Группа Матье М ₁₂

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Матье M ₁₂ представляет собой спорадическую простую порядка группу

12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 11 = 95040.

История и свойства

М ₁₂ — одна из 26 спорадических групп, введенная Матье ( 1861 , 1873 ). Это резко 5-транзитивная группа перестановок для 12 объектов. Бургойн и Фонг (1968) показали, что множитель Шура М ₁₂ имеет порядок 2 (исправляя ошибку в ( Бургойн и Фонг 1966 ), где они ошибочно утверждали, что он имеет порядок 1).

Двойное накрытие было неявно обнаружено ранее Коксетером (1958) , который показал, что M ₁₂ является подгруппой проективной линейной группы размерности 6 над конечным полем с 3 элементами.

Внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов M ₁₂ .2 содержится в M ₂₄ как стабилизатор пары дополнительных додекад из 24 точек, причем внешние автоморфизмы M ₁₂ заменяют две додекады местами.

Представительства

Фробениус (1904) рассчитал таблицу комплексных признаков М ₁₂ .

M ₁₂ имеет строго 5-транзитивное представление перестановок в 12 точках, стабилизатором точки которого является группа Матье M ₁₁ . Отождествляя 12 точек с проективной линией над полем из 11 элементов, M ₁₂ порождается перестановками PSL ₂ (11) вместе с перестановкой (2,10)(3,4)(5,9)(6, 7). Это представление перестановок сохраняет систему Штейнера S(5,6,12) из 132 специальных шестиугольников, такую, что каждая пентада содержится ровно в одной специальной шестнадцатерице, а шестнадцатерицы являются носителями кодовых слов веса 6 расширенного троичного кода Голея . Фактически M ₁₂ имеет два неэквивалентных действия на 12 точках, замененных внешним автоморфизмом; они аналогичны двум неэквивалентным действиям симметрической группы на _S6 6 точек.

Двойное покрытие 2.M ₁₂ является группой автоморфизмов расширенного троичного кода Голея , кода размерности 6 длины 12 над полем порядка 3 минимального веса 6. В частности, двойное покрытие имеет неприводимое 6-мерное представление над полем. из 3-х элементов.

Двойное накрытие 2.M ₁₂ является группой автоморфизмов любой матрицы Адамара 12×12 .

M ₁₂ централизует элемент порядка 11 в группе монстров , в результате чего он естественным образом действует на вершинную алгебру над полем с 11 элементами, заданными как когомологии Тейта монстра вершинной алгебры .

Максимальные подгруппы

Существует 11 классов сопряженности максимальных подгрупп M ₁₂ , 6, встречающихся в автоморфных парах, а именно:

M ₁₁ , порядок 7920, индекс 12. Имеются два класса максимальных подгрупп, замененных внешним автоморфизмом. Одна из них — это подгруппа, фиксирующая точку с орбитами размера 1 и 11, а другая действует транзитивно на 12 точках.
S ₆ :2 = M ₁₀ .2, группа внешних автоморфизмов симметрической группы S ₆ порядка 1440, индекс 66. Имеется два класса максимальных подгрупп, замененных внешним автоморфизмом. Одна из них является импримитивной и транзитивной, действует с двумя блоками по 6, а другая представляет собой подгруппу, фиксирующую пару точек, и имеет орбиты размера 2 и 10.
PSL(2,11), порядок 660, индекс 144, дважды транзитивен по 12 точкам
3 ²:(2.S ₄ ), порядок 432. Имеется два класса максимальных подгрупп, замененных внешним автоморфизмом. Один действует с орбитами из 3 и 9, а другой является импримитивным с 4 наборами из 3.

Изоморфна аффинной группе в пространстве C ₃ x C ₃ .

S ₅ x 2, порядок 240, вдвойне примитивный по 6 подходов по 2 очка.

Центратор шестикратной транспозиции

Q :S ₄ , порядок 192, орбиты 4 и 8.

Центратор четверной транспозиции

4 ²:(2 x S ₃ ), порядок 192, примитивный на 3 комплекта по 4 шт.
А ₄ х S ₃ , порядок 72, дважды импримитивный, 4 подхода по 3 очка.

Классы сопряженности

Форма цикла элемента и его сопряженная форма при внешнем автоморфизме связаны следующим образом: объединение двух форм цикла сбалансировано, другими словами, инвариантно относительно замены каждого n -цикла на цикл N / n для некоторого целого числа N. .

Заказ	Число	Центратор	Циклы	Слияние
1	1	95040	1 ¹²
2	396	240	2 ⁶
2	495	192	1 ⁴2 ⁴
3	1760	54	1 ³3 ³
3	2640	36	3 ⁴
4	2970	32	2 ²4 ²	Слитый под внешним автоморфизмом
4	2970	32	1 ⁴4 ²	Слитый под внешним автоморфизмом
5	9504	10	1 ²5 ²
6	7920	12	6 ²
6	15840	6	1 2 3 6
8	11880	8	1 ²2 8	Слитый под внешним автоморфизмом
8	11880	8	4 8	Слитый под внешним автоморфизмом
10	9504	10	2 10
11	8640	11	1 11	Слитый под внешним автоморфизмом
11	8640	11	1 11	Слитый под внешним автоморфизмом

Ссылки

Адем, Алехандро ; Маджиннис, Джон; Милгрэм, Р. Джеймс (1991), «Геометрия и когомологии группы Матье M₁₂», Journal of Algebra , 139 (1): 90–133, doi : 10.1016/0021-8693(91)90285-G , hdl : 2027.42/29344 , ISSN 0021-8693 , МР 1106342
Бургойн, Н.; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье» , Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017/S0027763000026519 , ISSN 0027-7630 , MR 0197542
Бургойн, Н.; Фонг, Пол (1968), «Поправка к: «Множителям Шура групп Матье» » , Nagoya Mathematical Journal , 31 : 297–304, doi : 10.1017/S0027763000012782 , ISSN 0027-7630 , MR 0219626
Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 45, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-65378-7
Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1 , МР 0075938
Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0 , MR 0338152 Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1958), «Двенадцать пунктов в PG (5,3) с 95040 самопреобразованиями», Труды Лондонского королевского общества. Серия A: Математические, физические и инженерные науки , 247 (1250): 279–293, doi : 10.1098/rspa.1958.0184 , ISSN 0962-8444 , JSTOR 100667 , MR 0120289 , S2CID 121676627
Кертис, RT (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и «котенок» » , в книге Аткинсона, Майкла Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Материалы симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме, 30 июля – 9 августа 1982 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 353–358, ISBN. 978-0-12-066270-8 , МР 0760669
Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрия (PDF)
Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, том. 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0731-3 , ISBN. 978-0-387-94599-6 , МР 1409812
Фробениус, Фердинанд Георг (1904), «О характерах кратных транзитивных групп», Труды Королевской прусской академии наук (на немецком языке), 16 , Королевская академия наук, Берлин: 558–571, перепечатано в томе III из его собрания сочинений.
Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), «Таблица характеров резко 5-транзитивной подгруппы знакопеременной группы степени 12», International Journal of Group Theory , doi : 10.22108/IJGT.2019.115366.1531 , S2CID 119151614
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Хьюз, Сэм (2018), Теория репрезентации и характера малых групп Матье (PDF)
Матье, Эмиль (1861), «Мемуары об изучении функций нескольких величин, о способах их формирования и о заменах, которые оставляют их неизменными» , Журнал чистой и прикладной математики , 6 : 241–323
Матье, Эмиль (1873), «О пятикратно транзитивной функции 24 величин» , Журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), 18 : 25–46, JFM 05.0088.01
Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковки сфер к простым группам , Carus Mathematical Monographs, vol. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7 , МР 0749038
Витт, Эрнст (1938a), «О системах Штейнера», статьи Математического семинара Гамбургского университета , 12 : 265–275, doi : 10.1007/BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
Витт, Эрнст (1938b), «5-кратные транзитивные группы Матье», статьи математического семинара Гамбургского университета , 12 : 256–264, doi : 10.1007/BF02948947 , S2CID 123658601

Внешние ссылки