Формирование класса

В математике классовая формация — это топологическая группа, действующая на модуль , удовлетворяющий определенным условиям. Классовые образования были введены Эмилем Артином и Джоном Тейтом для организации различных Галуа групп и модулей , которые появляются в теории полей классов .

Определения

Формация , — это топологическая группа G вместе с топологическим G -модулем A на котором G действует непрерывно.

Слой F E / F формации — это пара открытых подгрупп E , F группы G такая, что — подгруппа конечного индекса E. группы называется Слой нормальным , если F — нормальная подгруппа группы E и циклический слой , если, кроме того, факторгруппа циклическая. Если E — подгруппа G , то A ^И определяется как элементы A , фиксированные E . Мы пишем

ЧАС ^н ( Э / Ф )

для группы когомологий Тейта H ^н ( Э / Ф , А ^Ф ) всякий раз, когда E / F — нормальный слой. (Некоторые авторы думают, что E и F — это фиксированные поля, а не подгруппа G , поэтому пишите F / E вместо E / F .) В приложениях G часто является абсолютной группой Галуа поля и, в частности, является проконечной , поэтому открытые подгруппы соответствуют конечным расширениям поля, содержащимся в некотором фиксированном сепарабельном замыкании.

Классовая формация – это формация такая, что для любого нормального слоя E / F

ЧАС ¹ ( E / F ) тривиально, и

ЧАС ² ( E / F ) циклическое порядка | Э / Ф |.

На практике эти циклические группы снабжаются каноническими образующими u _{E / F} ∈ H ² ( Э / Ф ), называемые фундаментальными классами , которые совместимы друг с другом в том смысле, что ограничение (классов когомологий) фундаментального класса является другим фундаментальным классом. Часто фундаментальные классы считаются частью структуры классовой формации.

Формация, удовлетворяющая как раз условию H ¹ ( E / F )=1 иногда называют формированием поля . Например, если G — любая конечная группа, действующая в поле L и A=L ^× , то это образование поля по теореме Гильберта 90 .

Примеры

Наиболее важные примеры классовых образований (расположены примерно в порядке сложности) следующие:

• Архимедова локальная теория полей классов : модуль A представляет собой группу ненулевых комплексных чисел, а G либо тривиален, либо является циклической группой порядка 2, порожденной комплексным сопряжением.
• Конечные поля: модуль A — это целые числа (с тривиальным G -действием), а G — абсолютная группа Галуа конечного поля, которая изоморфна проконечному пополнению целых чисел.
• Локальная теория полей классов характеристики p > 0: модуль A — это группа единиц сепарабельного алгебраического замыкания поля формальных рядов Лорана над конечным полем, а G — группа Галуа.
• Неархимедова локальная теория полей классов характеристики 0: модуль A — это группа единиц алгебраического замыкания поля p -адических чисел, а G — группа Галуа.
• Глобальная теория полей классов характеристики p > 0: модуль A представляет собой объединение групп идельных классов сепарабельных конечных расширений некоторого функционального поля над конечным полем, а G - группа Галуа.
• Глобальная теория полей классов характеристики 0: модуль A представляет собой объединение групп идельных классов полей алгебраических чисел, а G представляет собой группу Галуа рациональных чисел (или некоторого поля алгебраических чисел), действующих на A .

Свойство образования классов легко проверить для случая конечного поля и случая архимедова локального поля, но остальные случаи сложнее. Большая часть тяжелой работы теории поля классов состоит в том, чтобы доказать, что это действительно классовые образования. Это делается в несколько этапов, как описано в разделах ниже.

Первое неравенство

Первое неравенство теории полей классов гласит, что

| ЧАС ⁰ ( Э / Ж ) | ≥ | Э / Ф |

для циклических слоев E / F . Обычно это доказывается с использованием свойств фактора Эрбрана в более точной форме

| ЧАС ⁰ ( Э / Ж ) | = | Э / Ф |×| ЧАС ¹ ( Э / Ф )|.

Это довольно просто доказать, поскольку фактор Эрбрана легко вычислить, поскольку он мультипликативен на коротких точных последовательностях и равен 1 для конечных модулей.

Примерно до 1950 года первое неравенство было известно как второе неравенство, и наоборот.

Второе неравенство

Второе неравенство теории полей классов гласит, что

| ЧАС ⁰ ( Э / Ж ) | ≤ | Э / Ф |

для всех нормальных слоев E / F .

Для локальных полей это неравенство легко следует из теоремы Гильберта 90 вместе с первым неравенством и некоторыми основными свойствами групповых когомологий.

Второе неравенство было впервые доказано для глобальных полей Вебером с использованием свойств L-серии числовых полей следующим образом. Предположим, что слой E / F соответствует расширению k ⊂ K глобальных полей. Изучая дзета-функцию Дедекинда от K степени 1 , можно показать, что простые числа K имеют плотность Дирихле , определяемую порядком полюса в точке s = 1, который равен 1 (когда K является рациональным числом, это, по сути, доказательство Эйлера о том, что существуют бесконечно много простых чисел, используя полюс в точке s =1 дзета-функции Римана .) Поскольку каждое простое число в k , которое является нормой, является произведением deg( K / k )= | Э / Ф | различных простых чисел степени 1 числа K , это показывает, что множество простых чисел числа k , которые являются нормами, имеет плотность 1/| Э / Ф |. С другой стороны, изучая L-серии Дирихле характеров группы H ⁰ ( E / F ), показано, что плотность Дирихле простых чисел k , представляющих тривиальный элемент этой группы, имеет плотность 1/| ЧАС ⁰ ( Э / Ф )|. (Эта часть доказательства является обобщением доказательства Дирихле о том, что в арифметических прогрессиях бесконечно много простых чисел.) Но простое число представляет собой тривиальный элемент группы H. ⁰ ( E / F ), если оно равно норме по модулю главных идеалов, поэтому это множество по крайней мере так же плотно, как множество простых чисел, которые являются нормами. Так

1/| ЧАС ⁰ ( Э / Ж )| ≥ 1/| Э / Ф |

что является вторым неравенством.

В 1940 году Шевалле нашел чисто алгебраическое доказательство второго неравенства, но оно длиннее и сложнее первоначального доказательства Вебера. Примерно до 1950 года второе неравенство было известно как первое неравенство; название было изменено, потому что алгебраическое доказательство Шевалле использует первое неравенство.

Такаги определил поле класса как поле, в котором выполняется равенство во втором неравенстве. Согласно изоморфизму Артина, приведенному ниже, H ⁰ ( E / F ) изоморфен абелианизации E / F , поэтому равенство во втором неравенстве выполняется точно для абелевы расширения и поля классов такие же, как и абелевы расширения.

Первое и второе неравенства можно объединить следующим образом. Для циклических слоев два неравенства вместе доказывают, что

ЧАС ¹ ( Э / Ж )| Э / Ф | = Ч ⁰ ( Э / Ж ) ≤ | Э / Ф |

так

ЧАС ⁰ ( Э / Ж ) знак равно | Э / Ф |

и

ЧАС ¹ ( Э / Ф ) = 1.

Теперь основная теорема о группах когомологий показывает, что, поскольку H ¹ ( E / F ) = 1 для всех циклических слоев, имеем

ЧАС ¹ ( Э / Ж ) = 1

для всех нормальных слоев (так что, в частности, формация является полевой формацией). Это доказательство того, что Х. ¹ ( E / F ) всегда тривиально, а скорее окольно; никакого «прямого» доказательства этого (что бы это ни значило) для глобальных полей неизвестно. (Для локальных полей исчезновение H ¹ ( E / F ) — это просто теорема Гильберта 90.)

Для циклической группы H ⁰ то же самое, что Х ² , поэтому Х ² ( Э / Ж ) знак равно | Э / Ф | для всех циклических слоев. Другая теорема о групповых когомологиях показывает, что, поскольку H ¹ ( Э / Ж ) = 1 для всех нормальных слоев и H ² ( Э / Ж ) ≤ | Э / Ф | для всех циклических слоев имеем

ЧАС ² ( Э / Ж )≤ | Э / Ф |

для всех нормальных слоев. (На самом деле равенство справедливо для всех нормальных слоев, но это требует дополнительной работы; см. следующий раздел.)

Группа Брауэра

Брауэра Группы H ² ( E /*) классовой формации определяются как прямой предел групп H ² ( E / F ), поскольку пробегает все открытые подгруппы E. F Легкое следствие исчезновения H ¹ для всех слоев заключается в том, что группы H ² ( E / F ) — все подгруппы группы Брауэра. В локальной теории полей классов группы Брауэра такие же, как группы Брауэра полей, но в глобальной теории полей классов группа Брауэра формации не является группой Брауэра соответствующего глобального поля (хотя они родственны).

Следующий шаг — доказать, что H ² ( E / F ) циклично порядка точно | Э / Ф |; предыдущий раздел показывает, что он имеет не более этого порядка, поэтому достаточно найти некоторый элемент порядка | Э / Ф | в час ² ( Э / Ф ).

Доказательство для произвольных расширений использует гомоморфизм группы G на проконечное пополнение целых чисел с ядром G _∞ или, другими словами, совместимую последовательность гомоморфизмов группы G на циклические группы порядка n для всех n с ядрами G _n . Эти гомоморфизмы строятся с помощью циклических круговых расширений полей; для конечных полей они задаются алгебраическим замыканием, для неархимедовых локальных полей — максимальными неразветвленными расширениями, а для глобальных полей — немного сложнее. Поскольку эти расширения заданы явно, можно проверить, что они обладают свойством H ² ( G / Gn ₎ циклический порядка n с каноническим генератором. Отсюда следует, что для любого слоя E группа H ² ( E / E ∩ G _∞ ) канонически изоморфно Q / Z . Эта идея использования корней из единицы была введена Чеботаревым в его доказательстве теоремы Чеботарева о плотности и вскоре использована Артином для доказательства его теоремы взаимности.

Для общих слоев E , F существует точная последовательность

$0\rightarrow H^{2}(E/F)\cap H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(F/F\cap G_{\infty })$

Обе последние две группы в этой последовательности можно отождествить с Q / Z , и тогда отображение между ними представляет собой умножение на | Э / Ф |. первая группа канонически изоморфна Z / n Z. Итак , Пепел ​ ² ( E / F ) имеет порядок не более Z / n Z , должен быть равен Z / n Z (и, в частности, содержится в средней группе)).

Это показывает, что вторая группа когомологий H ² ( E / F ) любого слоя является циклическим порядка | E / F |, что завершает проверку аксиом образования класса. Немного поаккуратнее в доказательствах мы получим канонический генератор H ² ( E / F ), называемый фундаментальным классом .

Отсюда следует, что группа Брауэра H ² ( E /*) (канонически) изоморфна группе Q / Z , за исключением случая архимедовых локальных полей R и C , когда она имеет порядок 2 или 1.

Теорема Тейта

Теорема Тейта о групповых когомологиях состоит в следующем. Предположим, что A — модуль над конечной группой G и a — элемент H ² ( G , A ), такая что для любой подгруппы E группы G

• ЧАС ¹ ( E , A ) тривиально, и
• ЧАС ² ( E , A ) генерируется Res(a) который имеет порядок E .

Тогда произведение чашки с a является изоморфизмом

• ЧАС ^н ( г , Z ) → ЧАС ^{п +2} ( Г , А ).

Если мы применим случай n = −2 теоремы Тейта к образованию классов, мы обнаружим, что существует изоморфизм

• ЧАС ⁻² ( Э / F , Z ) → ЧАС ⁰ ( Э / Ф , А ^Ф )

для любого нормального слоя E / F . Группа Н ⁻² ( E / F , Z ) — это просто абелианизация E / F , а группа H ⁰ ( Э / Ф , А ^Ф ) это ^И по модулю группы норм A ^Ф . Другими словами, мы имеем явное описание абелианизации группы Галуа E / F в терминах A ^И .

Обратное к этому изоморфизму дает гомоморфизм

А ^И → абелианизация E / F ,

и предел по всем открытым подгруппам F дает гомоморфизм

А ^И → абелианизация E ,

называется картой Артина . Карта Артина не обязательно сюръективна, но имеет плотное изображение. По приведенной ниже теореме существования его ядро ​​является связной компонентой A ^И (для теории полей классов), что тривиально для теории полей классов неархимедовых локальных полей и для функциональных полей, но нетривиально для архимедовых локальных полей и числовых полей.

Такаги

Основной оставшейся теоремой теории полей классов является теорема существования Такаги , которая утверждает, что каждое Замкнутая подгруппа конечного индекса группы классов иделей — это группа норм, соответствующая некоторому абелеву расширению. Классический способ доказать это — построить некоторые расширения с небольшими группами норм, сначала добавив множество корней из единицы, а затем взяв расширения Куммера и расширения Артина–Шрайера . Эти расширения могут быть неабелевыми (хотя они являются расширениями абелевых групп с помощью абелевых групп); однако на самом деле это не имеет значения, поскольку нормальная группа неабелева расширения Галуа такая же, как и группа его максимального абелева расширения (это можно показать, используя то, что мы уже знаем о полях классов). Это дает достаточно (абелевых) расширений, чтобы показать, что существует абелево расширение, соответствующее любой подгруппе конечного индекса группы классов иделей.

Следствием этого является то, что ядро ​​отображения Артина является связным компонентом единицы группы классов иделей, так что абелианизация группы Галуа F является проконечным пополнением группы классов иделей.

Для локальной теории полей классов также возможно построить абелевы расширения более явно, используя формальные групповые законы Любина – Тейта . Для глобальных полей абелевы расширения в некоторых случаях могут быть построены явно: например, абелевы расширения рациональных чисел могут быть построены с использованием корней из единицы, а абелевы расширения квадратичных мнимых полей могут быть построены с использованием эллиптических функций, но поиск аналог этого для произвольных глобальных полей является нерешенной проблемой.

Группа Вейля

Основная статья: Группа Вейль

Это не группа Вейля и не имеет никакой связи с группой Вейля-Шатле или группой Морделла-Вейля.

Группа Вейля классовой формации с фундаментальными классами u _{E / F} ∈ H ² ( Э / Ф , А ^Ф ) — разновидность модифицированной группы Галуа, введенная Вейлем (1951) и используемая в различных формулировках теории полей классов, и в частности в программе Ленглендса .

Если E / F — нормальный слой, то группа Вейля U слоя E / F является расширением

1 → А ^Ф → U → E / F → 1

соответствующий фундаментальному классу u _{E / F} в H ² ( Э / Ф , А ^Ф ). Группа Вейля всей формации определяется как обратный предел групп Вейля всех слоев. G / F , поскольку F открытая подгруппа G. —

Отображение взаимности образования классов ( G , A ) индуцирует изоморфизм из A ^г к абелианизации группы Вейля.

См. также

• Абелева расширение
• L-функция Артина
• Артин взаимность
• Теория полей классов
• Комплексное умножение
• Когомологии Галуа
• Теорема о норме ненависти
• Коэффициент Эрбрана
• Поле класса Гильберта
• Теорема Кронекера–Вебера
• Теория поля локальных классов
• Теорема существования Такаги
• Группа когомологий Тейта

Ссылки

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1952], Теория поля классов , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-4426-7 , МР   0223335
• Кавада, Юкиёси (1971), «Классовые образования», 1969, Институт теории чисел (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 96–114.
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90424-5 , МР   0554237 , особ. Глава XI: Классовые образования
• Тейт, Дж. (1979), «Основы теории чисел» , Автоморфные формы, представления и L-функции. Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 3–26, ISBN.  978-0-8218-1435-2
• Вейль, Андре (1951), «Sur la theorie du Corps de Classes», Журнал Математического общества Японии , 3 : 1–35, doi : 10.2969/jmsj/00310001 , ISSN   0025-5645 , MR   0044569 , перепечатано в томе Я из его собрания статей, ISBN   0-387-90330-5