Двойно-треугольное число

Существует 21 раскраска четырех углов квадрата в три цвета (с точностью до симметрии), двоякотреугольное число, образованное сочетанием двух из шести раскрасок двух противоположных углов.

В математике двоякотреугольные числа — это числа, которые появляются в последовательности треугольных чисел в позициях, которые также являются треугольными числами. То есть, если $T_{n}=n(n+1)/2$ обозначает $n$треугольное число, то двоякотреугольные числа — это числа вида $T_{T_{n}}$.

Последовательность и формула

Двоякотреугольные числа образуют последовательность

0, 1, 6, 21, 55, 120, 231, 406, 666, 1035, 1540, 2211, ...

The $n$двоякотреугольное число определяется формулой степени четвертой $$T_{T_{n}}={\frac {n(n+1)(n^{2}+n+2)}{8}}.$$

Суммы сумм строк треугольника Флойда дают двоякотреугольные числа.Другой способ выразить этот факт состоит в том, что сумма всех чисел в первом $n$ ряды треугольника Флойда – это $n$двояко-треугольное число.

В комбинаторном перечислении

Двоякотреугольные числа естественным образом возникают как числа неупорядоченных пар неупорядоченных пар объектов, включая пары, в которых оба объекта одинаковы:

• Примером из математической химии являются числа интегралов перекрытия между орбиталями слейтеровского типа .
• Другой пример этого явления из комбинаторики состоит в том, что двоякотреугольные числа подсчитывают количество двуреберных неориентированных мультиграфов на $n$ помеченные вершины. В этом случае ребро — это неупорядоченная пара вершин, а граф с двумя ребрами — неупорядоченная пара ребер. Количество возможных ребер представляет собой треугольное число, а количество пар ребер (позволяющих обоим ребрам соединять одни и те же две вершины) — двояко-треугольное число.
• Точно так же двоякотреугольные числа подсчитывают также количество различных способов раскрасить четыре угла или четыре края квадрата в $n$ цвета, позволяя не использовать некоторые цвета и считать две раскраски одинаковыми, если они отличаются друг от друга только вращением или отражением квадрата. Число вариантов цвета для любых двух противоположных признаков квадрата представляет собой треугольное число, а раскраска всего квадрата объединяет две такие раскраски пар противоположных признаков.

При исключении пар, в которых оба предмета одинаковы, возникает другая последовательность — трехтреугольные числа. $3,15,45,105,\dots$ которые даются формулой ${\textstyle {\binom {\binom {n}{2}}{2}}}$.

В нумерологии

Некоторые нумерологи и исследователи Библии считают важным тот факт, что 666 , число зверя , представляет собой двоякотреугольное число.