неравенство Левнера , аналогичный результат для римановых метрик на торе .

Доказательство

Первоначальное доказательство Пу опирается на теорему об униформизации и использует аргумент усреднения следующим образом.

В результате униформизации риманова поверхность $(M,g)$ круглой конформно диффеоморфна проективной плоскости. Это означает, что мы можем предположить, что поверхность $M$ получается из евклидовой единичной сферы $S^{2}$ путем определения противоположных точек и элемента римановой длины в каждой точке $x$ является

$\mathrm {dLength} =f(x)\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}},$

где $\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}$ – элемент евклидовой длины и функция $f:S^{2}\to (0,+\infty )$, называемый конформным фактором , удовлетворяет $f(-x)=f(x)$.

Точнее, универсальный чехол $M$ является $S^{2}$, петля $\gamma \subseteq M$ является несжимаемым тогда и только тогда, когда его подъем ${\widetilde {\gamma }}\subseteq S^{2}$ идет от одной точки к противоположной, а длина каждой кривой $\gamma$ является

$\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{\widetilde {\gamma }}f\,\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}.$

С учетом ограничения, что каждая из этих длин не менее $L$, мы хотим найти $f$ что сводит к минимуму

$\operatorname {Area} (M,g)=\int _{S_{+}^{2}}f(x)^{2}\,\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x),$

где $S_{+}^{2}$ это верхняя половина сферы.

Ключевое наблюдение заключается в том, что если мы усредним несколько разных $f_{i}$ которые удовлетворяют ограничению длины и имеют одинаковую площадь $A$, то мы получим лучший конформный фактор $f_{\text{new}}={\frac {1}{n}}\sum _{0\leq i<n}f_{i}$, который также удовлетворяет ограничению длины и имеет

$\operatorname {Area} (M,g_{\text{new}})=\int _{S_{+}^{2}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}f_{i}(x)\right)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)$

$\qquad \qquad \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\int _{S_{+}^{2}}f_{i}(x)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)\right)=A,$

и неравенство является строгим, если только функции $f_{i}$ равны.

Способ улучшить любой непостоянный $f$ состоит в том, чтобы получить различные функции $f_{i}$ от $f$ используя вращения сферы $R_{i}\in SO^{3}$, определяя $f_{i}(x)=f(R_{i}(x))$. Если мы усредним по всем возможным вращениям , то получим $f_{\text{new}}$ оно постоянно во всей сфере. Мы можем дополнительно уменьшить эту константу до минимального значения. $r={\frac {L}{\pi }}$ разрешено ограничением длины. Тогда мы получаем уникальную метрику, которая достигает минимальной площади $2\pi r^{2}={\frac {2}{\pi }}L^{2}$.

Реформулировка

Альтернативно, каждая метрика на сфере $S^{2}$ инвариант относительно антиподального отображения допускает пару противоположных точек $p,q\in S^{2}$ на римановом расстоянии $d=d(p,q)$ удовлетворяющий $d^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\operatorname {area} (S^{2}).$

Более подробное объяснение этой точки зрения можно найти на странице « Введение в систолическую геометрию» .

Гипотеза о заполнении области

Альтернативная формулировка неравенства Пу следующая. Из всех возможных заполнений риманова окружности длины $2\pi$ по $2$ круглое полушарие -мерный диск с сильно изометричным свойством, наименьшую площадь имеет .

Чтобы объяснить эту формулировку, мы начнем с наблюдения, что экваториальный круг единицы $2$-сфера $S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ представляет собой риманов круг $S^{1}$ длины $2\pi$. Точнее, функция риманова расстояния из $S^{1}$ индуцируется окружающим римановым расстоянием на сфере. Заметим, что этому свойству не удовлетворяет стандартное вложение единичной окружности в евклидову плоскость. Действительно, евклидово расстояние между парой противоположных точек окружности равно только $2$, тогда как в римановом круге это $\pi$.

Рассматриваем все наполнения $S^{1}$ по $2$-мерный диск, такой, что метрика, индуцированная включением окружности в качестве границы диска, является римановой метрика окружности длины $2\pi$. Включение окружности в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности.

Громов предположил , что круглое полушарие дает «лучший» способ заполнения круга, даже если заполняющая поверхность имеет положительный род ( Громов 1983 ).

Изопериметрическое неравенство

Неравенство Пу имеет любопытное сходство с классическим изопериметрическим неравенством.

$L^{2}\geq 4\pi A$

для жордановых кривых на плоскости, где $L$ длина кривой, в то время как $A$ - это площадь региона, который он ограничивает. А именно, в обоих случаях двумерная величина (площадь) ограничена (квадратом) одномерной величины (длина). Однако неравенство идет в противоположном направлении. Таким образом, неравенство Пу можно рассматривать как «противоположное» изопериметрическое неравенство.

См. также

• Гипотеза о заполнении области
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий.
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Неравенство тора Лёвнера
• Систолическая геометрия
• Систолы поверхностей

Ссылки

• Громов, Михаил (1983). «Заполнение римановых многообразий» . Дж. Дифференциальная геометрия. 18 (1): 1–147. дои : 10.4310/jdg/1214509283 . МР   0697984 .
• Громов, Михаил (1996). «Систолы и межсистолические неравенства». В Бессе, Артур Л. (ред.). круглого стола по дифференциальной геометрии (Luminy, 1992 ) Материалы . Семинары и конгрессы. Полет. 1. Париж: Сок. Математика. Франция. стр. 291–362. ISBN  2-85629-047-7 . МР   1427752 .
• Громов, Миша (1999) [1981]. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Прогресс в математике. Том. 152. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Бостон, Массачусетс: ISBN Birkhäuser Boston, Inc.  0-8176-3898-9 . МР   1699320 .
• Кац, Михаил Георгиевич (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Том. 137. С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/surv/137 . ISBN  978-0-8218-4177-8 . МР   2292367 . S2CID   118039315 .
• Пу, Пао Мин (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях» . Пасифик Дж. Математика. 2 (1): 55–71. дои : 10.2140/pjm.1952.2.55 . МР   0048886 .