Проблема с пушечным ядром
В математике фигурных чисел задача о пушечном ядре спрашивает, какие числа являются одновременно квадратными и квадратно-пирамидальными . Задачу можно сформулировать так: при квадратном расположении ядер, на квадратах какого размера эти ядра можно также расположить в квадратную пирамиду.Эквивалентно, какие квадраты можно представить в виде суммы последовательных квадратов, начиная с 1.
Формулировка в виде диофантова уравнения
[ редактировать ]Когда ядра сложены в квадратную рамку, количество ядер представляет собой квадратное пирамидальное число; Томас Хэрриот дал формулу этого числа около 1587 года, отвечая на вопрос, заданный ему сэром Уолтером Рэли во время их экспедиции в Америку. [1] Эдуард Лукас сформулировал задачу о пушечном ядре как диофантово уравнение.
или
Решение
[ редактировать ]
Лукас предположил, что единственными решениями являются ( N , M ) = (0,0) , (1,1) и (24,70) с использованием 0, 1 или 4900 ядер. Лишь в 1918 году Г. Н. Уотсон нашел доказательство этого факта, используя эллиптические функции . Совсем недавно элементарные доказательства . были опубликованы [2] [3]
Приложения
[ редактировать ]Решение N = 24, M = 70 можно использовать для построения решетки Лича . Результат имеет отношение к теории бозонных струн в 26 измерениях. [4]
Хотя можно замостить геометрический квадрат неравными квадратами , это невозможно сделать с помощью решения задачи о пушечном ядре. Квадраты с длиной стороны от 1 до 24 имеют площадь, равную квадрату с длиной стороны 70, но их нельзя расположить в виде мозаики.
Связанные проблемы
[ редактировать ]Версия задачи о пушечном ядре в виде треугольной пирамиды, которая состоит в том, чтобы получить идеальный квадрат из N й Тетраэдрическое число будет иметь N = 48. Это означает, что (24 × 2 = ) 48-е тетраэдрическое число равно (70 2 × 2 2 = 140 2 = ) 19600. Это сопоставимо с 24-й квадратной пирамидой, имеющей в общей сложности 70 2 пушечные ядра. [5]
Точно так же версия задачи о пушечном ядре с пятиугольной пирамидой для получения идеального квадрата будет иметь N = 8, что даст в общей сложности (14 × 14 = ) 196 ядер. [6]
Единственные числа, которые одновременно являются треугольными и квадратно-пирамидальными, — это 1, 55, 91 и 208335. [7] [8]
Не существует чисел (кроме тривиального решения 1), которые были бы одновременно тетраэдрическими и квадратно-пирамидальными. [8]
См. также
[ редактировать ]- Квадратно-треугольное число , числа, одновременно квадратные и треугольные.
- Плотная упаковка равных сфер
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дорогой, Дэвид. «Проблема с пушечным ядром» . Интернет-энциклопедия науки .
- ^ Ма, Де Гонг (1985). «Элементарное доказательство решения диофантового уравнения. ". Сычуань Дасюэ Сюэбао . 4 : 107–116.
- ^ Энглин, WS (1990). «Загадка квадратной пирамиды». Американский математический ежемесячник . 97 (2): 120–124. дои : 10.2307/2323911 . JSTOR 2323911 .
- ^ «неделя95» . Math.ucr.edu. 26 ноября 1996 г. Проверено 4 января 2012 г.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A000292 (Тетраэдрические (или треугольные пирамидальные) числа: a(n) = C(n+2,3) = n*(n+1)*(n+2)/6)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002411 (Пятиугольные пирамидальные числа: a(n) = n^2*(n+1)/2)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A039596 (Числа, которые одновременно являются треугольными и квадратно-пирамидальными)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Квадратное пирамидальное число» . Математический мир .
