Кластер Прайм

В теории чисел кластерное простое число — это такое простое число $p$ , что каждое четное положительное целое число k ≤ p − 3 можно записать как разность двух простых чисел, не превышающих $p$ ( OEIS : A038134 ). Например, число 23 является кластерным простым, поскольку 23 − 3 = 20, а каждое четное целое число от 2 до 20 включительно является разницей хотя бы одной пары простых чисел, не превышающей 23:

5 − 3 = 2
7 − 3 = 4
11 − 5 = 6
11 − 3 = 8
13 − 3 = 10
17 − 5 = 12
17 − 3 = 14
19 − 3 = 16
23 − 5 = 18
23 − 3 = 20

С другой стороны, 149 не является кластерным простым числом, поскольку 140 < 146, и невозможно записать 140 как разность двух простых чисел, которые меньше или равны 149.

По соглашению, 2 не считается простым числом кластера. Все первые 23 нечетных простых числа (до 89) являются простыми числами кластера. Первые несколько нечетных простых чисел, которые не являются кластерными простыми числами, равны

97 , 127 , 149 , 191 , 211 , 223 , 227 , 229 , ... OEIS : A038133

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел кластера.

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел кластера?

(еще нерешенные задачи по математике)

Характеристики

Разрыв простых чисел, предшествующий простому числу кластеров, всегда равен шести или меньше. Для любого заданного простого числа n пусть $p_{n}$ $p_ {n}$ обозначают n-е простое число. Если ${p_{n}-p_{n-1}}$ ${p_ {n}-p_ {n-1}}$ ≥ 8, тогда $p_{n}$ $p_ {n}$ − 9 не может быть выражено как разность двух простых чисел, не превосходящая $p_{n}$ $p_ {n}$ ; таким образом, $p_{n}$ $p_ {n}$ не является простым числом кластера.
- Обратное неверно: наименьшее некластерное простое число, которое является большим из пары промежутков длиной шесть или меньше, равно 227 , разрыв всего в четыре между 223 и 227. 229 - это первое некластерное простое число, которое является большим пары простых чисел-близнецов .
Набор простых чисел кластера представляет собой небольшой набор . В 1999 году Ричард Блексмит доказал, что сумма обратных чисел кластера конечна. ^[1]
Блексмит также доказал явную верхнюю границу C(x) — количества простых чисел в кластере, меньших или равных x. В частности, для любого положительного целого числа m : $C(x)<{x \over ln(x)^{m}}$ $C(x)<{x \over ln(x)^{m}}$ для всех достаточно больших x.
- Отсюда следует, что почти все простые числа отсутствуют в множестве простых чисел кластера.

Ссылки

^ Блексмит, Ричард; Эрдос, Пол; Селфридж, Дж.Л. (1999). «Кластерные простые числа». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 43–48. дои : 10.2307/2589585 . JSTOR 2589585 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Кластер Прайм» . Математический мир .

[1] Блексмит, Ричард; Эрдос, Пол; Селфридж, Дж.Л. (1999). «Кластерные простые числа». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 43–48. дои : 10.2307/2589585 . JSTOR 2589585 .

[1]