Основная догадка

Основная гипотеза ^[а] - геометрической топологии это теперь опровергнутая гипотеза, спрашивающая, имеют ли какие-либо две триангуляции триангулируемого пространства подразделения, которые комбинаторно эквивалентны, то есть разделенные триангуляции построены по одной и той же комбинаторной схеме. Первоначально она была сформулирована как гипотеза в 1908 году Эрнстом Стейницем. ^[1] и Генрих Франц Фридрих Титце , ^[2] но теперь известно, что это ложь.

История [ править ]

Версия без многообразия была опровергнута Джоном Милнором в 1961 году с использованием кручения Райдемайстера . ^[3]

Версия с коллектором верна по размерам $m\leq 3$ . Случаи $m=2$ и $3$ были доказаны Тибором Радо и Эдвином Э. Мойсом в 1920-х и 1950-х годах соответственно. ^[4]^[5]^[6]

Препятствие для версии многообразия было сформулировано Эндрю Кассоном и Деннисом Салливаном в 1967–69 (первоначально в односвязном случае) с использованием инварианта Рохлина и группы когомологий . $H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ .

В измерении $m\geq 5$ , гомеоморфизм $f\colon N\to M$ -мерных m кусочно - линейных многообразий имеет инвариант $\kappa (f)\in H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ такой, что $f$ изотопен тогда и кусочно-линейному (PL) гомеоморфизму только тогда, когда $\kappa (f)=0$ . В односвязном случае и при $m\geq 5$ , $f$ гомотопен PL - гомеоморфизму тогда и только тогда, когда $[\kappa (f)]=0\in [M,G/{\rm {PL}}]$ .

Это количество $\kappa (f)$ теперь рассматривается как относительная версия препятствия триангуляции Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана , полученного в 1970 году. Препятствие Кирби – Зибенмана определено для любого компактного m -мерного топологического многообразия M.

\kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )

снова используя инвариант Рохлина. Для $m\geq 5$ , многообразие M имеет PL-структуру (т. е. оно может быть триангулировано PL-многообразием) тогда и только тогда, когда $\kappa (M)=0$ , и если это препятствие равно 0, структуры PL параметризуются $H^{3}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ . существует лишь конечное число существенно различных PL-структур В частности, на M .

Для компактных односвязных многообразий размерности 4 Саймон Дональдсон нашел примеры с бесконечным числом неэквивалентных PL-структур, а Майкл Фридман нашел многообразие E8 , которое не только не имеет PL-структуры, но (по работам Кассона) даже не гомеоморфно комплекс симплициальный . ^[7]

В 2013 году Чиприан Манолеску доказал, что существуют компактные топологические многообразия размерности 5 (и, следовательно, любой размерности больше 5), которые не гомеоморфны симплициальному комплексу. ^[8] Таким образом, пример Кассона иллюстрирует более общее явление, которое не ограничивается только измерением 4.

Примечания [ править ]

^ немецком языке на Основная гипотеза . Это аббревиатура от die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie , что переводится как основная гипотеза комбинаторной топологии .

Ссылки [ править ]

^ Стейниц, Э. (1908). «Вклад в анализ ситуации». Место для сидения Берлинская математика . 7 :29–49.
^ Титце, Х. (1908). «О топологических инвариантах многомерных многообразий» . Ежемесячно Для математики и физ . 19 :1–118. дои : 10.1007/BF01736688 . S2CID 120998023 .
^ Милнор, Джон В. (1961). «Два комплекса гомеоморфны, но комбинаторно различны». Анналы математики . 74 (2): 575–590. дои : 10.2307/1970299 . JSTOR 1970299 . МР 0133127 .
^ Радо, Тибор (1925). «О понятии римановой поверхности». Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis . 2 (1): 96–114. ЖФМ 51.0273.01 .
^ Мойс, Эдвин Э. (1952). «Аффинные структуры в 3-многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung». Анналы математики . 56 (2): 101–121. дои : 10.2307/1969769 . JSTOR 1969769 .
^ Мойс, Эдвин Э. (1977). Геометрическая топология в размерностях 2 и 3 . Спрингер. ISBN 978-0-387-90220-3 .
^ Акбулут, Сельман ; Маккарти, Джон Д. (1990). Инвариант Кассона для ориентированных гомологических 3-сфер . Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08563-3 . МР 1030042 .
^ Манолеску, Чиприан (2016) [2015]. «Pin (2)-эквивариантные гомологии Зайберга – Виттена Флоера и гипотеза триангуляции». Журнал Американского математического общества . 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . дои : 10.1090/jams829 . S2CID 16403004 .

Внешние ссылки [ править ]

Раницкий, Эндрю. «Триангуляция и гауптвермутунг» . Эдинбургский университет. Дополнительные материалы, включая первоисточники
Рудяк, Юлий (2016). Кусочно-линейные структуры на топологических многообразиях . arXiv : math/0105047 . дои : 10.1142/9887 . ISBN 978-981-4733-78-6 . S2CID 16750789 .
Раницки, Эндрю , изд. (30 сентября 1996 г.). Книга основных гипотез (PDF) . Спрингер. ISBN 0-7923-4174-0 .
Раницкий, Эндрю. «Многомерные многообразия тогда и сейчас» (PDF) .

[1] немецком языке на Основная гипотеза . Это аббревиатура от die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie , что переводится как основная гипотеза комбинаторной топологии .

[2] Стейниц, Э. (1908). «Вклад в анализ ситуации». Место для сидения Берлинская математика . 7 :29–49.

[3] Титце, Х. (1908). «О топологических инвариантах многомерных многообразий» . Ежемесячно Для математики и физ . 19 :1–118. дои : 10.1007/BF01736688 . S2CID 120998023 .

[4] Милнор, Джон В. (1961). «Два комплекса гомеоморфны, но комбинаторно различны». Анналы математики . 74 (2): 575–590. дои : 10.2307/1970299 . JSTOR 1970299 . МР 0133127 .

[5] Радо, Тибор (1925). «О понятии римановой поверхности». Acta Scientarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis . 2 (1): 96–114. ЖФМ 51.0273.01 .

[6] Мойс, Эдвин Э. (1952). «Аффинные структуры в 3-многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung». Анналы математики . 56 (2): 101–121. дои : 10.2307/1969769 . JSTOR 1969769 .

[7] Мойс, Эдвин Э. (1977). Геометрическая топология в размерностях 2 и 3 . Спрингер. ISBN 978-0-387-90220-3 .

[8] Акбулут, Сельман ; Маккарти, Джон Д. (1990). Инвариант Кассона для ориентированных гомологических 3-сфер . Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08563-3 . МР 1030042 .

[9] Манолеску, Чиприан (2016) [2015]. «Pin (2)-эквивариантные гомологии Зайберга – Виттена Флоера и гипотеза триангуляции». Журнал Американского математического общества . 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . дои : 10.1090/jams829 . S2CID 16403004 .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]