Группа когомологий Тейта

В математике представляют группы когомологий Тейта собой слегка модифицированную форму обычных групп когомологий конечной группы, которые объединяют группы гомологий и когомологий в одну последовательность. Они были введены Джоном Тейтом ( 1952 , стр. 297) и используются в теории полей классов .

Определение

Если G — конечная группа и A — G -модуль , то существует естественное отображение N из $H_{0}(G,A)$ к $H^{0}(G,A)$ представителя пригласить ​ $\sum _{g\in G}ga$ (сумма по всем G -сопряженным к a ). Группы когомологий Тейта ${\hat {H}}^{n}(G,A)$ определяются

• ${\hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)$ для $n\geq 1$,
• ${\hat {H}}^{0}(G,A)=\operatorname {coker} N=$ частное $H^{0}(G,A)$ по нормам элементов A ,
• ${\hat {H}}^{-1}(G,A)=\ker N=$ частное элементов нормы 0 A по главным элементам A ,
• ${\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)$ для $n\leq -2$.

Свойства

• Если

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

является короткой точной последовательностью G -модулей, то мы получаем обычную длинную точную последовательность групп когомологий Тейта:

$\cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots$

• Если A — индуцированный G- модуль, то все группы когомологий Тейта A исчезают.
• Нулевая группа когомологий Тейта A равна

(Неподвижные точки G на A )/(Очевидные неподвижные точки G , действующие на A )

где под «очевидной» неподвижной точкой мы подразумеваем точки вида $\sum ga$. Другими словами, нулевая группа когомологий в некотором смысле описывает неочевидные неподвижные точки группы G, действующие на A .

Группы когомологий Тейта характеризуются тремя вышеперечисленными свойствами.

Теорема Тейта

Теорема Тейта ( Tate 1952 ) дает условия, при которых умножение на класс когомологий является изоморфизмом между группами когомологий. Есть несколько несколько разных версий; версия, которая особенно удобна для теории полей классов, такова:

Предположим, что A — модуль над конечной группой G и a — элемент $H^{2}(G,A)$, такой, что для любой подгруппы E группы G

• $H^{1}(E,A)$ тривиально, и
• $H^{2}(E,A)$ генерируется $\operatorname {Res} (a)$, который имеет порядок E .

Тогда произведение чашки с a является изоморфизмом:

• ${\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)$

для всех n ; другими словами, градуированные когомологии Тейта A изоморфны когомологии Тейта с целыми коэффициентами со сдвигом степени на 2.

Когомологии Тейта-Фаррелла

Ф. Томас Фаррелл распространил группы когомологий Тейта на случай всех групп G конечной виртуальной когомологической размерности . В теории Фаррелла группы ${\hat {H}}^{n}(G,A)$ изоморфны обычным группам когомологий, если n больше виртуальной когомологической размерности группы G . Конечные группы имеют виртуальную когомологическую размерность 0, и в этом случае группы когомологий Фаррелла такие же, как и группы Тейта.

См. также

• Коэффициент Эрбрана
• Формирование класса

Ссылки

• М.Ф. Атья и С.Т.С. Уолл , «Когомологии групп», в алгебраической теории чисел Дж.В.С. Касселса, А. Фрелиха ISBN   0-12-163251-2 , Глава IV. См. раздел 6.
• Браун, Кеннет С. (1982). Когомологии групп . Тексты для аспирантов по математике. Том. 87. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90688-6 . МР   0672956 .
• Фаррелл, Ф. Томас (1977). «Распространение когомологий Тейта на класс бесконечных групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 10 (2): 153–161. дои : 10.1016/0022-4049(77)90018-4 . МР   0470103 .
• Тейт, Джон (1952), «Группы когомологий более высокой размерности теории полей классов», Annals of Mathematics , 2, 56 : 294–297, doi : 10.2307/1969801 , JSTOR   1969801 , MR   0049950