Теорема Картана–Адамара.

В математике теорема Картана-Адамара — это утверждение римановой геометрии, касающееся структуры полных римановых многообразий неположительной секционной кривизны . Теорема утверждает, что универсальное накрытие такого многообразия диффеоморфно посредством евклидову пространству экспоненциального отображения в любой точке. Впервые она была доказана Гансом Карлом Фридрихом фон Мангольдтом для поверхностей в 1881 году и независимо Жаком Адамаром в 1898 году . Эли Картан обобщил теорему на римановы многообразия в 1928 году ( Helgason 1978 ; do Carmo 1992 ; Kobayashi & Nomizu 1969 ). В дальнейшем теорема была обобщена на широкий класс метрических пространств Михаилом Громовым в 1987 году; подробные доказательства были опубликованы Баллманном (1990) для метрических пространств неположительной кривизны и Александром и Бишопом (1990) для общих локально выпуклых метрических пространств.

Риманова геометрия

Теорема Картана–Адамара в традиционной римановой геометрии утверждает, что полного риманова многообразия связного неположительной секционной кривизны диффеоморфно универсальное R накрытие ^н. Фактически, для полных многообразий неположительной кривизны экспоненциальное отображение, основанное в любой точке многообразия, является накрывающим.

Теорема справедлива также для гильбертовых многообразий в том смысле, что экспоненциальное отображение геодезически полного связного многообразия неположительной кривизны является накрывающим отображением ( McAlpin 1965 ; Lang 1999 , IX, §3). Полнота здесь понимается в том смысле, что экспоненциальное отображение определено на всем касательном пространстве точки.

Метрическая геометрия

В метрической геометрии теорема Картана-Адамара — это утверждение, что универсальное покрытие связного полного метрического пространства неположительной кривизны X является пространством Адамара . В частности, если X односвязно , то это геодезическое пространство в том смысле, что любые две точки соединены единственной минимизирующей геодезической и, следовательно, сжимаемыми .

Метрическое пространство X называется неположительно искривленным, если каждая точка p имеет окрестность U , в которой любые две точки соединены геодезической , и для любой точки z в U и геодезической γ с постоянной скоростью в U выполняется равенство

d(z,\gamma (1/2))^{2}\leq {\frac {1}{2}}d(z,\gamma (0))^{2}+{\frac {1}{2}}d(z,\gamma (1))^{2}-{\frac {1}{4}}d(\gamma (0),\gamma (1))^{2}.

Это неравенство можно с пользой представить в виде геодезического треугольника ∆ = z γ(0)γ(1). Левая часть — это квадрат расстояния от вершины z до середины противоположной стороны. Правая часть представляет собой квадрат расстояния от вершины до середины противоположной стороны евклидова треугольника, длина сторон которого равна Δ. Это условие, называемое условием CAT(0), представляет собой абстрактную форму теоремы сравнения треугольников Топоногова .

Обобщение на локально выпуклые пространства.

Предположение о неположительной кривизне можно ослабить ( Александр и Бишоп 1990 ), хотя и с соответствующим более слабым выводом. Назовем метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух минимизирующих геодезические с постоянной скоростью a ( t ) и b ( t ) функция

t\mapsto d(a(t),b(t))

является выпуклой функцией от t . Метрическое пространство является локально выпуклым, если каждая точка имеет выпуклую в этом смысле окрестность. Теорема Картана–Адамара для локально выпуклых пространств утверждает:

Если X — локально выпуклое полное связное метрическое пространство, то универсальное накрытие X — выпуклое геодезическое пространство относительно индуцированной метрики длины d .

В частности, универсальное накрытие такого пространства стягиваемо. Выпуклость функции расстояния вдоль пары геодезических является хорошо известным следствием неположительной кривизны метрического пространства, но она не эквивалентна ( Балманн 1990 ).

Значение

Теорема Картана–Адамара представляет собой пример локального и глобального соответствия в римановой и метрической геометрии: а именно, локальное условие (неположительная кривизна) и глобальное условие (простосвязность) вместе подразумевают сильное глобальное свойство (сжимаемость). ); или в римановом случае диффеоморфизм с R ^н.

Метрическая форма теоремы показывает, что неположительно изогнутый многогранный клеточный комплекс является асферическим . Этот факт имеет решающее значение для современной геометрической теории групп .

См. также

Ссылки

Макэлпин, Джон (1965), «Бесконечномерные многообразия и теория Морса», диссертация , Колумбийский университет, MR 2614999 , ПроКвест 302168992 .
Александр, Стефани Б.; Бишоп, Ричард Л. (1990), «Теорема Адамара-Картана в локально выпуклых метрических пространствах», Enseign. Математика. , Серия 2, 36 (3–4): 309–320, doi : 10.5169/seals-57911 .
Баллманн, Вернер (1990). «Особые пространства неположительной кривизны». Ин Гис, Э.; де ла Арп, П. (ред.). О гиперболических группах по Михаилу Громову . Прогресс в математике. Полет. 83. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-1-4684-9167-8_10 .
Баллманн, Вернер (1995), Лекции по пространствам неположительной кривизны , Семинар DMV 25, Базель: Birkhäuser Verlag, стр. viii+112, ISBN 3-7643-5242-6 , МР 1377265 .
Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Basic Teachings of Mathematical Sciences 319, Берлин: Springer-Verlag, стр. xxii+643, ISBN 3-540-64324-9 , МР 1744486 .
ду Карму, Манфредо Пердигао (1992), Риманова геометрия , Математика: теория и приложения, Бостон: Биркхойзер, стр. xvi + 300, ISBN 0-8176-3490-8 .
Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии, Том. II , Трактаты по математике 15, Нью-Йорк: Wiley Interscience, стр. xvi + 470, ISBN 0-470-49648-7 .
Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, Группы Ли и симметричные пространства , Чистая и прикладная математика 80, Нью-Йорк: Academic Press, стр. xvi + 628, ISBN 0-12-338460-5 .
Ланг, Серж (1999), Основы дифференциальной геометрии , Тексты для аспирантов по математике, том. 191, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-98593-0 , МР 1666820 .