Теорема Грюнвальда – Ванга

В алгебраической теории чисел теорема Грюнвальда -Ванга представляет собой локально-глобальный принцип, утверждающий, что, за исключением некоторых точно определенных случаев, элемент x в числовом поле K является n- й степенью в K , если он является n -й степенью в числовом поле K. завершение $K_{\mathfrak {p}}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел ${\mathfrak {p}}$ К. Например, рациональное число является квадратом рационального числа, если оно является квадратом p -адического числа почти для всех простых чисел p .

Его ввёл Вильгельм Грюнвальд ( 1933 ), но в этой первоначальной версии была ошибка, которую нашел и исправил Шианхао Ван ( 1948 ). Теорема, рассмотренная Грюнвальдом и Вангом, была более общей, чем изложенная выше, поскольку они обсуждали существование циклических расширений с некоторыми локальными свойствами, и утверждение о n следствием этого является -х степенях.

История

Несколько дней спустя я был с Артином в его офисе, когда появился Ван. Он сказал, что у него есть контрпример к лемме, которая использовалась в доказательстве. Через час или два он привел контрпример к самой теореме... Конечно, он [Артин] был удивлен, как и все мы, студенты, тем, что знаменитая теорема с двумя опубликованными доказательствами, одно из которых мы все слышали в семинар, даже если мы ничего не заметим, может быть неправильным.

Джон Тейт , цитата Питера Рокетта ( 2005 , стр.30)

Грюнвальд (1933) , ученик Гельмута Хассе , дал неверное доказательство ошибочного утверждения, что элемент в числовом поле является n- й степенью, если он локально почти всюду является n -й степенью. Джордж Уэйплс ( 1942 ) дал еще одно неверное доказательство этого неверного утверждения. Однако Ван (1948) обнаружил следующий контрпример: 16 является p -адической восьмой степенью для всех нечетных простых чисел p , но не является рациональной или 2-адической восьмой степенью. В своей докторской диссертации Ван (1950), написанной под руководством Эмиля Артина , Ван дал и доказал правильную формулировку утверждения Грюнвальда, описав редкие случаи, когда оно не работает. Этот результат сейчас известен как теорема Грюнвальда–Ванга. Историю контрпримера Ванга обсуждает Питер Рокетт ( 2005 , раздел 5.3).

Контрпример Ванга

Первоначальное утверждение Грюнвальда о том, что элемент, который является n- й степенью почти везде локально, является n- й степенью в глобальном масштабе, может оказаться ошибочным по двум различным причинам: элемент может быть n- й степенью почти везде локально, но не везде локально, или он может быть n-й степенью почти везде локально, или он может быть n-й степенью в глобальном масштабе. Эта власть повсюду локально, но не глобально.

Элемент, имеющий n-ную степень почти всюду локально, но не всюду локально.

Элемент 16 в рациональных числах является восьмой степенью во всех местах, кроме 2, но не является восьмой степенью в 2-адических числах.

Ясно, что 16 не является 2-адической 8-й степенью и, следовательно, не является рациональной 8-й степенью, поскольку 2-адическая оценка 16 равна 4, которая не делится на 8.

Обычно 16 является восьмой степенью в поле K тогда и только тогда, когда полином $X^{8}-16$ корень в К. имеет Писать

X^{8}-16=(X^{4}-4)(X^{4}+4)=(X^{2}-2)(X^{2}+2)(X^{2}-2X+2)(X^{2}+2X+2).

Таким образом, 16 является восьмой степенью числа K тогда и только тогда, когда 2, −2 или −1 являются квадратом числа K . Пусть p — любое нечетное простое число. Из мультипликативности символа Лежандра следует , что 2, −2 или −1 является квадратом по модулю p . Следовательно, по лемме Гензеля 2, −2 или −1 является квадратом в $\mathbb {Q} _{p}$ .

Элемент, имеющий n-ную степень везде локально, но не глобально.

16 не является восьмой степенью $\mathbb {Q} ({\sqrt {7}})$ хотя это 8-я степень локально везде (т.е. в $\mathbb {Q} _{p}({\sqrt {7}})$ для всех п ). Это следует из сказанного выше и равенства $\mathbb {Q} _{2}({\sqrt {7}})=\mathbb {Q} _{2}({\sqrt {-1}})$ .

Следствие контрпримера Ванга

Контрпример Ванга имеет следующее интересное следствие, показывающее, что не всегда можно найти циклическое расширение Галуа заданной степени числового поля, в котором конечное число заданных простых чисел расщепляется определенным образом:

Не существует циклического расширения 8-й степени. $K/\mathbb {Q}$ в котором простое число 2 полностью инертно (т. е. такое, что $K_{2}/\mathbb {Q} _{2}$ неразветвлен степени 8).

Специальные поля

Для любого $s\geq 2$ позволять

\eta _{s}:=\exp \left({\frac {2\pi i}{2^{s}}}\right)+\exp \left(-{\frac {2\pi i}{2^{s}}}\right)=2\cos \left({\frac {2\pi }{2^{s}}}\right).

Обратите внимание, что $2^{s}$ круговое поле

\mathbb {Q} _{2^{s}}=\mathbb {Q} (i,\eta _{s}).

Поле называется s-специальным, если оно содержит $\eta _{s}$ , но ни $i$ , $\eta _{s+1}$ ни $i\eta _{s+1}$ .

Формулировка теоремы

Рассмотрим числовое поле K и натуральное число n . Пусть S — конечное (возможно, пустое) множество простых чисел K и положим

K(n,S):=\{x\in K\mid x\in K_{\mathfrak {p}}^{n}\mathrm {\ for\ all\ } {\mathfrak {p}}\not \in S\}.

Теорема Грюнвальда – Ванга утверждает, что

K(n,S)=K^{n}

если только мы не находимся в особом случае , который возникает, когда выполняются оба следующих двух условия:

$K$ является s- специальным с $s$ такой, что $2^{s+1}$ делит n .
$S$ содержит специальный набор $S_{0}$ состоящий из этих (обязательно 2-адических) простых чисел ${\mathfrak {p}}$ такой, что $K_{\mathfrak {p}}$ является особенным .

В частном случае нарушение принципа Хассе конечно порядка 2: ядро

K^{\times }/K^{\times n}\to \prod _{{\mathfrak {p}}\not \in S}K_{\mathfrak {p}}^{\times }/K_{\mathfrak {p}}^{\times n}

есть Z /2 Z , порожденный элементом η ^н
_{с +1} .

Объяснение контрпримера Ванга

Поле рациональных чисел $K=\mathbb {Q}$ является 2-специальным, поскольку содержит $\eta _{2}=0$ , но ни $i$ , $\eta _{3}={\sqrt {2}}$ ни $i\eta _{3}={\sqrt {-2}}$ . Специальный набор это $S_{0}=\{2\}$ . Таким образом, особый случай в теореме Грюнвальда – Ванга возникает, когда n делится на 8, а S содержит 2. Это объясняет контрпример Ванга и показывает, что он минимален. Также видно, что элемент в $\mathbb {Q}$ является n-й степенью, если она является p -адической n- й степенью для всех p .

Поле $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {7}})$ также является 2-специальным, но с $S_{0}=\emptyset$ . Это объясняет другой противоположный пример, приведенный выше. ^{[ 1 ]}

См. также

Теорема Хассе о норме утверждает, что для циклических расширений элемент является нормой, если он является нормой всюду локально.

Примечания

^ См. главу X книги Артин-Тейт.

Ссылки

Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (1990), Теория полей классов , ISBN 978-0-8218-4426-7 , МР 0223335
Грюнвальд, Вильгельм (1933), «Общая теорема существования полей алгебраических чисел» , Журнал чистой и прикладной математики , 169 : 103–107.
Рокетт, Питер (2005), Теорема Брауэра-Хассе-Нётер в исторической перспективе (PDF) , публикации Отделения математики и естественных наук Гейдельбергской академии наук, том. 15, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-23005-2
Ван, Шиангхо (1948), «Контрпример к теореме Грюнвальда», Annals of Mathematics , Second Series, 49 : 1008–1009, doi : 10.2307/1969410 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969410 , MR 0026992
Ван, Шиангхо (1950), «О теореме Грюнвальда», Annals of Mathematics , Second Series, 51 : 471–484, doi : 10.2307/1969335 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969335 , MR 0033801
Уэплс, Джордж (1942), «Неаналитическая теория полей классов и теорема Грюнвальда» , Duke Mathematical Journal , 9 (3): 455–473, doi : 10.1215/s0012-7094-42-00935-9 , ISSN 0012-7094 , МР 0007010

[1] См. главу X книги Артин-Тейт.

[ 1 ]