Паутина (дифференциальная геометрия)

В математике сеть уравнении Гамильтона - допускает внутреннюю характеристику в терминах римановой геометрии аддитивного разделения переменных в Якоби . ^[1]^[2]

Формальное определение [ править ]

Ортогональная ткань — это на римановом многообразии (M,g) множество ${\mathcal {S}}=({\mathcal {S}}^{1},\dots ,{\mathcal {S}}^{n})$ n , попарно трансверсальных и слоений связных подмногообразий коразмерности 1 где n обозначает размерность M . ортогональных

Заметим, что два подмногообразия коразмерности 1 ортогональны, если их нормальные векторы ортогональны и в неопределенной метрике ортогональность не влечет трансверсальности.

Альтернативное определение [ править ]

Для гладкого многообразия размерности n ортогональная ткань или (также называемая ортогональной сеткой сеткой Риччи ) на римановом многообразии (M,g) представляет собой множество ^[3] ${\mathcal {C}}=({\mathcal {C}}^{1},\dots ,{\mathcal {C}}^{n})$ n попарно трансверсальных ортогональных и слоений связных подмногообразий размерности 1 .

Примечание [ править ]

Поскольку векторные поля можно визуализировать как линии тока стационарного потока или как силовые линии Фарадея, неисчезающее векторное поле в пространстве порождает заполняющую пространство систему линий, проходящих через каждую точку, известную математикам как конгруэнция ( т. е. локальное слоение ). n Видение Риччи наполнило - мерное многообразие Римана n конгруэнциями, ортогональными друг другу, то есть локальной ортогональной сеткой .

Дифференциальная геометрия тканей [ править ]

Систематическое изучение сетей было начато Бляшке в 1930-х годах. Он распространил тот же теоретико-групповой подход на веб-геометрию.

Классическое определение [ править ]

Позволять $M=X^{nr}$ быть дифференцируемым многообразием размерности N=nr . Ad - ткань множестве n,r) коразмерности r W(d , в открытом $D\subset X^{nr}$ есть набор d слоений коразмерности r , находящихся в общем положении.

В обозначениях W(d,n,r) число d — это количество слоений, образующих ткань, r — коразмерность ткани, а n — отношение размерности nr многообразия M и коразмерности ткани. Конечно, можно определить d - ткань коразмерности r, не имея r в качестве делителя размерности объемлющего многообразия.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ С. Бененти (1997). «Внутренняя характеристика разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби». Дж. Математика. Физ . 38 (12): 6578–6602. Бибкод : 1997JMP....38.6578B . дои : 10.1063/1.532226 .
^ Чану, Клаудия; Растелли, Джованни (2007). «Собственные значения тензоров Киллинга и разделимых тканей на римановых и псевдоримановых многообразиях». СИГМА . 3 :021, 21 страница. arXiv : nlin/0612042 . Бибкод : 2007SIGMA...3..021C . дои : 10.3842/sigma.2007.021 . S2CID 3100911 .
^ Г. Риччи-Курбастро (1896). «Системы ортогональных сравнений в любом многообразии». Мем. Линчеи . 2 (5): 276–322.

Ссылки [ править ]

Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 .
Диллен, FJE; Верстрален, LCA (2000). Справочник по дифференциальной геометрии . Том. 1. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-82240-2 .

Эта дифференциальной геометрией статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] С. Бененти (1997). «Внутренняя характеристика разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби». Дж. Математика. Физ . 38 (12): 6578–6602. Бибкод : 1997JMP....38.6578B . дои : 10.1063/1.532226 .

[2] Чану, Клаудия; Растелли, Джованни (2007). «Собственные значения тензоров Киллинга и разделимых тканей на римановых и псевдоримановых многообразиях». СИГМА . 3 :021, 21 страница. arXiv : nlin/0612042 . Бибкод : 2007SIGMA...3..021C . дои : 10.3842/sigma.2007.021 . S2CID 3100911 .

[3] Г. Риччи-Курбастро (1896). «Системы ортогональных сравнений в любом многообразии». Мем. Линчеи . 2 (5): 276–322.

[1]

[2]

[3]