Линейно непересекающийся

В математике алгебры . A , B над полем k внутри некоторого расширения поля $\Omega$ из k называются линейно непересекающимися над k, если выполняются следующие эквивалентные условия:

(и) Карта $A\otimes _{k}B\to AB$ вызванный $(x,y)\mapsto xy$ является инъективным .
(ii) Любой - базис A остается B линейно независимым над k .
(iii) Если $u_{i},v_{j}$ являются k -базисами для A , B , то произведения $u_{i}v_{j}$ линейно независимы над k .

Заметим, что поскольку каждая подалгебра $\Omega$ является областью , (i) подразумевает $A\otimes _{k}B$ является доменом (в частности, уменьшенным ). Обратно, если A и B — поля и либо A , либо B — алгебраическое расширение поля k и $A\otimes _{k}B$ является областью, то это поле, а A и B линейно не пересекаются. Однако есть примеры, когда $A\otimes _{k}B$ является областью, но A и B не являются линейно непересекающимися: например, A = B = k ( t ), поле рациональных функций над k .

Также имеет место: A , B линейно не пересекаются над k тогда и только тогда, когда подполя поля $\Omega$ созданный $A,B$ , соотв. линейно не пересекаются над k . (см. Тензорное произведение полей )

Предположим, что A , B линейно не пересекаются над k . Если $A'\subset A$ , $B'\subset B$ являются подалгебрами, то $A'$ и $B'$ линейно не пересекаются над k . Обратно, если любые конечно порожденные подалгебры алгебр A , B линейно не пересекаются, то A , B линейно не пересекаются (поскольку условие включает только конечные множества элементов.)