Теорема о норме ненависти

В теории чисел теорема Хассе о норме утверждает, что если L/K — циклическое расширение числовых полей , то если ненулевой элемент K является локальной нормой всюду, то это глобальная норма.Здесь быть глобальной нормой означает быть элементом k из K таким, что существует элемент l из L с $\mathbf {N} _{L/K}(l)=k$ ; другими словами, k — относительная норма некоторого элемента поля расширения L. Быть локальной нормой означает, что для некоторого простого числа p из K и некоторого простого числа P из L, лежащего над K, тогда k — норма из _LP ; здесь «простое» p может быть архимедовой оценкой, а теорема - это утверждение о пополнениях во всех оценках, архимедовых и неархимедовых.

Теорема, вообще говоря, уже не верна, если расширение абелевое, но не циклическое. Хассе привел контрпример, что 3 везде является локальной нормой для расширения. ${\mathbf {Q} }({\sqrt {-3}},{\sqrt {13}})/{\mathbf {Q} }$ но это не глобальная норма. Серр и Тейт показали, что другой контрпример дает поле ${\mathbf {Q} }({\sqrt {13}},{\sqrt {17}})/{\mathbf {Q} }$ где каждый рациональный квадрат является локальной нормой везде, кроме $5^{2}$ это не глобальная норма.

Это пример теоремы, устанавливающей локально-глобальный принцип .

Полная теорема принадлежит Хассе ( 1931 ). Частный случай, когда степень n расширения равна 2, был доказан Гильбертом (1897 г.) , а специальный случай, когда n простое число, был доказан Фуртвенглером в 1902 г. ^{[ нужна ссылка ]}

Теорему Хассе о норме можно вывести из теоремы о том, что элемент группы когомологий Галуа H ²( L / K ) тривиально, если оно тривиально локально всюду, что, в свою очередь, эквивалентно глубокой теореме о том, что первые когомологии группы классов иделей равны нулю. Это верно для всех конечных расширений Галуа числовых полей, а не только для циклических. Для циклических расширений группа H ²( L / K ) изоморфна группе когомологий Тейта H ⁰( L / K ), которая описывает, какие элементы являются нормами, поэтому для циклических расширений это становится теоремой Хассе о том, что элемент является нормой, если он является локальной нормой повсюду.

См. также

Теорема Грюнвальда-Ванга о том, когда элемент, который является силой всюду локально, является силой.

Ссылки

Хассе, Х. (1931), «Доказательство теоремы и опровержение гипотезы об общем символе вычета нормы» , Новости Общества наук в Геттингене, Математически-физический класс : 64–69
Х. Хассе, «История теории полей классов», в книге Дж. В. Касселса и А. Фрелиха (редактор), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Глава XI.
Януш Г., Поля алгебраических чисел , Академик Пресс, 1973. Теорема V.4.5, с. 156
Гильберт, Дэвид (1897), «Теория полей алгебраических чисел» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN 0012-0456