В конце концов (математика)

В математических областях теории чисел и анализа , что бесконечная последовательность или функция говорят в конечном итоге обладает определенным свойством , если она не обладает указанным свойством во всех своих упорядоченных экземплярах, но будет иметь его после прохождения некоторых экземпляров. Использование термина «в конечном итоге» часто можно перефразировать как «для достаточно больших чисел». и может быть также расширен до класса свойств, применимых к элементам любого упорядоченного множества (например, к последовательностям подмножествам и $\mathbb {R}$).

Обозначения

Общая форма, в которой фраза « в конце концов» (или «достаточно большая встречается »), выглядит следующим образом:

$P$ верно в конечном итоге для $x$ ( $P$ верно для достаточно больших $x$),

где $\forall$ и $\exists$ являются универсальными и экзистенциальными кванторами , что на самом деле является сокращением от:

$\exists a\in \mathbb {R}$ такой, что $P$ это правда $\forall x\geq a$

или несколько более формально:

$\exists a\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)$

Это не обязательно означает, что какое-либо конкретное значение для $a$ известно, но только то, что такое $a$ существует. Фразу «достаточно большой» не следует путать с фразами « произвольно большой » или « бесконечно большой». Дополнительные сведения см. в разделе «Произвольно большой#Произвольно большой», «достаточно большой» и «бесконечно большой» .

Мотивация и определение

Для бесконечной последовательности часто больше интересует долгосрочное поведение последовательности, чем поведение, которое она демонстрирует на ранних этапах. обладает определенным свойством В этом случае один из способов формального отражения этой концепции — сказать, что последовательность в конечном итоге или, что то же самое, что этому свойству удовлетворяет одна из ее подпоследовательностей. $(a_{n})_{n\geq N}$, для некоторых $N\in \mathbb {N}$.

Например, определение последовательности действительных чисел $(a_{n})$ сходящийся к какому-то пределу $a$ является:

Для каждого положительного числа $\varepsilon$, существует натуральное число $N$ такой, что для всех $n>N$, $\left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon$.

Когда термин «в конечном итоге » используется как сокращение от «существует натуральное число». $N$ такой, что для всех $n>N$", определение конвергенции можно более просто сформулировать так:

Для каждого положительного числа $\varepsilon >0$, в конце концов $\left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon$.

Здесь обратите внимание, что набор натуральных чисел, не удовлетворяющих этому свойству, является конечным множеством; то есть набор пуст или имеет максимальный элемент. В результате использование слова «в конечном итоге» в данном случае является синонимом выражения «для всех, кроме конечного числа терминов» – частного случая выражения « почти для всех терминов» (хотя «почти для всех» также может быть используется, чтобы допускать бесконечное количество исключений).

На базовом уровне последовательность можно рассматривать как функцию с натуральными числами в качестве области определения , а понятие «в конечном итоге» применимо и к функциям на более общих множествах, в частности к тем, которые имеют порядок без наибольшего элемента. .

Более конкретно, если $S$ такое множество и существует элемент $s$ в $S$ такая, что функция $f$ определяется для всех элементов, превышающих $s$, затем $f$ говорят, что в конечном итоге он обладает каким-то свойством, если существует элемент $x_{0}$ такое, что всякий раз, когда $x>x_{0}$, $f(x)$ имеет указанное свойство. Это понятие используется, например, при изучении полей Харди , которые представляют собой поля, состоящие из вещественных функций, каждая из которых в конечном итоге обладает определенными свойствами.

Примеры

• «Все простые числа больше 2 нечетные » можно записать как «В конечном итоге все простые числа нечетные».
• В конце концов, все простые числа конгруэнтны ±1 по модулю 6.
• Квадрат простого числа в конечном итоге равен 1 по модулю 24 (в частности, это верно для всех простых чисел больше 3).
• Факториал натурального числа в конечном итоге заканчивается цифрой 0 (в частности, это верно для всех натуральных чисел больше 4).

Последствия

Когда последовательность или функция в конечном итоге обретают свойство, это может иметь полезные последствия в контексте доказательства чего-либо в отношении этой последовательности. Например, в контексте асимптотического поведения некоторых функций может быть полезно знать, ведет ли она себя в конечном итоге иначе, чем можно было бы наблюдать с помощью вычислений, поскольку в противном случае это нельзя было бы заметить.

Термин «в конце концов» также можно включить во многие математические определения, чтобы сделать их более краткими. К ним относятся определения некоторых типов пределов (как показано выше) и обозначение Big O для описания асимптотического поведения.

в

• Трехмерное многообразие называется достаточно большим, если оно содержит правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность . Это свойство является основным требованием для того, чтобы 3-многообразие называлось многообразием Хакена .
• Темпоральная логика вводит оператор, который можно использовать для выражения утверждений, интерпретируемых следующим образом: Определенное свойство в конечном итоге сохранится в будущем моменте времени.

См. также

• Почти все
• Обозначение большого О
• Математический жаргон
• Теория чисел