Коэффициент Эрбрана

В математике фактор Эрбрана — это фактор порядков когомологий групп циклической группы . Его изобрел Жак Эрбран . Оно имеет важное применение в теории полей классов .

Определение

Если G — конечная циклическая группа, действующая на G -модуле A , то группы когомологий H ^н ( G , A ) имеют период 2 при n ≥1; другими словами

ЧАС ^н ( г , А ) знак равно ЧАС ^{п +2} ( Г , А ),

изоморфизм , индуцированный произведением чашки с генератором H ² ( Г , З ). (Если вместо этого мы используем группы когомологий Тейта , то периодичность расширяется до n = 0.)

Модуль Эрбрана — это A , у которого группы когомологий конечны. В этом случае фактор Эрбрана h ( G , A ) определяется как фактор

час ( г , А ) знак равно | ЧАС ² ( г , А )|/| ЧАС ¹ ( г , А )|

порядка четных и нечетных групп когомологий.

Альтернативное определение

Фактор может быть определен для пары эндоморфизмов абелевой группы , f и g которые удовлетворяют условию fg = gf = 0. Их фактор Эрбрана q ( f , g ) определяется как

$q(f,g)={\frac {|\mathrm {ker} f:\mathrm {im} g|}{|\mathrm {ker} g:\mathrm {im} f|}}$

если два индекса конечны. Если G — циклическая группа с генератором γ, действующим на абелевой группе A , то мы восстанавливаем предыдущее определение, взяв f = 1 - γ и g = 1 + γ + γ. ² + ... .

Свойства

• Фактор Эрбрана мультипликативен на коротких точных последовательностях . Другими словами, если

0 → А → Б → С → 0

является точным, и любые два фактора определены, то также определено и третье, и

час ( г , B ) знак равно час ( г , А ) час ( г , C )

• Если A конечно, то h ( G , A ) = 1.
• Поскольку A является подмодулем G -модуля B конечного индекса, если один из факторов определен, то определен и другой, и они равны: в более общем смысле, если существует G -морфизм A → B с конечным ядром и коядром, то то же самое справедливо.
• Если Z — целые числа, где G действует тривиально, то h ( G , Z ) = | г |
• Если A — конечно порожденный G -модуль, то фактор Эрбрана h ( A ) зависит только от комплексного G -модуля C ⊗ A (и поэтому его можно прочитать из характера этого комплексного представления G ).

Эти свойства означают, что коэффициент Эрбрана обычно относительно легко вычислить, и часто его гораздо легче вычислить, чем порядки любой из отдельных групп когомологий.

См. также

• Формирование класса

Ссылки

• Атья, Миссури ; Уолл, CTC (1967). «Когомологии групп». в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. Збл   0153.07403 . См. раздел 8.
• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009). Теория полей классов . АМС Челси. п. 5. ISBN  978-0-8218-4426-7 . Збл   1179.11040 .
• Коэн, Анри (2007). Теория чисел – Том I: Инструменты и диофантовые уравнения . Тексты для аспирантов по математике . Том. 239. Шпрингер-Верлаг . стр. 242–248. ISBN  978-0-387-49922-2 . Збл   1119.11001 .
• Януш, Джеральд Дж. (1973). Алгебраические числовые поля . Чистая и прикладная математика. Том. 55. Академическая пресса. п. 142. Збл   0307.12001 .
• Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 120–121. ISBN  3-540-63003-1 . Збл   0819.11044 .
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике. Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-90424-7 . Збл   0423.12016 .