Конгруэнтность (многообразия)

В теории гладких многообразий конгруэнцией определяемых называется множество целочисленных кривых, ненулевым векторным полем, определенным на многообразии.

Сравнения являются важным понятием в общей теории относительности , а также важны в некоторых частях римановой геометрии .

Мотивационный пример

Идею сравнения, вероятно, лучше объяснить примером, чем определением. Рассмотрим гладкое многообразие R² . Векторные поля могут быть заданы как линейные операторы в частных производных первого порядка , такие как

${\vec {X}}=(x^{2}-y^{2})\,\partial _{x}+2\,xy\,\partial _{y}$

Они соответствуют системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , в данном случае

${\dot {x}}=x^{2}-y^{2},\;{\dot {y}}=2\,xy$

где точка обозначает производную по некоторому (фиктивному) параметру. Решениями таких систем являются семейства параметризованных кривых , в данном случае

$x(\lambda )={\frac {x_{0}-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda }{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda ^{2}}}$

$y(\lambda )={\frac {y_{0}}{1-2\,x_{0}\,\lambda +(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\,\lambda ^{2}}}$

Это семейство часто называют конгруэнтностью кривых или просто конгруэнтностью для краткости .

В этом конкретном примере есть две особенности , в которых векторное поле исчезает. Это фиксированные потока точки . (Поток — это одномерная группа диффеоморфизмов ; поток определяет действие одномерной группы Ли R , имеющей локально хорошие геометрические свойства.) Эти две особенности соответствуют двум точкам , а не двум кривым. В этом примере все остальные интегральные кривые представляют собой простые замкнутые кривые . Многие потоки значительно сложнее этого. Чтобы избежать осложнений, связанных с наличием особенностей, обычно требуют, чтобы векторное поле было ненулевым .

Если мы добавим больше математической структуры, наше соответствие может приобрести новое значение.

Сравнения в римановых многообразиях

Например, если мы превратим наше гладкое многообразие в риманово многообразие, добавив риманов метрический тензор , скажем, тот, который определяется линейным элементом

$ds^{2}=\left({\frac {2}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right)$

наше соответствие могло бы стать геодезическим соответствием . Действительно, в примере из предыдущего раздела наши кривые становятся геодезическими на обычной круглой сфере (с вырезанным Северным полюсом). Если бы мы добавили стандартную евклидову метрику $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ вместо этого наши кривые стали бы кругами , а не геодезическими.

Интересным примером римановой геодезической конгруэнции, связанной с нашим первым примером, является конгруэнция Клиффорда на P³, которая также известна в расслоении Хопфа или расслоении Хопфа . Целочисленные кривые или слои соответственно представляют собой определенные попарно связанные большие круги, орбиты в пространстве кватернионов единичной нормы при умножении слева на заданный единичный кватернион единичной нормы.

Сравнения в лоренцевых многообразиях

В лоренцевом многообразии , таком как модель пространства-времени в общей теории относительности (которая обычно является точным или приближенным решением уравнения поля Эйнштейна ), сравнения называются времениподобными , нулевыми или пространственноподобными , если касательные векторы всюду времениподобны, нулевые или пространственноподобные. пространственноподобные соответственно. Конгруэнция называется геодезической конгруэнцией, если касательное векторное поле ${\vec {X}}$ имеет исчезающую ковариантную производную , $\nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0$.

См. также

• Конгруэнтность (общая теория относительности)

Ссылки

• Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95448-1 . Учебник по теории многообразий. См. также учебники того же автора по топологическим многообразиям (низший уровень структуры) и римановой геометрии (более высокий уровень структуры).