Неравенство тора Лёвнера

В дифференциальной геометрии неравенство тора Лёвнера — это неравенство, предложенное Чарльзом Лёвнером . Он связывает систолу и площадь произвольной римановой метрики на 2-торе .

Заявление

Кратчайшая петля на торе

В 1949 году Чарльз Левнер доказал, что каждая метрика на 2- торе $\mathbb {T} ^{2}$ удовлетворяет оптимальному неравенству

$\operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),$

где «sys» — его систола , т.е. наименьшая длина несжимаемой петли. Константа, появляющаяся в правой части, является постоянной Эрмита. $\gamma _{2}$ в размерности 2, так что неравенство тора Лёвнера можно переписать как

$\operatorname {sys} ^{2}\leq \gamma _{2}\;\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}).$

Впервые неравенство было упомянуто в литературе Пу (1952) .

Случай равенства

Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемому равностороннему тору , т. е. тору, группа преобразований колоды которого представляет собой в точности шестиугольную решетку, натянутую кубическими корнями из единицы в $\mathbb {C}$.

Альтернативная формулировка

Учитывая двоякопериодическую метрику на $\mathbb {R} ^{2}$ (например, вложение в $\mathbb {R} ^{3}$ который инвариантен относительно $\mathbb {Z} ^{2}$ изометрическое действие), имеется ненулевой элемент $g\in \mathbb {Z} ^{2}$ и точка $p\in \mathbb {R} ^{2}$ такой, что ${\textstyle \operatorname {dist} (p,g.p)^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (F)}$, где $F$ является фундаментальной областью действия, в то время как $\operatorname {dist}$ - риманово расстояние, а именно наименьшая длина пути, соединяющего $p$ и $g.p$.

Доказательство неравенства тора Лёвнера.

Неравенство тора Левнера проще всего доказать, используя вычислительную формулу для дисперсии:

$\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\mathrm {var} (X).$

А именно, формула применяется к вероятностной мере, определяемой мерой единицы площади плоского тора в конформном классе данного тора. В качестве случайной величины X берется конформный множитель данной метрики относительно плоской. Тогда ожидаемое значение E( X  ² ) из X  ² выражает общую площадь данной метрики. Между тем, ожидаемое значение E( X ) X можно связать с систолой, используя теорему Фубини . Тогда дисперсию X можно рассматривать как изосистолический дефект, аналогичный изопериметрическому дефекту неравенства Боннесена . Таким образом, этот подход дает следующую версию неравенства тора Левнера с изосистолическим дефектом:

$\mathrm {area} -{\frac {\sqrt {3}}{2}}(\mathrm {sys} )^{2}\geq \mathrm {var} (f),$

где ƒ — конформный коэффициент метрики по отношению к плоской метрике единицы площади в ее конформном классе.

Высший род

Независимо от того, неравенство

$(\mathrm {sys} )^{2}\leq \gamma _{2}\,\mathrm {area}$

удовлетворяется всеми поверхностями неположительной эйлеровой характеристики , неизвестно. Для ориентируемых поверхностей рода 2, рода 20 и выше ответ утвердительный, см. работу Каца и Сабуро ниже.

См. также

• Неравенство Пу для реальной проективной плоскости
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий.
• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Целое число Эйзенштейна (пример шестиугольной решетки)
• Систолы поверхностей

Ссылки

• Горовиц, Чарльз; Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2009). «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом». Журнал геометрического анализа . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . дои : 10.1007/s12220-009-9090-y . МР   2538936 . S2CID   18444111 .
• Кац, Михаил Георгиевич (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Том. 137. С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/surv/137 . ISBN  978-0-8218-4177-8 . МР   2292367 .
• Кац, Михаил Георгиевич; Сабуро, Стефан (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Эргодическая теория Динам. Системы . 25 (4): 1209–1220. arXiv : math.DG/0410312 . дои : 10.1017/S0143385704001014 . МР   2158402 . S2CID   11631690 .
• Кац, Михаил Георгиевич; Сабуро, Стефан (2006). «Гиперэллиптические поверхности Левнера». Учеб. амер. Математика. Соц. 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG/0407009 . дои : 10.1090/S0002-9939-05-08057-3 . МР   2196056 . S2CID   15437153 .
• Пу, Пао Мин (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях» . Пасифик Дж. Математика. 2 (1): 55–71. дои : 10.2140/pjm.1952.2.55 . МР   0048886 .