Имитационная модульная форма

В математике ложная модульная форма — это голоморфная часть гармонической слабой формы Маасса , а ложная тэта-функция — это, по сути, ложная модульная форма веса. ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Первые примеры ложных тета-функций были описаны Шринивасой Рамануджаном в его последнем письме 1920 года Г.Х. Харди и в его потерянной записной книжке . Сандер Цвегерс обнаружил, что добавление к ним некоторых неголоморфных функций превращает их в гармонические слабые формы Мааса.

История

«Предположим, что существует функция в эйлеровой форме и предположим, что все или бесконечное число точек являются экспоненциальными особенностями, а также предположим, что в этих точках асимптотика замыкается так же аккуратно, как и в случаях (А) и (В). Вопрос в том, является ли функция суммой двух функций, одна из которых является обычной θ -функцией, а другая (тривиальной) функцией, которая равна O(1) во всех точках e ^{2 м π я / п} ? ... Когда это не так, я называю эту функцию ложной θ-функцией».

Оригинальное определение ложной тета-функции, данное Рамануджаном.

Письмо Рамануджана Харди от 12 января 1920 г. перечислил 17 примеров функций, которые он назвал ложными тета-функциями, и свою потерянную записную книжку. содержало еще несколько примеров. (Рамануджан использовал термин «тэта-функция» для обозначения того, что сегодня назвали бы модулярной формой.) Рамануджан указал, что они имеют асимптотическое расширение на точках возврата, подобное расширению модульных форм веса. ⁠ 1/2 , возможно , ⁠ с полюсами в точках возврата, но не может быть выражено через «обычные» тэта-функции . Он назвал функции с подобными свойствами «ложными тета-функциями». Позже Цвегерс обнаружил связь псевдотета-функции со слабыми формами Маасса.

Рамануджан связал со своими ложными тета-функциями порядок , который не был четко определен. До работы Цвегерса порядки известных ложных тета-функций включали

3, 5, 6, 7, 8, 10.

Позднее выяснилось, что представление Рамануджана о порядке соответствует проводнику Небентипусового характера веса . ⁠ 1/2 гармонические формы Маасса , ⁠ . которые допускают ложные тэта-функции Рамануджана в качестве своих голоморфных проекций

В следующие несколько десятилетий ложные тета-функции Рамануджана изучали Уотсон, Эндрюс, Сельберг, Хикерсон, Чой, Макинтош и другие, которые доказали утверждения Рамануджана о них и нашли еще несколько примеров и тождеств. (Большая часть «новых» тождеств и примеров уже была известна Рамануджану и вновь появилась в его потерянной тетради.) В 1936 году Уотсон обнаружил, что под действием элементов модульной группы ложные тэта-функции 3-го порядка почти трансформируются, как модульные формы. веса ⁠ 1/2 . ⁠ ), за исключением того, что в функциональных (умноженный на подходящие степени q уравнениях есть «погрешности», обычно задаваемые в виде явных интегралов Однако в течение многих лет не существовало четкого определения ложной тета-функции. Ситуация изменилась в 2001 году, когда Цвегерс обнаружил связь с неголоморфными модулярными формами, суммами Лерха и неопределенными тета-рядами. Цвегерс показал, используя предыдущую работу Уотсона и Эндрюса, что ложные тэта-функции порядков 3, 5 и 7 могут быть записаны как сумма слабой маассовской формы веса. ⁠ 1 / 2 ⁠ и функция, ограниченная вдоль геодезических, заканчивающихся точками возврата. Слабая форма Мааса имеет собственное значение ⁠ 3 / 16 ⁠ под гиперболическим лапласианом (то же значение, что и у голоморфных модулярных форм веса ⁠ 1 / 2 ⁠ ); однако он экспоненциально растет вблизи точек возврата, поэтому не удовлетворяет обычному условию роста для волновых форм Мааса . Цвегерс доказал этот результат тремя различными способами, связав ложные тэта-функции с тэта-функциями Гекке неопределенных решеток размерности 2, суммами Аппелла – Лерха и мероморфными формами Якоби.

Фундаментальный результат Цвегерса показывает, что ложные тета-функции являются «голоморфными частями» реальных аналитических модулярных форм веса. ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Это позволяет расширить многие результаты о модульных формах для имитации тэта-функций. В частности, как и модулярные формы, все ложные тэта-функции лежат в определенных явных конечномерных пространствах, что сводит длинные и трудные доказательства многих тождеств между ними к рутинной линейной алгебре. Впервые стало возможным создать бесконечное количество примеров ложных тета-функций; до этой работы было известно всего около 50 примеров (большинство из которых были впервые найдены Рамануджаном). В качестве дальнейшего применения идей Цвегерса Катрин Брингманн и Кен Оно показали, что некоторые q-ряды, возникающие из основных гипергеометрических рядов Роджерса – Файна, связаны с голоморфными частями веса. ⁠ 3/2 ⁠ гармонические слабые формы Маасса и показал, что асимптотический ряд для коэффициентов порядка 3 имитирует тета-функцию f ( q ), изученную Джорджем Эндрюсом. и Лейла Драгонетт сходится к коэффициентам. В частности, мок-тета-функции имеют асимптотические расширения на точках сборки модулярной группы , действующие в верхней полуплоскости , которые напоминают расширения модулярных форм веса. ⁠ 1/2 ⁠ полюсами на с концах.

Определение

Ложная модульная форма будет определяться как «голоморфная часть» гармонической слабой формы Маасса .

Зафиксируйте вес k , обычно с интегралом 2 k .Зафиксируем подгруппу Γ группы SL ₂ ( Z ) (или метаплектической группы, если k полуцелое) и характер ρ группы Γ. Модулярная форма f для этого характера и этой группы Γ преобразуется относительно элементов Γ по формуле

$f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\rho {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(c\tau +d)^{k}f(\tau )$

Слабая форма Мааса веса k — это непрерывная функция в верхней полуплоскости, которая преобразуется как модулярная форма веса k и является собственной функцией оператора Лапласа веса k , и называется гармонической , если ее собственное значение равно ( ⁠ 1 - k / 2 ⁠ ) ⁠ k / 2 ⁠ . Это собственное значение голоморфных модулярных форм веса k , так что все это примеры гармонических слабых форм Маасса. ( Форма Мааса — это слабая форма Мааса, которая быстро убывает на точках возврата.)Таким образом, гармоническая слабая форма Мааса аннулируется дифференциальным оператором

${\frac {\partial }{\partial \tau }}y^{k}{\frac {\partial }{\partial {\overline {\tau }}}}$

Если F — любая гармоническая слабая форма Маасса, то функция g , заданная формулой

$g=y^{k}{\frac {\partial {\overline {F}}}{\partial \tau }}=\sum _{n}b_{n}q^{n}$

голоморфен и преобразуется как модулярная форма веса k , хотя он может и не быть голоморфным в точках возврата. Если мы сможем найти любую другую функцию g ^* с тем же изображением g , то F − g ^* будет голоморфным. Такая функция получается путем обращения дифференциального оператора путем интегрирования; например, мы можем определить

$g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}$

где

$\displaystyle \beta _{k}(t)=\int _{t}^{\infty }u^{-k}e^{-\pi u}\,du$

по существу является неполной гамма-функцией .Интеграл сходится всякий раз, когда g имеет нуль в точке возврата i ∞, а неполная гамма-функция может быть расширена путем аналитического продолжения, поэтому эту формулу можно использовать для определения голоморфной части g ^* функции F даже в случае, когда g мероморфна в точке i ∞, хотя это требует некоторой осторожности, если k равно 1 или не целое, или если n = 0. Обратный дифференциальный оператор далеко не единственен, поскольку мы можем добавить любую гомоморфную функцию к г ^* не затрагивая его изображение, и в результате функция g ^* не обязательно должен быть инвариантным относительно группы Γ. Функция h = F − g ^* называется частью F . голоморфной

Ложная модулярная форма определяется как голоморфная часть h некоторой гармонической слабой формы Мааса F . Таким образом, существует изоморфизм пространства ложных модулярных форм h подпространству гармонических слабых форм Маасса.

Ложная модулярная форма h голоморфна, но не совсем модулярна, а h + g ^* модульна, но не совсем голоморфна. Пространство ложных модулярных форм веса k содержит пространство почти модулярных форм («модульных форм, которые могут быть мероморфными в точках возврата») веса k в качестве подпространства. Фактор (антилинейно) изоморфен пространству голоморфных модулярных форм веса 2 − k . веса (2 − k ), Модульная форма g соответствующая псевдомодулярной форме h, называется ее тенью . Довольно часто разные ложные тета-функции имеют одну и ту же тень. Например, 10 ложных тета-функций пятого порядка, найденных Рамануджаном, распадаются на две группы по 5, где все функции в каждой группе имеют одну и ту же тень (с точностью до умножения на константу).

Дон Загер определяет ложную тета-функцию как рациональную степень q = e ^{2 π я 𝜏} раз макет модульной формы веса ⁠ 1/2 , ⁠ тень которого представляет собой тэта-ряд вида

$\sum _{n\in Z}\varepsilon (n)nq^{\kappa n^{2}}$

для положительного рационального κ и нечетной периодической функции ε . (Любой такой тэта-ряд представляет собой модульную форму веса. ⁠ 3/2 ​ ⁠ ) . Рациональная сила q — историческая случайность.

Большинство ложных модульных форм и слабых форм Мааса имеют быстрый рост на вершинах. Обычно накладывают условие, что они растут максимально экспоненциально быстро на точках сборки (что для ложных модульных форм означает, что они «мероморфны» на вершинах). Пространство ложных модулярных форм (заданного веса и группы), рост которых ограничен некоторой фиксированной экспоненциальной функцией в точках возврата, конечномерно.

Суммы Аппелла – Лерха

Суммы Аппелла-Лерха, обобщение рядов Ламберта , были впервые изучены Полем Эмилем Аппелем. и Матиас Лерх . Уотсон изучил ложные тета-функции третьего порядка, выразив их через суммы Аппелла–Лерха, а Цвегерс использовал их, чтобы показать, что ложные тета-функции по сути представляют собой имитационные модульные формы.

Серия Аппеля-Лерха

$\mu (u,v;\tau )={\frac {a^{\frac {1}{2}}}{\theta (v;\tau )}}\sum _{n\in Z}{\frac {(-b)^{n}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{1-aq^{n}}}$

где

$\displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\quad a=e^{2\pi iu},\quad b=e^{2\pi iv}$

и

$\theta (v,\tau )=\sum _{n\in Z}(-1)^{n}b^{n+{\frac {1}{2}}}q^{{\frac {1}{2}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.$

Модифицированная серия

${\hat {\mu }}(u,v;\tau )=\mu (u,v;\tau )-{\frac {1}{2}}R(u-v;\tau )$

где

$R(z;\tau )=\sum _{\nu \in Z+{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}$

и y = Im(𝜏) и

$E(z)=2\int _{0}^{z}e^{-\pi u^{2}}\,du$

удовлетворяет следующим свойствам преобразования

${\begin{aligned}{\hat {\mu }}(u+1,v;\tau )&=a^{-1}bq^{-{\frac {1}{2}}}{\hat {\mu }}(u+\tau ,v;\tau )\\&{}=-{\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\e^{{\frac {2}{8}}\pi i}{\hat {\mu }}(u,v;\tau +1)&={\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\&{}=-\left({\frac {\tau }{i}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {\pi i}{\tau }}(u-v)^{2}}{\hat {\mu }}\left({\frac {u}{\tau }},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }}\right).\end{aligned}}$

Другими словами, модифицированный ряд Аппеля–Лерха преобразуется как модулярная форма относительно 𝜏. Поскольку ложные тета-функции могут быть выражены через ряды Аппелла-Лерха, это означает, что ложные тета-функции преобразуются как модульные формы, если к ним добавлен определенный неаналитический ряд.

Неопределенный тета-ряд

Джордж Эндрюс показал, что некоторые из ложных тэта-функций Рамануджана пятого порядка равны частным. ⁠ Θ(𝜏) / θ (𝜏) ⁠ где θ (𝜏) — модулярная форма веса ⁠ 1/2 ) — и Θ( 𝜏 ⁠ тэта-функция неопределенной двоичной квадратичной формы, а Дин Хикерсон доказал аналогичные результаты для ложных тета-функций седьмого порядка. Цвегерс показал, как дополнить неопределенные тета-функции для получения реальных аналитических модульных форм, и использовал это, чтобы дать еще одно доказательство связи между ложными тета-функциями и слабыми волновыми формами Мааса.

Мероморфные формы Якоби

Джордж Эндрюс заметил, что некоторые из ложных тэта-функций Рамануджана пятого порядка можно выразить через частные тета-функции Якоби. Цвегерс использовал эту идею, чтобы выразить ложные тета-функции как коэффициенты Фурье мероморфных форм Якоби.

Приложения

• Рут Лоуренс и Дон Загер связали ложные тета-функции с квантовыми инвариантами трехмерных многообразий.
• А. М. Семихатов, А. Таормина и И. Ю. Типунин связали ложные тэта-функции с бесконечномерными супералгебрами Ли и двумерной конформной теорией поля .
• Дж. Трост показал, что модульные пополнения псевдомодулярных форм возникают как эллиптические роды конформных теорий поля с непрерывным спектром.
• Ложные тета-функции появляются в теории теневого самогона .
• Атиш Дабхолкар , Самир Мурти и Дон Загер показали, что ложные модульные формы связаны с вырождениями квантовых черных дыр в с N = 4. теориях струн

Примеры

• Любая модульная форма веса k (возможно, только мероморфная в точках возврата) является ложной модулярной формой веса k с тенью 0.
• Квазимодулярный ряд Эйзенштейна

$\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}$

с весом 2 и уровнем 1 — это имитация модульной формы с весом 2, где тень — константа. Это означает, что

$\displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}$

преобразуется как модульная форма веса 2 (где 𝜏 = x + iy ).

• Функция, которую изучал Дон Загер с коэффициентами Фурье, которые являются числами класса Гурвица H ( N ) мнимых квадратичных полей, является ложной модульной формой веса ⁠ 3/2 q ⁠ , уровень 4 и тень Σ  ^{н 2} . Соответствующая слабая форма волны Маасса имеет вид

$F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}$

где

$\beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du$

и y = Im(𝜏), q = e ^{2 π я 𝜏} .

Ложные тета-функции — это фиктивные модульные формы веса. ⁠ 1/2 тень которого представляет ⁠ , собой унарную тета-функцию, умноженную на рациональную степень q (по историческим причинам). До того, как работа Цвегерса привела к общему методу их построения, большинство примеров приводилось в виде основных гипергеометрических функций , но это во многом историческая случайность, и большинство ложных тэта-функций не имеют известного простого выражения в терминах таких функций.

«Тривиальные» ложные тэта-функции представляют собой (голоморфные) модулярные формы веса. ⁠ 1/2 , ⁠ , которые были классифицированы Серром и Старком который показал, что все они могут быть записаны в терминах тэта-функций одномерных решеток.

В следующих примерах используются символы q-Поххаммера ( a ; q ) _n , которые определяются как:

$(a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).$

Заказ 2

Некоторые ложные тета-функции второго порядка были изучены Макинтошом.

$A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A006304 в OEIS )

$B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A153140 в OEIS )

$\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}$ (последовательность A006306 в OEIS )

Функция μ была найдена Рамануджаном в его потерянной записной книжке.

Они связаны с функциями, перечисленными в разделе о функциях 8-го порядка,

$U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu (q)$

$V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})$

$V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})$

Заказ 3

Рамануджан упомянул четыре ложные тета-функции третьего порядка в своем письме Харди и перечислил еще три в своей потерянной записной книжке, которые были заново открыты Дж. Н. Уотсоном . Последний доказал соотношения между ними, установленные Рамануджаном, а также нашел их преобразования под элементами модулярной группы, выразив их в виде сумм Аппеля–Лерха. Драконетка описал асимптотическое разложение их коэффициентов. Цвегерс связал их с гармоническими слабыми формами Маасса. См. также монографию Натана Файна.

Семь ложных тета-функций третьего порядка, данных Рамануджаном:

$f(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}^{2}}}={\frac {2}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{n}}}$, (последовательность A000025 в OEIS ).

$\phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{2n}}}$ (последовательность A053250 в OEIS ).

$\psi (q)=\sum _{n>0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}={\frac {q}{\prod _{n>0}(1-q^{4n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{6n(n+1)}}{1-q^{4n+1}}}$ (последовательность A053251 в OEIS ).

$\chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{1\leq i\leq n}(1-q^{i}+q^{2i})}}={\frac {1}{2\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1-q^{n}+q^{2n}}}$ (последовательность A053252 в OEIS ).

$\omega (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1+q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}}$ (последовательность A053253 в OEIS ).

$\nu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)/2}{\frac {1-q^{2n+1}}{1+q^{2n+1}}}}$ (последовательность A053254 в OEIS ).

$\rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{\prod _{0\leq i\leq n}(1+q^{2i+1}+q^{4i+2})}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1-q^{4n+2}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}}}$ (последовательность A053255 в OEIS ).

Первые четыре из них образуют группу с одинаковой тенью (с точностью до константы), как и последние три. Точнее, функции удовлетворяют следующим соотношениям (найденным Рамануджаном и доказанным Уотсоном):

${\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+4\psi (-q)=\theta _{4}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}(0,q^{3})\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left({\frac {1}{2}}q^{-{\frac {3}{8}}}\theta _{2}(0,q^{\frac {3}{2}})\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\\nu (\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}^{2}\left(0,q^{2}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\\f(q^{8})+q\omega (q)-q\omega (-q)&=\theta _{3}(0,q^{4})\theta _{3}^{2}(0,q^{2})\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}$

Заказать 5

Рамануджан записал десять ложных тета-функций пятого порядка в своем письме Харди в 1920 году и установил некоторые связи между ними, доказанные Уотсоном. В своей потерянной записной книжке он изложил некоторые дополнительные тождества, связанные с этими функциями, эквивалентные ложным тета-гипотезам : это доказал Хикерсон. Эндрюс нашел представления многих из этих функций в виде частного неопределенного тета-ряда по модулярным формам веса. ⁠ 1 / 2 ⁠ .

$f_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}}}$ (последовательность A053256 в OEIS )

$f_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}+n}}{(-q;q)_{n}}}$ (последовательность A053257 в OEIS )

$\phi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}$ (последовательность A053258 в OEIS )

$\phi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}$ (последовательность A053259 в OEIS )

$\psi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}$ (последовательность A053260 в OEIS )

$\psi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}$ (последовательность A053261 в OEIS )

$\chi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n}}}=2F_{0}(q)-\phi _{0}(-q)$ (последовательность A053262 в OEIS )

$\chi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}=2F_{1}(q)+q^{-1}\phi _{1}(-q)$ (последовательность A053263 в OEIS )

$F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}$ (последовательность A053264 в OEIS )

$F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A053265 в OEIS )

$\Psi _{0}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})...(1-q^{5n-1})(1-q^{5n+1})}}$ (последовательность A053266 в OEIS )

$\Psi _{1}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q^{2})(1-q^{3})(1-q^{7})(1-q^{8})...(1-q^{5n-2})(1-q^{5n+2})}}$ (последовательность A053267 в OEIS )

Заказ 6

Рамануджан записал в свой потерянный блокнот семь ложных тета-функций шестого порядка и установил между ними 11 тождеств, которые были доказаны Эндрюсом и Хикерсоном. Два тождества Рамануджана связывают φ и ψ при различных аргументах, четыре из них выражают φ и ψ в терминах рядов Аппелла–Лерха, а последние пять тождеств выражаютоставшиеся пять ложных тэта-функций шестого порядка с точки зрения φ и ψ . Берндт и Чан открыл еще две функции шестого порядка.

Ложные тета-функции порядка 6:

$\phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n}}}$ (последовательность A053268 в OEIS )

$\psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n+1}}}$ (последовательность A053269 в OEIS )

$\rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A053270 в OEIS )

$\sigma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A053271 в OEIS )

$\lambda (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n}}}$ (последовательность A053272 в OEIS )

$2\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n+1}(1+q^{n})(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n+1}}}$ (последовательность A053273 в OEIS )

$\gamma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(q;q)_{n}}{(q^{3};q^{3})_{n}}}$ (последовательность A053274 в OEIS )

$\phi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-1}}{(q;q^{2})_{n}}}$ (последовательность A153251 в OEIS )

$\psi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-2}}{(q;q^{2})_{n}}}$ (последовательность A153252 в OEIS )

Заказ 7

Рамануджан представил три ложные тета-функции седьмого порядка в своем письме Харди в 1920 году. Их изучал Сельберг, который нашел асимптотическое разложение для своих коэффициентов, и Эндрюс. Хикерсон нашел представления многих из этих функций в виде частных неопределенных тета-рядов по модулярным формам веса. ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Цвегерс описали их свойства модульного преобразования.

• $\displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n+1};q)_{n}}}$ (последовательность A053275 в OEIS )
• $\displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n};q)_{n}}}$ (последовательность A053276 в OEIS )
• $\displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}$ (последовательность A053277 в OEIS )

Эти три ложные тета-функции имеют разные тени, поэтому, в отличие от функций Рамануджана третьего и пятого порядка, между ними и обычными модульными формами нет линейных отношений.Соответствующие слабые формы Мааса имеют вид

${\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}$

где

$R_{p,j}(\tau )=\!\!\!\!\sum _{n\equiv j{\bmod {p}}}{\binom {12}{n}}\operatorname {sgn}(n)\beta \left({\frac {n^{2}y}{6p}}\right)q^{-n^{2}/24p}$

и

$\beta (x)=\int _{x}^{\infty }u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du$

является более или менее дополнительной функцией ошибок.Под действием метаплектической группы эти три функции преобразуются в соответствии с определенным трехмерным представлением метаплектической группы следующим образом:

${\begin{aligned}M_{j}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left({\frac {6\pi jk}{7}}\right)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}$

Другими словами, они являются компонентами векторнозначной гармонической слабой маассовской формы веса 1 уровня. ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Заказать 8

Гордон и Макинтош нашли восемь ложных тета-функций восьмого порядка. Они нашли пять линейных отношений с их участием, выразили четыре функции как суммы Аппелла – Лерха и описали их преобразования в модульной группе.Две функции V ₁ и U ₀ были найдены ранее Рамануджаном. в своей потерянной записной книжке.

$S_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}$ (последовательность A153148 в OEIS )

$S_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+2)}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}$ (последовательность A153149 в OEIS )

$T_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A153155 в OEIS )

$T_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A153156 в OEIS )

$U_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{4};q^{4})_{n}}}$ (последовательность A153172 в OEIS )

$U_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{4})_{n+1}}}$ (последовательность A153174 в OEIS )

$V_{0}(q)=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n}}}=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}(-q^{2};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+1}}}$ (последовательность A153176 в OEIS )

$V_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n+1}(-q^{4};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+2}}}$ (последовательность A153178 в OEIS )

Заказать 10

Рамануджан перечислил четыре ложных тета-функции 10-го порядка в своей потерянной записной книжке и установил некоторые связи между ними, которые были доказаны Чой.

• $\phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A053281 в OEIS )
• $\psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (последовательность A053282 в OEIS )
• $\mathrm {X} (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(-q;q)_{2n}}}$ (последовательность A053283 в OEIS )
• $\chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}}{(-q;q)_{2n+1}}}$ (последовательность A053284 в OEIS )

Ссылки

• Эндрюс, Джордж Э. (1966), «О теоремах Уотсона и Драгонетта для ложных тета-функций Рамануджана», American Journal of Mathematics , 88 (2): 454–490, doi : 10.2307/2373202 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373202 , МР   0200258
• Эндрюс, Джордж Э. (1986), «Макет тета-функций пятого и седьмого порядков», Transactions of the American Mathematical Society , 293 (1): 113–134, doi : 10.2307/2000275 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   2000275 , МР   0814916
• Эндрюс, Джордж Э. (1988), «Имитация тэта-функций пятого порядка Рамануджана как постоянных членов», повторно посетил Рамануджан (Урбана-Шампейн, Иллинойс, 1987) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 47–56, MR   0938959
• Эндрюс, Джордж Э. (1989), «Имитация тета-функций», Тета-функции - Боудуин, 1987, часть 2 (Брансуик, Мэн, 1987) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 49, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 283–298, MR   1013178.
• Эндрюс, Джордж Э.; Гарван, Ф.Г. (1989), «Потерянная записная книжка Рамануджана. VI. Ложные тета-гипотезы», Advance in Mathematics , 73 (2): 242–255, doi : 10.1016/0001-8708(89)90070-4 , ISSN   0001- 8708 , МР   0987276
• Эндрюс, Джордж Э.; Хикерсон, Дин (1991), «Потерянная тетрадь Рамануджана. VII. Макет тета-функций шестого порядка», Advance in Mathematics , 89 (1): 60–105, doi : 10.1016/0001-8708(91)90083-J , ISSN   0001-8708 , МР   1123099
• Аппелл, П. (1884), «О двоякопериодических функциях третьего рода», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 135–164, doi : 10.24033/asens.236
• Берндт, Брюс К.; Чан, Сун Хэн (2007), «Макет тета-функций шестого порядка», Advances in Mathematics , 216 (2): 771–786, doi : 10.1016/j.aim.2007.06.004 , ISSN   0001-8708 , MR   2351377
• Брингманн, Катрин ; Фолсом, Аманда ; Оно, Кен (2009). «Формы Мааса серии q и веса 3/2» (PDF) . Математическая композиция . 145 (3): 541–552. дои : 10.1112/S0010437X09004072 . S2CID   7688222 .
• Брингманн, Катрин; Оно, Кен (2006), «Гипотеза о ложной тета-функции f (q) и ранги разделения» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 165 (2): 243–266, Бибкод : 2006InMat.165..243B , doi : 10.1007/ с00222-005-0493-5 , ISSN   0020-9910 , MR   2231957 , S2CID   120388256
• Брингманн, Катрин; Оно, Кен (2007), «Преобразование форм возврата в формы Мааса с применением к разделам», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 104 (10): 3725–3731, Bibcode : 2007PNAS..104.3725 B , doi : 10.1073/pnas.0611414104 , ISSN   0027-8424 , MR   2301875 , PMC   1820651 , PMID   17360420
• Брингманн, Катрин; Оно, Кен (2010), «Ранги Дайсона и формы Мааса» (PDF) , Annals of Mathematics , 171 : 419, doi : 10.4007/annals.2010.171.419
• Брюнье, Ян Хендрик; Функе, Йенс (2004), «О двух геометрических тета-лифтах», Duke Mathematical Journal , 125 (1): 45–90, arXiv : math/0212286 , doi : 10.1215/S0012-7094-04-12513-8 , ISSN   0012 -7094 , МР   2097357 , С2КИД   2078210
• Чхве, Юн-Со (1999), «Имитация тета-функций десятого порядка в потерянной записной книжке Рамануджана», Inventiones Mathematicae , 136 (3): 497–569, Bibcode : 1999InMat.136..497C , doi : 10.1007/s002220050318 , ISSN   0020 -9910 , МР   1695205 , С2КИД   125193659
• Чхве, Юн-Со (2000), «Имитация тета-функций десятого порядка в потерянной записной книжке Рамануджана. II», Advances in Mathematics , 156 (2): 180–285, doi : 10.1006/aima.2000.1948 , ISSN   0001-8708 , MR   1808245
• Чхве, Юн-Со (2002), «Имитация тета-функций десятого порядка в потерянной записной книжке Рамануджана. IV», Transactions of the American Mathematical Society , 354 (2): 705–733, doi : 10.1090/S0002-9947-01-02861 -6 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   2693766 , MR   1862564
• Чой, Юн-Со (2007), «Имитация тета-функций десятого порядка в потерянной записной книжке Рамануджана. III», Proceedings of the London Mathematical Society , 94 (1): 26–52, doi : 10.1112/plms/pdl006 , ISSN   0024- 6115 , МР   2293464 , С2КИД   122732998
• Дабхолкар, Атиш; Мурти, Самир; Загер, Дон (2012), «Квантовые черные дыры, пересечение стен и ложные модульные формы», arXiv : 1208.4074 [ hep-th ]
• Драгонетт, Лейла А. (1952), «Некоторые асимптотические формулы для ложного тета-ряда Рамануджана», Transactions of the American Mathematical Society , 72 (3): 474–500, doi : 10.2307/1990714 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990714 , МР   0049927
• Файн, Натан Дж. (1988), Основные гипергеометрические ряды и приложения , Математические обзоры и монографии, том. 27, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1524-3 , МР   0956465
• Гартуэйт, Шэрон Энн (2008), «Коэффициенты имитации тета-функции ω (q)», Международный журнал теории чисел , 4 (6): 1027–1042, doi : 10.1142/S1793042108001869 , ISSN   1793-0421 , MR   2483310
• Гордон, Бэзил ; Макинтош, Ричард Дж. (2000), «Некоторые ложные тета-функции восьмого порядка» , Журнал Лондонского математического общества , 62 (2): 321–335, doi : 10.1112/S0024610700008735 , ISSN   0024-6107 , MR   1783627 , S2CID   1231829 09
• Хикерсон, Дин (1988a), «Доказательство ложных тета-гипотез», Inventiones Mathematicae , 94 (3): 639–660, Bibcode : 1988InMat..94..639H , doi : 10.1007/BF01394279 , ISSN   0020-9910 , МР   0969247 , S2CID   122492320
• Хикерсон, Дин (1988b), «О ложных тета-функциях седьмого порядка», Inventiones Mathematicae , 94 (3): 661–677, Bibcode : 1988InMat..94..661H , doi : 10.1007/BF01394280 , ISSN   0020-9910 , МР   0969247 , S2CID   121384412
• Хирцебрух, Фридрих ; Загер, Дон (1976), «Числа пересечения кривых на гильбертовых модулярных поверхностях и модульных формах Nebentypus», Inventiones Mathematicae , 36 : 57–113, Bibcode : 1976InMat..36...57H , doi : 10.1007/BF01390005 , hdl : 21.11116/0000-0004-399B-E , ISSN   0020-9910 , MR   0453649 , S2CID   56568473
• Лоуренс, Рут; Загер, Дон (1999), «Модульные формы и квантовые инварианты трехмерных многообразий», Азиатский журнал математики , 3 (1): 93–107, doi : 10.4310/AJM.1999.v3.n1.a5 , ISSN   1093 -6106 , МР   1701924
• Лерх, М. (1892), «Замечания по теории эллиптических функций», Ежегодник прогресса математики , 24 : 442–445.
• Макинтош, Ричард Дж. (2007), «Макет тета-функций второго порядка», Canadian Mathematical Bulletin , 50 (2): 284–290, doi : 10.4153/CMB-2007-028-9 , ISSN   0008-4395 , MR   2317449 , S2CID   119499438
• Рамануджан, Шриниваса (1988), Утерянная записная книжка и другие неопубликованные документы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-18726-4 , МР   0947735
• Рамануджан, Шриниваса (2000), «Сборник статей Шринивасы Рамануджана», Nature , 123 (3104), Провиденс, Род-Айленд: 631, Бибкод : 1929Natur.123..631L , doi : 10.1038/123631a0 , ISBN  978-0-8218-2076-6 , МР   2280843 , S2CID   44812911
• Сельберг, А. (1938), «О ложных тэта-функциях седьмого порядка», Archiv for Mathematics og Naturvidenskab , 41 : 3–15. Перепечатано в томе I его собрания сочинений.
• Семихатов А.М.; Таормина, А. ; Типунин, И. Ю. (2005), «Функции Аппелла высокого уровня, модульные преобразования и символы», Communications in Mathematical Physics , 255 (2): 469–512, arXiv : math/0311314 , Bibcode : 2005CMaPh.255.. 469S , doi : 10.1007/s00220-004-1280-7 , ISSN   0010-3616 , MR   2129953 , S2CID   14466569
• Серр, Жан-Пьер ; Старк, Х.М. (1977), «Модулярные формы веса 1/2», Модульные функции одной переменной, VI (Труды Второй международной конференции, Боннский университет, Бонн, 1976) , Конспект лекций по математике, т. 1, с. 627, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 27–67, doi : 10.1007/BFb0065296 , ISBN.  978-3-540-08530-0 , МР   0472707
• Трост, Дж. (2010), «Некомпактный эллиптический род: макет или модульный», Журнал физики высоких энергий , 2010 (6): 104, arXiv : 1004.3649 , Bibcode : 2010JHEP...06..104T , doi : 10.1007/JHEP06(2010)104 , S2CID   84838021
• Уотсон, Дж.Н. (1936), «Последняя проблема: описание ложных тэта-функций», Журнал Лондонского математического общества , 11 : 55–80, doi : 10.1112/jlms/s1-11.1.55
• Уотсон, Дж. Н. (1937), «Мнимые тэта-функции (2)», Труды Лондонского математического общества , s2-42: 274–304, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.274
• Загер, Дон (1975), «Числа классов и модульные формы веса 3/2», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 281 (21): Ai, A883–A886, ISSN   0151-0509 , МР   0429750
• Загер, Дон (2009) [Впервые опубликовано в 2007 г.], «Имитация тета-функций Рамануджана и их приложения (по Цвегерсу и Оно-Брингманну)» (PDF) , Семинар Бурбаки. Эксп. 986, Астериск , 326 : 143–164, ISSN   0303-1179 , MR   2605321
• Цвегерс, С.П. (2001), «Мнимые θ-функции и реальные аналитические модульные формы», q-ряды с приложениями к комбинаторике, теории чисел и физике (Урбана, Иллинойс, 2000) , Contemp. Матем., вып. 291, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 269–277, ISBN.  978-0-8218-2746-8 , МР   1874536
• Цвегерс, С.П. (2002), Мнимые тета-функции , Утрехтская докторская диссертация, ISBN  90-393-3155-3

Дальнейшее чтение

• Оно, Кен (2008), «Имитация тета-функций, рангов и форм Мааса», в Аллади, Кришнасвами (ред.), Обзоры по теории чисел , Развитие математики, том. 17, Springer-Verlag , стр. 119–141, ISBN.  978-0-387-78509-7 , Збл   1183.11064

Внешние ссылки

• Международная конференция: Мокирующие тета-функции и приложения, 2009 г.
• Статьи Джорджа Эндрюса о ложных тета - функциях
• о ложных тета-функциях Статьи Кэтрин Брингманн
• о ложных тета-функциях Статьи Кена Оно
• о ложных тета-функциях Статьи Сандера Цвегерса
• Вайсштейн, Эрик В. «Имитационная тета-функция» . Математический мир .