Основной коллектор

В геометрии существенное многообразие — это особый тип замкнутого многообразия. Впервые это понятие было открыто предложено Михаилом Громовым .

Определение

Замкнутое многообразие M называется существенным, если его фундаментальный класс [ M ] определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы π или, точнее, в гомологиях соответствующего пространства Эйленберга–Маклейна K ( π , 1) посредством естественного гомоморфизм

$H_{n}(M)\to H_{n}(K(\pi ,1)),$

где n размерность M. — Здесь фундаментальный класс берется в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и в коэффициентах по модулю 2 в противном случае.

Примеры

• Все замкнутые поверхности (т.е. двумерные многообразия) существенны, за исключением двумерной сферы S. ² .
• Реальное проективное пространство РП ^н существенно, поскольку включение

  $\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty }$

инъективен по гомологии, где

$\mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)$

— пространство Эйленберга–Маклейна конечной циклической группы порядка 2.

• Все компактные асферические многообразия существенны (поскольку асферичность означает, что само многообразие уже является K ( π , 1))
  • В частности, все компактные гиперболические многообразия . существенны
• Все пространство для линз имеет важное значение.

Свойства

• Связная сумма существенных многообразий существенна.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное многообразие, само по себе существенно.

См. также

• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий.
• Систолическая геометрия