Теорема существования Такаги
В полей классов теорема существования Такаги утверждает, что для любого числового поля K существует взаимно однозначное включение, обращающее соответствие между конечными абелевыми расширениями K теории (в фиксированном алгебраическом замыкании K ) и обобщенными группами идеальных классов, определенными через модуль К.
Это называется теоремой существования , потому что основная задача доказательства — показать существование достаточного количества абелевых расширений K .
Формулировка
[ редактировать ]Здесь модуль (или делитель луча ) — это формальное конечное произведение оценок ( также называемых простыми числами или местами ) числа K с положительными целыми показателями. Архимедовы оценки, которые могут появиться в модуле, включают только те, чьи пополнения являются действительными числами (а не комплексными числами); они могут быть отождествлены с порядками на K и встречаются только до показателя один.
Модуль m является произведением неархимедовой (конечной) части m f и архимедовой (бесконечной) части m ∞ . Неархимедова часть m f — это ненулевой идеал в кольце целых чисел K , OK а архимедова часть m ∞ — это просто набор вещественных K. вложений С таким модулем m связаны две группы дробных идеалов . Более крупный из них, I m , представляет собой группу всех дробных идеалов, относительно простых с m (что означает, что эти дробные идеалы не включают в себя какой-либо простой идеал, появляющийся в m f ). Меньший из них, P m , представляет собой группу главных дробных идеалов ( u / v ), где u и v — ненулевые элементы из OK u , которые являются простыми с , m f ≡ v mod m f и u / v > 0 в каждый из порядков m ∞ . (Здесь важно, что в P m все, что нам нужно, это чтобы какой-то генератор идеала имел указанную форму. Если один из них имеет, то другие могут не иметь. Например, принимая K в качестве рациональных чисел, идеал (3) лежит в P 4, поскольку (3) = (−3) и −3 удовлетворяет необходимым условиям. Но (3) не находится в P 4∞ , поскольку здесь требуется, чтобы положительный генератор идеала равен 1 по модулю 4, что не так.) Для любой группы H, лежащей между I m и P m , фактор I m / H называется группой классов обобщенных идеалов .
Именно эти группы обобщенных идеальных классов соответствуют абелевым расширениям K по теореме существования и фактически являются группами Галуа этих расширений. То, что группы классов обобщенных идеалов конечны, доказывается по той же схеме, что и доказательство конечности обычной группы классов идеалов , задолго до того, как будет известно, что это группы Галуа конечных абелевых расширений числового поля.
Четко определенная переписка
[ редактировать ]Строго говоря, соответствие между конечными абелевыми расширениями K и группами обобщенных идеальных классов не совсем однозначно. Группы обобщенных идеальных классов, определенные относительно разных модулей, могут привести к одному и тому же абелеву расширению K , и это априори кодифицируется в несколько сложном отношении эквивалентности на группах обобщенных идеальных классов.
Конкретно, для абелевых расширений L рациональных чисел это соответствует тому факту, что абелево расширение рациональных чисел, лежащее в одном круговом поле, также лежит в бесконечном числе других круговых полей, и для каждого такого кругового надполя по теории Галуа получается подгруппа группы Галуа, соответствующая тому же полю L .
В идеальной формулировке теории полей классов получается точное взаимно-однозначное соответствие между абелевыми расширениями и соответствующими группами иделей , где эквивалентные группы обобщенных идеальных классов на идеально-теоретико-языке соответствуют одной и той же группе иделей.
Более ранняя работа
[ редактировать ]Частным случаем теоремы существования является случай, когда m = 1 и H = P 1 . В этом случае группа обобщенных идеальных классов является группой идеальных классов K , и теорема существования говорит, что существует единственное абелевое расширение L / K с группой Галуа , изоморфной группе идеальных классов K, , что L неразветвлено такое во всех местах К. Это расширение называется полем класса Гильберта . Гипотеза была высказана Дэвидом Гильбертом о его существовании , а существование в этом частном случае было доказано Филиппом Фуртвенглером в 1907 году, до появления общей теоремы существования Такаги.
Еще одним особым свойством поля классов Гильберта, которое не характерно для меньших абелевых расширений числового поля, является то, что все идеалы в числовом поле становятся главными в поле классов Гильберта. и Фуртвенглеру потребовалось Артину доказать, что принципизация имеет место.
История
[ редактировать ]Теорема существования принадлежит Такаги , который доказал ее в Японии в отдельные годы Первой мировой войны . Он представил его на Международном конгрессе математиков в 1920 году, что привело к развитию классической теории теории полей классов в 1920-х годах. По просьбе Гильберта статья была опубликована в Mathematische Annalen в 1925 году.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Хельмут Хассе , История теории полей классов , стр. 266–279 в алгебраической теории чисел , ред. JWS Cassels and A. Fröhlich , Academic Press, 1967. (См. также богатую библиографию, приложенную к статье Хассе.)