Паутина (дифференциальная геометрия)
В математике сеть уравнении Гамильтона - допускает внутреннюю характеристику в терминах римановой геометрии аддитивного разделения переменных в Якоби . [1] [2]
Формальное определение [ править ]
Ортогональная ткань — это на римановом многообразии (M,g) множество n , попарно трансверсальных и слоений связных подмногообразий коразмерности 1 где n обозначает размерность M . ортогональных
Заметим, что два подмногообразия коразмерности 1 ортогональны, если их нормальные векторы ортогональны и в неопределенной метрике ортогональность не влечет трансверсальности.
Альтернативное определение [ править ]
Для гладкого многообразия размерности n ортогональная ткань или (также называемая ортогональной сеткой сеткой Риччи ) на римановом многообразии (M,g) представляет собой множество [3] n попарно трансверсальных ортогональных и слоений связных подмногообразий размерности 1 .
Примечание [ править ]
Поскольку векторные поля можно визуализировать как линии тока стационарного потока или как силовые линии Фарадея, неисчезающее векторное поле в пространстве порождает заполняющую пространство систему линий, проходящих через каждую точку, известную математикам как конгруэнция ( т. е. локальное слоение ). n Видение Риччи наполнило - мерное многообразие Римана n конгруэнциями, ортогональными друг другу, то есть локальной ортогональной сеткой .
Дифференциальная геометрия тканей [ править ]
Систематическое изучение сетей было начато Бляшке в 1930-х годах. Он распространил тот же теоретико-групповой подход на веб-геометрию.
Классическое определение [ править ]
Позволять быть дифференцируемым многообразием размерности N=nr . Ad - ткань множестве n,r) коразмерности r W(d , в открытом есть набор d слоений коразмерности r , находящихся в общем положении.
В обозначениях W(d,n,r) число d — это количество слоений, образующих ткань, r — коразмерность ткани, а n — отношение размерности nr многообразия M и коразмерности ткани. Конечно, можно определить d - ткань коразмерности r, не имея r в качестве делителя размерности объемлющего многообразия.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ С. Бененти (1997). «Внутренняя характеристика разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби». Дж. Математика. Физ . 38 (12): 6578–6602. Бибкод : 1997JMP....38.6578B . дои : 10.1063/1.532226 .
- ^ Чану, Клаудия; Растелли, Джованни (2007). «Собственные значения тензоров Киллинга и разделимых тканей на римановых и псевдоримановых многообразиях». СИГМА . 3 :021, 21 страница. arXiv : nlin/0612042 . Бибкод : 2007SIGMA...3..021C . дои : 10.3842/sigma.2007.021 . S2CID 3100911 .
- ^ Г. Риччи-Курбастро (1896). «Системы ортогональных сравнений в любом многообразии». Мем. Линчеи . 2 (5): 276–322.
Ссылки [ править ]
- Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 .
- Диллен, FJE; Верстрален, LCA (2000). Справочник по дифференциальной геометрии . Том. 1. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-82240-2 .