Функция Spt

Функция spt (функция наименьших частей) — это функция в теории чисел , которая подсчитывает сумму количества наименьших частей в каждом целочисленном разделе положительного целого числа. Это связано с функцией раздела .

Первые несколько значений spt( n ):

1, 3, 5, 10, 14, 26, 35, 57, 80, 119, 161, 238, 315, 440, 589... (последовательность A092269 в OEIS )

Пример

Например, существует пять разделов по 4 (наименьшие части подчеркнуты):

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

Эти разделы имеют 1, 1, 2, 2 и 4 наименьшие части соответственно. Итак, spt(4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10.

Характеристики

Как и статистическая сумма, spt( n ) имеет производящую функцию . Это дано

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {spt} (n)q^{n}={\frac {1}{(q)_{\infty }}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}\prod _{m=1}^{n-1}(1-q^{m})}{1-q^{n}}}$

где $(q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$.

Функция $S(q)$ относится к макетной модульной форме . Позволять $E_{2}(z)$ обозначим квазимодулярный ряд Эйзенштейна веса 2 и пусть $\eta (z)$ обозначим эта-функцию Дедекинда . Тогда для $q=e^{2\pi iz}$, функция

${\tilde {S}}(z):=q^{-1/24}S(q)-{\frac {1}{12}}{\frac {E_{2}(z)}{\eta (z)}}$

представляет собой макет модульной формы с весом 3/2 полной модульной группы. $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ с системой множителей $\chi _{\eta }^{-1}$, где $\chi _{\eta }$ это система множителей для $\eta (z)$.

) неизвестна Хотя закрытая формула для spt( n , существуют сравнения типа Рамануджана, включая

$\mathrm {spt} (5n+4)\equiv 0\mod (5)$

$\mathrm {spt} (7n+5)\equiv 0\mod (7)$

$\mathrm {spt} (13n+6)\equiv 0\mod (13).$