Область определения
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Ноябрь 2021 г. ) |
В математике поле определения алгебраического многообразия V — это, по существу, наименьшее поле коэффициенты многочленов , определяющих V. , которому могут принадлежать Учитывая полиномы с коэффициентами в поле K , может быть неочевидно, существует ли меньшее поле и другие полиномы, определенные над k , которые все еще определяют V. k
Вопрос о поле определения вызывает озабоченность в диофантовой геометрии .
Обозначения
[ редактировать ]В этой статье k обозначает поле. Алгебраическое замыкание поля обозначается добавлением верхнего индекса «alg», например, алгебраическое замыкание поля k равно k. Алг . Символы Q , R , C и F p представляют соответственно поле рациональных чисел , поле действительных чисел , поле комплексных чисел и конечное поле, содержащее p элементов. Аффинное n -пространство над полем F обозначается через A н ( Ф ).
Определения аффинных и проективных многообразий
[ редактировать ]Результаты и определения, изложенные ниже, для аффинных многообразий можно перевести в проективные многообразия , заменив A н ( к Алг ) с проективным пространством размерности n − 1 над k Алг и настаивая на том, чтобы все полиномы были однородными .
A k - алгебраическое множество — это нулевой локус в A н ( к Алг ) подмножества кольца полиномов k [ x 1 , ..., x n ]. k -алгебраическое множество, которое неприводимо, т . -многообразие — это k е. не является объединением двух строго меньших k -алгебраических множеств. k -алгебраическими множествами , -морфизм — это регулярная функция между k коэффициенты определяющих многочленов которых принадлежат k .
Одна из причин рассмотрения нулевого локуса в A н ( к Алг ), а не А н ( k ) заключается в том, что для двух различных k множеств X 1 и X 2 пересечения A X 1 ∩ -алгебраических н ( k ) и Икс 2 ∩ А н ( k ) может быть одинаковым; на самом деле, нулевой локус в A н ( k ) любого подмножества k [ x 1 , ..., x n ] является нулевым местом единственного элемента k [ x 1 , ..., x n ], если k не является алгебраически замкнутым.
- многообразие k называется многообразием , если оно абсолютно неприводимо , т. е. не является объединением двух строго меньших k. Алг -алгебраические множества. Многообразие V определено над k, если каждый многочлен из k Алг [ x 1 , ..., x n ], обращающаяся в нуль на V, является линейной комбинацией (над k Алг ) полиномов от k [ x 1 , ..., x n ], обращающихся в нуль на V . k L -алгебраическое множество также является -алгебраическим множеством для бесконечного числа подполей L поля k. Алг . Полем определения многообразия V называется подполе L поля k Алг такое, что V — L определенное над L. -многообразие ,
Эквивалентно, -многообразие V является многообразием, определенным над k тогда и только тогда, когда функциональное поле k ( V ) V является регулярным расширением k k в смысле Вейля . Это означает, что каждое подмножество k ( V ), линейно независимое над k , также линейно независимо над k. Алг . Другими словами, эти расширения k пересекаются линейно не .
Андре Вейль доказал, что пересечение всех полей определения многообразия V само по себе является полем определения. Это оправдывает утверждение, что любое разнообразие обладает уникальным, минимальным полем определения.
Примеры
[ редактировать ]- Нулевой локус x 1 2 + х2 2 является одновременно Q -многообразием и Q Алг -алгебраическое множество, но не многообразие и не Q Алг -многообразие, поскольку оно является объединением Q Алг -многообразия, определяемые полиномами x 1 + i x 2 и x 1 - i x 2 .
- Поскольку F p ( t ) трансцендентным расширением F является p , многочлен x 1 п - t равно ( x 1 - t 1/ п ) п в кольце полиномов ( F p ( t )) Алг [ х 1 ]. F , p ( t )-алгебраическое множество V определяемое x 1 п - t – сорт; оно абсолютно неприводимо, поскольку состоит из одной точки. Но V не определен над F p ( t ), поскольку V также является нулевым локусом x 1 - t 1/ п .
- Комплексная проективная прямая является проективным R -многообразием. (Фактически, это многообразие с Q в качестве минимального поля определения.) Рассматривая действительную проективную прямую как экватор на сфере Римана, покоординатное действие комплексного сопряжения на комплексной проективной прямой меняет местами точки с теми же самыми точками. долготы, но противоположных широт.
- Проективное R -многообразие W, определенное однородным полиномом x 1 2 + х2 2 + х 3 2 также является многообразием с минимальным полем определения Q . Следующее отображение определяет C -изоморфизм комплексной проективной прямой в W : ( a , b ) → (2 ab , a 2 - б 2 -я , 2 + б 2 )). Отождествляя W со сферой Римана с помощью этого отображения, покоординатное действие комплексного сопряжения на W меняет местами противоположные точки сферы. Комплексная проективная прямая не может быть R -изоморфна W, поскольку первая имеет вещественные точки , точки, фиксированные комплексным сопряжением, а вторая — нет.
Теоретико-схемные определения
[ редактировать ]Одним из преимуществ определения многообразий над произвольными полями посредством теории схем является то, что такие определения являются внутренними и свободны от вложений в окружающее аффинное n -пространство.
— k -алгебраическое множество это отделенная и приведенная схема конечного типа над Spec( k ) . k k -многообразие — неприводимое -алгебраическое множество. k - морфизм — это морфизм между k -алгебраическими множествами, рассматриваемыми как схемы над Spec( k ).
Каждому алгебраическому расширению L поля k L -алгебраическое множество , связанное с данным k -алгебраическим множеством V, является расслоенным произведением схем V × Spec( k ) Spec( L ). k -многообразие абсолютно неприводимо , если ассоциированное k Алг -алгебраическое множество является неприводимой схемой; в этом случае k -многообразие называется многообразием . Абсолютно неприводимое k -многообразие определяется над k, если ассоциированное k Алг -алгебраическое множество представляет собой приведенную схему. Полем определения многообразия V называется подполе L поля k Алг такое, что существует k ∩ L -многообразие W такое, что W × Spec( k ∩ L ) Spec( k ) изоморфно V и последний объект в категории приведенных схем над W × Spec( k ∩ L ) Spec( L ) — L -многообразие, определенное над L .
Аналогично определениям аффинных и проективных многообразий, k -многообразие — это многообразие, определенное над k, если слой структурного пучка в общей точке является регулярным расширением k ; кроме того, каждое многообразие имеет минимальное поле определения.
Одним из недостатков теоретико-схемного определения является то, что схема над k не может иметь L -значную точку, если L не является расширением k . Например, рациональная точка (1,1,1) является решением уравнения x 1 + i x 2 - (1+i) x 3 , но соответствующее Q [i]-многообразие V не имеет Spec( Q )- ценный балл. Два определения поля определения также противоречат друг другу, например, (теоретическое) минимальное поле определения V — это Q , тогда как в первом определении оно было бы Q [i]. Причина этого несоответствия заключается в том, что теоретико-схемные определения отслеживают только полином, установленный для изменения базиса . В этом примере один из способов избежать этих проблем — использовать Q -многообразие Spec( Q [ x 1 , x 2 , x 3 ]/( x 1 2 + х2 2 + 2 х 3 2 - 2 х 1 х 3 - 2 х 2 х 3 )), [i]-алгебраическое множество которого Q является объединением Q [i]-многообразия Spec( Q [i][ x 1 , x 2 , x 3 ]/( x 1 + i x 2 - (1+i) x 3 )) и его комплексно-сопряженное число.
Действие абсолютной группы Галуа
[ редактировать ]Абсолютная группа Галуа Gal( k Алг / k ) числа k естественным образом действует на нулевом локусе в A н ( к Алг ) подмножества кольца полиномов k [ x 1 , ..., x n ]. В общем случае, если V — схема над k (например, k -алгебраическое множество), Gal( k Алг / k ) естественным образом действует на V × Spec( k ) Spec( k Алг ) через действие на Spec( k Алг ).
Когда V — многообразие, определенное над совершенным полем k , схема V может быть восстановлена из схемы V × Spec( k ) Spec( k Алг ) вместе с действием Gal( k Алг / k ) по последней схеме: сечения структурного пучка V на открытом подмножестве U являются в точности сечениями структурного пучка V × Spec( k ) Spec( k Алг ) на U × Spec( k ) Spec( k Алг которого ), вычеты постоянны на каждом Gal( k Алг / k )- орбита в U × Spec( k ) Spec( k Алг ). В аффинном случае это означает, что действия абсолютной группы Галуа на нуль-локусе достаточно, чтобы восстановить подмножество k [ x 1 , ..., x n ], состоящее из исчезающих многочленов.
В общем, этой информации недостаточно для V. восстановления На примере нуль-локуса x 1 п - т в ( F п ( т )) Алг многообразие состоит из одной точки, и поэтому действие абсолютной группы Галуа не может определить, был ли идеал исчезающих многочленов порожден x 1 - t 1/ п , на х 1 п - t , или, действительно, x 1 - t 1/ п возведен в другую степень p .
Для любого подполя L поля k Алг и любое L -многообразие V , автоморфизм σ группы k Алг будет изоморфно отображать V на σ( L )-многообразие.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Фрид, Майкл Д.; Моше Жарден (2005). Полевая арифметика . Спрингер . п. 780. дои : 10.1007/b138352 . ISBN 3-540-22811-Х .
- Терминология в этой статье соответствует терминологии в тексте Фрида и Ярдена, которые приняли номенклатуру сортов Вейля. Ссылка на второе издание здесь также содержит подраздел, содержащий словарь этой номенклатуры и более современной схемы.
- Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию . Биркхойзер. п. 256. ИСБН 0-8176-3065-1 .
- Кунц занимается строго аффинными и проективными многообразиями и схемами, но в некоторой степени освещает взаимосвязь между определениями многообразий Вейля и Гротендика . определениями схем
- Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга сортов и схем . Спрингер . стр. 198–203. дои : 10.1007/b62130 . ISBN 3-540-63293-Х .
- Мамфорд посвящает только один раздел книги арифметическим проблемам, таким как область определений, но в нем в полной мере охватываются многие результаты теории схем, изложенные в этой статье.